從學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)到會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)1

1、從學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)到會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)張老師說(shuō):學(xué)會(huì)和會(huì)學(xué)看上去是一個(gè)順序的變化，這里邊有著什么用意，先請(qǐng)王老師對(duì)題目做一個(gè)鑒定，王老師說(shuō)：在我們這次新課程里，非常強(qiáng)調(diào)學(xué)生是主體，那么作為主體，就應(yīng)該掌控學(xué)習(xí)、就應(yīng)該主動(dòng)的學(xué)習(xí)、應(yīng)該自主的學(xué)習(xí)。所以我覺(jué)得從這個(gè)角度來(lái)說(shuō)要想讓學(xué)生主動(dòng)能夠自主，在我們學(xué)習(xí)上的一個(gè)體現(xiàn)就是不僅僅學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)，而是會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)。學(xué)習(xí)方式除了自主學(xué)習(xí)還有合作學(xué)習(xí)，那我們今天談自主學(xué)習(xí)的幾個(gè)特點(diǎn)，會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)的幾個(gè)方面一起來(lái)展開(kāi)，和大家一起討論，我們面對(duì)的是概念、定義、定理、一些主要的結(jié)論，舉一些例題來(lái)說(shuō)明我們的結(jié)論，還有一些應(yīng)用，所有這些東西一個(gè)非常重要的東西就是要能讀懂它，除了聽(tīng)懂之外，能讀出自己

2、的體會(huì)來(lái)，閱讀和理解是一個(gè)非常重要的環(huán)節(jié)。中文的閱讀理解和英文的閱讀理解是有差異的。一會(huì)張老師給分析數(shù)學(xué)的閱讀理解應(yīng)該注意什么？第二個(gè)就是學(xué)會(huì)提出問(wèn)題，因?yàn)槲覀兯伎紗?wèn)題總是有問(wèn)題我們才思考，特別是我們?cè)谡n程目標(biāo)的制定上我們提出了我們從要學(xué)會(huì)分析和解決問(wèn)題到我們提出學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題所以數(shù)學(xué)思考最主要的著眼點(diǎn)是思考問(wèn)題，思考問(wèn)題的前提是要有問(wèn)題，在我們學(xué)習(xí)概念、定理、定義，例題、應(yīng)用。應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的過(guò)程中我們要不斷地產(chǎn)生問(wèn)題，不斷地思考問(wèn)題，我們都需要從問(wèn)題入手，那張老師會(huì)幫助我們分析要想學(xué)生有問(wèn)題，老師就要有問(wèn)題，很多教材就是從問(wèn)題提出開(kāi)始的。在某種意義上就是要教會(huì)學(xué)生提出問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題。

3、這是自主學(xué)習(xí)和會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)的第二個(gè)重要的方面。第三個(gè)方面：數(shù)學(xué)是一個(gè)講邏輯、講體系的。很多東西彼此之間是有聯(lián)系，那么我們學(xué)的數(shù)學(xué)他的概念、定理都不是一個(gè)孤立知識(shí)點(diǎn)，而是一個(gè)完整的由聯(lián)系的一個(gè)整體，所以我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)給了我們一個(gè)重要的任務(wù)，當(dāng)我們學(xué)了一些知識(shí)點(diǎn)、概念、定理、我們會(huì) 梳理他，總結(jié)他，把我們新學(xué)的和我們已經(jīng)學(xué)過(guò)的變成一個(gè)整體的認(rèn)識(shí)。這是學(xué)好數(shù)學(xué)、會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)非常重要的方面。這也是第三個(gè)方面。第四個(gè)方面要會(huì)表達(dá)，要能說(shuō)出來(lái)，寫(xiě)出來(lái)。表達(dá)有兩種主要的方式，一個(gè)是寫(xiě)的方式，如考試等。忽視的另一個(gè)是口頭的表達(dá)。現(xiàn)在強(qiáng)調(diào)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)非常重視學(xué)生的口頭表達(dá)。比如說(shuō)對(duì)于大學(xué)現(xiàn)在也研究生基本是以學(xué)生講

4、為主，這種方式對(duì)于學(xué)好數(shù)學(xué)是非常重要的。能夠嘗試這樣做。懂沒(méi)懂你講出來(lái)看看，懂的程度怎樣講出來(lái)看看。這包括我們老師，我們老師聽(tīng)別的老師講課時(shí)，我們會(huì)感受到他對(duì)數(shù)學(xué)的理解和認(rèn)識(shí)中間存在的差距，所以我們想從這四個(gè)方面，討論如何從學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)到會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)，第一個(gè)問(wèn)題就想問(wèn)問(wèn)張老師，一個(gè)一個(gè)地分析首先是閱讀理解第一個(gè)就是想問(wèn)數(shù)學(xué)閱讀理解和語(yǔ)文的閱讀理解、英語(yǔ)的閱讀理解有什么共同的地方？有什么不同的地方？張老師說(shuō)：會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)表現(xiàn)的幾個(gè)環(huán)節(jié)是輸入、吸收、轉(zhuǎn)化、輸出。閱讀是輸入的最重要的環(huán)節(jié)，傳統(tǒng)上看到學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程，小學(xué)是老師講，老師的全部的工作就是用生動(dòng)的語(yǔ)言加深情給學(xué)生創(chuàng)造學(xué)習(xí)的過(guò)程，老師帶大家練。大家可以想

5、象小學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程，老師要和大家一起舉起手扳手來(lái)指導(dǎo)，一個(gè)一個(gè)得算，輸入是用眼睛和耳朵來(lái)做的。我們?cè)谧龅倪@個(gè)閱讀，實(shí)際上到了初中，會(huì)看到，學(xué)生在這方面表達(dá)的主觀能動(dòng)性是比較弱的。而是希望等著老師來(lái)講，很多老師認(rèn)為老師講效率特別高認(rèn)為我先理解掰開(kāi)了、揉碎了，把最精彩的減少思維容量的，最便于你理解的東西，按照老師安排的順序給學(xué)生安排好認(rèn)為這是由效率的。但是我們時(shí)間長(zhǎng)了以后會(huì)發(fā)覺(jué)，。一旦會(huì)遇到新的問(wèn)題，一旦留一點(diǎn)點(diǎn)閱讀作業(yè)，學(xué)生就會(huì)有很大的問(wèn)題。他不知道讀什么？就會(huì)把這劃歸為讀語(yǔ)文書(shū)?？从⒄Z(yǔ)書(shū)甚至是小人書(shū)。說(shuō)，看過(guò)了嗎？看過(guò)了，有什么影像，幾乎都說(shuō)不出來(lái)。我們會(huì)很觀念的一個(gè)問(wèn)題，比如說(shuō)現(xiàn)在讀五分鐘書(shū)，

6、然后告訴我說(shuō)什么？他們就會(huì)說(shuō)里邊的事或過(guò)程，最后里邊的關(guān)系表達(dá)什么意思數(shù)學(xué)的東西都說(shuō)不了，我覺(jué)得這就是我們的問(wèn)題，所以，我想我們?cè)谌胧值臅r(shí)候應(yīng)該把閱讀要分解，從一開(kāi)始我們就要有意識(shí)地留一些閱讀的作業(yè)。比如。概念、定理的學(xué)習(xí)。我們做這樣的事情，老師不要先講，先設(shè)計(jì)一個(gè)情景，那我們要生成一個(gè)概念，然后學(xué)生可以自己說(shuō)，向高中里的等差數(shù)列，什么是數(shù)列？學(xué)生會(huì)說(shuō)，一串?dāng)?shù)，都能接受。那等差就是差相等的數(shù)列，那大家都可以說(shuō)。那差相等的數(shù)列就是等差數(shù)列對(duì)不對(duì)呢？，去閱讀。閱讀的時(shí)候就要跟自己形成的概念，去找相同和不同，書(shū)上的話是：從第二項(xiàng)起后項(xiàng)減去前項(xiàng)，等于同一個(gè)乘數(shù)。那這些話和剛才講的差異就是一個(gè)閱讀點(diǎn)，要

7、讓他通過(guò)這個(gè)閱讀來(lái)發(fā)現(xiàn)差異，這是閱讀的一個(gè)基本要求。同樣在初中也有很多，比如公式，學(xué)生老去讀，讀出來(lái)的東西就是那個(gè)結(jié)果x2-y2=x-y（x+y)向這樣的結(jié)果學(xué)生反復(fù)在那兒讀，但是老師就沒(méi)有說(shuō)數(shù)學(xué)的閱讀的要求。要讀出這個(gè)式子的結(jié)構(gòu)，這邊兩個(gè)單項(xiàng)式做差那邊兩個(gè)一次做積，他是其次的。那么這邊是二次的，那邊乘數(shù)的乘法也是二次的，二次是個(gè)面積，如果x是一個(gè)常數(shù)單位的話。他是一個(gè)面積表達(dá)式，這邊合起來(lái)也是個(gè)面積表達(dá)式，那么他到底是個(gè)什么面積表達(dá)式呢？大家可以取表達(dá)：比如說(shuō)一個(gè)大正方形一個(gè)小正方形，要有這樣一些觀念。包括勾股定理其實(shí)老師可以備成a2+b2=c2 或者備成這三個(gè)字母可以換換位置。其實(shí)這些都不

8、重要。那重要的是要讀出自然語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言的差異。那勾股定理的表達(dá)式也是一個(gè)邊長(zhǎng)的平方，是一次量變成二次量那么他還是一個(gè)面積的表達(dá)式，這樣面積表達(dá)式為什么都是二次呢？左右都表達(dá)的是面積量，那么從這些角度去觀察公式的特點(diǎn)要讀出來(lái)。所以我們建議在培養(yǎng)學(xué)生閱讀能力的時(shí)候，一開(kāi)始老師要示范，然后要給學(xué)生一些閱讀的要求。比如說(shuō)，第一個(gè)閱讀帶上書(shū)用自然語(yǔ)言復(fù)述，這是閱讀的第一個(gè)要求。第二閱讀就是用自己做的符號(hào)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)這個(gè)結(jié)果。第三個(gè)最好把這個(gè)結(jié)果能用圖或例子來(lái)印證他，這樣我們就能看到閱讀的效果。也可以舉例子。那么，王老師你說(shuō)在您的閱讀教學(xué)里邊對(duì)學(xué)生的要求是這樣提上去的？王老師說(shuō)：怎么讀概念，在讀概念一定要幫

9、助學(xué)生認(rèn)識(shí)，在這個(gè)概念中關(guān)鍵詞是什么：最要緊的東西是什么？什么是可有可無(wú)的？什么是一字不可改變的？什么是最本質(zhì)的東西？我覺(jué)得這件事情，我們?cè)谧x概念的時(shí)候應(yīng)該注意的，所以們讀語(yǔ)文、英文和讀數(shù)學(xué)是有差別的。他就是希望你把數(shù)學(xué)最核心的東西找出來(lái)，至少這是閱讀概念的最基本的要求。大家一起來(lái)討論，不同的同學(xué)有不同的認(rèn)識(shí)，沒(méi)有關(guān)系，最后我們要把握這個(gè)的東西，另外對(duì)概念的理解不僅僅是字面上理解了，而且要舉例子，要用你比較貼切比較熟悉的東西來(lái)詮釋這個(gè)概念，這是閱讀中的需要思考的東西，也是你理解的表達(dá)。所以，一邊讀一邊想一邊舉例子，這樣抽象的東西才有可能落在你的腦子里。因?yàn)閿?shù)學(xué)的特點(diǎn)是抽象，理解抽象最好的辦法是

10、舉例子。舉最貼切的例子，最反應(yīng)本質(zhì)的例子。在閱讀概念上需要強(qiáng)化的東西，在很多書(shū)上就是經(jīng)驗(yàn)的時(shí)候強(qiáng)調(diào)就是學(xué)了一個(gè)新的東西，比如說(shuō)單項(xiàng)式、多項(xiàng)式一定要讓學(xué)生舉出來(lái)什么是？每個(gè)人要舉不同的。這對(duì)學(xué)生有困難，另外在讀概念的時(shí)候要會(huì)去聯(lián)想，我這個(gè)概念和我們?cè)瓉?lái)學(xué)過(guò)的什么有聯(lián)系，我希望老師能關(guān)注凡是重要的概念，一定在前面為做足夠的準(zhǔn)備，你比如說(shuō)函數(shù)的概念，在學(xué)習(xí)我們已經(jīng)為他做了很多的準(zhǔn)備工作。不僅在數(shù)學(xué)上而且在實(shí)際中。比如說(shuō)，兩個(gè)數(shù)相加等于和，當(dāng)固定一個(gè)叫被加數(shù)的時(shí)候，那么和是隨著加數(shù)的增加在增加，那么給定一個(gè)加數(shù)就有一個(gè)和，他沒(méi)有提出函數(shù)的概念，但是他反應(yīng)了就是函數(shù)本身的東西，這樣的東西在小學(xué)很多，實(shí)際

11、中更是這樣。速度一定，當(dāng)時(shí)間增加是路程也在增加。我們經(jīng)常說(shuō)隨著時(shí)間的增加，走的路程會(huì)越來(lái)越長(zhǎng)，那這些都是孩子能明白的語(yǔ)言，到了初中，這些東西就要有一個(gè)提升，當(dāng)我們學(xué)習(xí)變量有依賴(lài)關(guān)系的時(shí)候，我們就要幫助孩子把小學(xué)學(xué)過(guò)的和我們這些新的東西有機(jī)地聯(lián)系起來(lái)。這是值得大家關(guān)注的事情。剛才說(shuō)了概念，再比如說(shuō)定理，你一定要有鋪墊的。你為什么提出這個(gè)定理。這個(gè)定理是為了解決什么問(wèn)題？要引入的。比如說(shuō)勾股定理，有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形。是一個(gè)用角來(lái)刻畫(huà)的判定，那么我們很自然地要問(wèn)能不能用邊來(lái)刻畫(huà)這個(gè)三角形。我們能不能用面積來(lái)刻畫(huà)作為直角三角形的特點(diǎn)。作為直角三角形的引入是有所謂的。第二個(gè)重要我們得到了

12、定理，怎么表述這個(gè)定理。實(shí)際上這為我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)在做樣子。我們就是這樣在敘述一個(gè)又一個(gè)的命題。只有這樣才能把事情說(shuō)清楚。說(shuō)的別人容易懂。緊接著是證明，我覺(jué)得不僅僅是別人能看懂別人證明沒(méi)有錯(cuò)誤，我們還要思考在這個(gè)證明中，關(guān)鍵的步驟是誰(shuí)，關(guān)鍵的想法什么？為什么要這樣來(lái)想？我覺(jué)得這也是理解定理非常重要的東西。數(shù)學(xué)閱讀理解不僅僅是讀文字，跟重要的是這些文字背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)的意義和數(shù)學(xué)的思想。定理的另外的重要的環(huán)節(jié)就是他總是陪著例題而來(lái)的。也就是我們要讀這個(gè)定理的意義什么？這個(gè)定理給我們帶來(lái)什么好處？好處背后的想法是什么？所以閱讀這件事情一定不是總是讀文字，在某種意義上說(shuō)閱讀理解是密不可分的。所以建議我們

13、的老師應(yīng)該，當(dāng)然讀習(xí)題需要老師進(jìn)行指導(dǎo)的東西。張老師說(shuō)：特別同意王老師提的閱讀跟別的科目的閱讀很不一樣。而且數(shù)學(xué)的書(shū)已經(jīng)改了。原來(lái)的書(shū)是寫(xiě)給老師的，現(xiàn)在的書(shū)努力寫(xiě)給學(xué)生。向王老師說(shuō)，讀要分幾個(gè)層次，數(shù)學(xué)的讀，老師和同學(xué)們提建議的時(shí)候都是拿著紙和筆，。在書(shū)的旁白的地方要把想法寫(xiě)出來(lái)，向讀定理的證明過(guò)程，讀例題要想干什么怎么寫(xiě)？為什么怎么寫(xiě)？寫(xiě)的那個(gè)要做什么事，他的依據(jù)是什么？運(yùn)算過(guò)程用了什么東西。用了什么法則？都要標(biāo)注。最后，我們很多學(xué)生在做作業(yè)的時(shí)候經(jīng)常出錯(cuò)。就是沒(méi)有好好看人家寫(xiě)的過(guò)程，最后因?yàn)樗?，?xiě)方程最后老師說(shuō)，x=2是方程的根。而不說(shuō)方程的解集有什么？方程的根有什么？向這些都需要看書(shū)的

14、通過(guò)幾遍看書(shū)把這些東西都看出來(lái)，體會(huì)這個(gè)要求。所以讀數(shù)學(xué)書(shū)我們既要給學(xué)生機(jī)會(huì)，同時(shí)告訴他這不是一遍就讀完了，可能要讀兩遍、三遍。王老師說(shuō)：另外還有一個(gè)我想跟老師們說(shuō)，必須特別重視的東西。就是數(shù)學(xué)的語(yǔ)言有三種形式：一種是自然語(yǔ)言，數(shù)學(xué)表達(dá)一個(gè)問(wèn)題的時(shí)候有他表達(dá)的一些規(guī)律。所以學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的自然語(yǔ)言刻畫(huà)問(wèn)題這是一個(gè)重要的本領(lǐng)。本領(lǐng)恰恰是在數(shù)學(xué)的閱讀理解是容易幫助學(xué)生形成的。因?yàn)槲覀兯f(shuō)的每一句話都會(huì)給他們帶來(lái)了幫助。這是第一個(gè)特點(diǎn)。第二種特點(diǎn)圖形語(yǔ)言。所以會(huì)讀圖是非常重要的。有的人，給他一個(gè)圖能看出很多的信息。有的人看一個(gè)圖看不出多少信息，這是需要我們培養(yǎng)學(xué)生的，怎么讀圖？怎么把我們學(xué)過(guò)的東西容在對(duì)

15、圖形的理解中。使我們發(fā)現(xiàn)他的更多的信息，幫助我們解決問(wèn)題。第三種語(yǔ)言：符號(hào)語(yǔ)言。在某種意義上也是特別重要的，我覺(jué)得初中階段，要幫助學(xué)生熟悉符號(hào)的表達(dá)，是一個(gè)非常重要的階段。也是一個(gè)最及時(shí)的階段，就是孩子能接受這種符號(hào)的表達(dá)，并且能從符號(hào)的表達(dá)中得到更多的信息。比如說(shuō)，三個(gè)等式完全平方和的公式、平方差的公式要讀出這個(gè)公式蘊(yùn)含給我們帶來(lái)的數(shù)學(xué)的好處。這是非常重要的。最近又有人提出一種新的語(yǔ)言特點(diǎn)，就是數(shù)據(jù)。有的人能從數(shù)據(jù)里看出東西，而有的人從數(shù)據(jù)里看不出東西。特別是前三個(gè)，一定不是孤立的。他們?nèi)齻€(gè)有機(jī)地融入我們對(duì)數(shù)學(xué)的理解之中。所有希望老師重視閱讀理解。對(duì)學(xué)生提高學(xué)習(xí)效率，會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)是一個(gè)基本功。第

16、二方面就是提問(wèn)題，我們的有一種慣性，就是老師自己拋問(wèn)題、自己講、自己設(shè)問(wèn)、認(rèn)為這個(gè)空隙比較大，在這個(gè)過(guò)程中希望老師把這個(gè)問(wèn)題講清楚，最后我們經(jīng)?？吹嚼蠋熥詈髥?wèn)還有沒(méi)有問(wèn)題，學(xué)生答沒(méi)有了。這時(shí)候老師露出滿意的笑容。老師就說(shuō)課就達(dá)成目標(biāo)了。其實(shí)我想學(xué)習(xí)的進(jìn)程一定是一個(gè)不斷提出，解決問(wèn)題，同時(shí)有新的問(wèn)題產(chǎn)生。這樣的一個(gè)循環(huán)的過(guò)程。學(xué)習(xí)就是要不斷地有新的問(wèn)題和新的解決的過(guò)程，那么我們同學(xué)沒(méi)有問(wèn)題或者是提不出問(wèn)題，其實(shí)是我們傳統(tǒng)教育的一個(gè)弊病。不僅是在小學(xué)、初中、高中甚至是大學(xué)里也有這樣的問(wèn)題。我們很多學(xué)生是等著老師給問(wèn)題。所以在我們的教學(xué)環(huán)節(jié)中要故意留下一些讓學(xué)生想和說(shuō)、問(wèn)的過(guò)程，所以我們建議用一些專(zhuān)

17、門(mén)的辦法，比如說(shuō)，問(wèn)題場(chǎng)的策略。說(shuō)一個(gè)問(wèn)題情景，把這個(gè)問(wèn)題放在情景中，讓學(xué)生去提，有沒(méi)有多一點(diǎn)、少一點(diǎn)會(huì)產(chǎn)生什么？有沒(méi)有跟他相似或不相似。非得這樣嗎？用這種挑釁行為。用這種激發(fā)的語(yǔ)氣來(lái)激發(fā)學(xué)生來(lái)提出自己的命題，特別是在提問(wèn)的環(huán)節(jié)里邊，老師要一定要設(shè)計(jì)這樣一個(gè)寬容的態(tài)度，不論學(xué)生說(shuō)的多、少都要用鼓勵(lì)的態(tài)度表達(dá)對(duì)學(xué)生的一種期待，我覺(jué)得這是能夠鼓勵(lì)學(xué)生提問(wèn)題的一個(gè)非常重要的教學(xué)環(huán)節(jié)和氣氛。王老師說(shuō)：剛才思明說(shuō)了，其實(shí)我們前面也提到這樣的一個(gè)意思。數(shù)學(xué)呢沒(méi)有思考的數(shù)學(xué)或者說(shuō)沒(méi)有思維量的數(shù)學(xué)不能算是好課。那下面我們要問(wèn)思維什么？想什么？我覺(jué)得老師應(yīng)該清楚。想的是問(wèn)題。比如剛才我們?cè)诶斫飧拍畹臅r(shí)候，實(shí)際上

18、我們就在思考一些問(wèn)題：這個(gè)概念的關(guān)鍵詞是什么？什么東西是不能動(dòng)的？什么表達(dá)是最準(zhǔn)確的？什么東西可有可無(wú)的？那么這些在某種意義上都是一種問(wèn)題。大的問(wèn)題就是定理的產(chǎn)生是靠問(wèn)題給出來(lái)的。所以培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力。我覺(jué)得是非常重要的一件事情。剛才思明特別批評(píng)了這樣一種行為。我們的目的決不是把學(xué)生教的沒(méi)有問(wèn)題。而是教的學(xué)生會(huì)提問(wèn)題。只有這樣我們才能把學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)的理解引向深入。他掌握了這個(gè)對(duì)于好學(xué)生來(lái)說(shuō)，他就要再想。比如說(shuō)，在求解二元一次方程組，我們可以讓學(xué)生想啊，我們有兩種策略，一種是代數(shù)效應(yīng)、一種是加減效應(yīng)。我們可以問(wèn)學(xué)生你更喜歡哪個(gè)？為什么？說(shuō)出道理了。我到學(xué)校去，有的老師這樣提，有的學(xué)生

19、就會(huì)給出好的理由。有的同學(xué)是這樣說(shuō)的：兩種方法都可以得到結(jié)果，第二他們選擇ax+by=c,a1x+b1y=c1.這個(gè)一般方程。他們分析了一下，用加減消元法的計(jì)算量和用代入消元法的計(jì)算量有什么差異？他們就規(guī)定，乘一個(gè)數(shù)算一次，加一個(gè)數(shù)算一次。于是他們就計(jì)算出來(lái)到底哪個(gè)計(jì)算量比較大。他們就我們一個(gè)回答。所以我們更喜歡加減消元法。一他是通性通法、二算起來(lái)簡(jiǎn)便、三一碰到這個(gè)問(wèn)題就會(huì)。學(xué)生又有補(bǔ)充。如果某個(gè)系數(shù)是1的時(shí)候我們可以用代入消元法。有的同學(xué)為了強(qiáng)化這件事，他們提出了三元一次方程組呢？這個(gè)計(jì)算量的差別就更明顯了。所以孩子們?cè)谒伎歼@個(gè)問(wèn)題，的過(guò)程中，我們不想說(shuō)那個(gè)更好。他對(duì)這個(gè)問(wèn)題的理解就深入了。

20、當(dāng)你們到大學(xué)學(xué)高等代數(shù)、線性代數(shù)的時(shí)候。你們會(huì)進(jìn)一步地體會(huì)這件事，代入有代入的好處。我們叫換元。換元最重要的好處，可能在其他地方。在這兒系數(shù)是1用代入更方便一點(diǎn)。但是如果說(shuō)一般的形式還是有差別的。建議我們的老師要引導(dǎo)學(xué)生。比如說(shuō)，有的老師在求解一元一次方程的時(shí)候也問(wèn)這樣的問(wèn)題，一元一次方程最關(guān)鍵的步驟是什么？逼著孩子們?nèi)ハ?。我在一個(gè)學(xué)校聽(tīng)課的時(shí)候，那個(gè)學(xué)校的學(xué)生回答：我認(rèn)為關(guān)鍵步驟是合并同類(lèi)項(xiàng)。我在旁邊又問(wèn)孩子合并同類(lèi)項(xiàng)最主要的是什么？孩子經(jīng)過(guò)討論之后，合并同類(lèi)項(xiàng)最核心的東西是數(shù)的運(yùn)算。因?yàn)楦莻€(gè)同類(lèi)項(xiàng)沒(méi)關(guān)系，主要是系數(shù)的運(yùn)算。回答的多好，他動(dòng)了腦筋。我緊接著又跟他們討論，怎么避免錯(cuò)誤。孩子們

21、又給出說(shuō)法，我要有一個(gè)計(jì)算程序。這樣就少出錯(cuò)，我覺(jué)得一旦孩子動(dòng)起腦筋來(lái)，他的學(xué)習(xí)效果就會(huì)越來(lái)越好。他就越來(lái)越好地學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)。我想更重要的是這是創(chuàng)新的基礎(chǔ)。將來(lái)我們的孩子要能成為對(duì)社會(huì)有用的人，他就必須不斷地發(fā)現(xiàn)、提出問(wèn)題從長(zhǎng)遠(yuǎn)來(lái)說(shuō)這是更重要的東西。所以我想提出問(wèn)題這樣一個(gè)環(huán)節(jié)是一個(gè)重要的環(huán)節(jié)。張老師說(shuō)：他同意王老師的這種想法。作為我們老師培養(yǎng)學(xué)生善于提問(wèn)題也有很多策略可以做。比如說(shuō)，我們要求學(xué)生每舉一個(gè)問(wèn)題，要舉一個(gè)平行的問(wèn)題。每看到一個(gè)例題，要另外做一個(gè)問(wèn)題。每次一個(gè)定理，一定要問(wèn)條件、作用?；蛘吣懿荒茏鲆粋€(gè)逆定理。這樣的一些過(guò)程，都要讓學(xué)生養(yǎng)成思考的習(xí)慣，還有就是老師改變自己的角色。老師不要

22、老師當(dāng)真理、正義的化身。當(dāng)你看到學(xué)生有一些好的想法和解法，你一定要裝傻。假裝自己不知道，欣賞學(xué)生，老師用這種方式來(lái)激發(fā)學(xué)生表現(xiàn)自己的獨(dú)立思考。那罵我經(jīng)常這樣去，學(xué)生就會(huì)有一種思考的習(xí)慣。甚至是超過(guò)老師，打倒老師這樣一種習(xí)慣。某特級(jí)教師他專(zhuān)門(mén)講就是老師要有意識(shí)地讓學(xué)生超越自己，那么王老師也給我們講過(guò)，就是老師最好的老師就是把學(xué)生舉起來(lái)，學(xué)生認(rèn)為自己提高是看不到老師的作用自己就站得很高。其實(shí)是老師一步一步地讓他站得那么高。這是老師的一種境界。那么我們?cè)O(shè)計(jì)這樣的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)變角色，把發(fā)現(xiàn)最好的解法的專(zhuān)利讓給學(xué)生，讓他表現(xiàn)這個(gè)過(guò)程，他就會(huì)有越來(lái)越多的問(wèn)題，超越老師就變成想做的事，這樣班里就有一種問(wèn)題的策

23、略，絕對(duì)不滿足老師給我們的這個(gè)結(jié)果。這時(shí)候班里的學(xué)生發(fā)問(wèn)、提問(wèn)、主動(dòng)去想就變成了一種慣性。我想我們介紹了閱讀和提問(wèn)，還有王老師提出來(lái)的很重要的幫助學(xué)生會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)的策略就是：及時(shí)梳理。主動(dòng)地梳理知識(shí)，這種習(xí)慣經(jīng)常被老師異化成考前復(fù)習(xí)，其實(shí)我們應(yīng)該把這個(gè)過(guò)程變成學(xué)生經(jīng)常的不用特別多，每節(jié)課有每節(jié)課的梳理。每周有每周的梳理，每章有每章的梳理。每一個(gè)專(zhuān)題可以做一個(gè)梳理。這種梳理可以變成一種習(xí)慣。王老師你說(shuō)呢？王老師說(shuō)：首先是因?yàn)閿?shù)學(xué)的特點(diǎn)，數(shù)學(xué)是一個(gè)講邏輯的、講體系的。講聯(lián)系的。因此，我們要學(xué)的東西是有聯(lián)系的。隨著你學(xué)的不斷增加，你就會(huì)不斷地把這個(gè)聯(lián)系找出來(lái)，才叫明白了數(shù)學(xué)。否則就叫孤立的東西。我們現(xiàn)在

24、學(xué)習(xí)效率不高，常常就是因?yàn)槲覀儼阉闯晒铝⒌闹R(shí)點(diǎn)，一對(duì)一的認(rèn)識(shí)，效率高不到哪兒去。一旦我們把他的內(nèi)在聯(lián)系思考出來(lái)。那么我想我們對(duì)數(shù)學(xué)的理解就深刻了。我們駕馭就容易了。有的老師是按題來(lái)教數(shù)學(xué)，我覺(jué)得這不好，我們還是需要把控?cái)?shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系，數(shù)學(xué)的一個(gè)體系。求解二次方程、求解二元一次方程組一定和一次方程有聯(lián)系。所以在一次方程里你要把合并同類(lèi)項(xiàng)的問(wèn)題解決掉。到了二次方程的時(shí)候，你就要注意，現(xiàn)在有三類(lèi)同類(lèi)項(xiàng)：二次項(xiàng)、一次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)、二元一次方程的時(shí)候也有三項(xiàng)：x項(xiàng)y項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)。這樣你就把合并同類(lèi)項(xiàng)作為一個(gè)預(yù)備知識(shí)強(qiáng)調(diào)了。孩子們自然而然地就鞏固了對(duì)這件事情的認(rèn)識(shí)。你又提出了新的任務(wù)。那么，二次方程最基本

25、形式是什么？我們教學(xué)總是要強(qiáng)調(diào)x平方等于a就是。而這件事情實(shí)際在以前就學(xué)過(guò)，在根式的概念里就強(qiáng)調(diào)過(guò)。為什么要引入根號(hào)2呢？是兩個(gè)動(dòng)力來(lái)源。一個(gè)是度量、一個(gè)是方程求解。那么我們這一類(lèi)方程就說(shuō)清楚。那么緊接著x平方等于a我們會(huì)，那我們?cè)偃ナ崂恚氵€會(huì)什么？那我們說(shuō)當(dāng)把x換成by+c括號(hào)等于另外一個(gè)d，我們也會(huì)就是把他變成一元二次方程了。那么我們下面再問(wèn)了。你會(huì)的東西是不把所有的一元二次方程都會(huì)了？那我們?cè)倩卮?。我們可以?huì)什么，我們會(huì)配方。這樣你就怎么會(huì)配方呢？因?yàn)槲覍W(xué)過(guò)三個(gè)公式：兩個(gè)完全平方公式，他就保證我們會(huì)配方，你總是想辦法把我們學(xué)過(guò)的東西串起來(lái)。他就不是孤立的，而是一環(huán)扣一環(huán)。我們總希望學(xué)生

26、學(xué)的扎實(shí)，我們只有這樣才能使學(xué)生學(xué)的扎實(shí)。也贊成張老師提出的建議，一定不要等到考試前，才有復(fù)習(xí)的環(huán)節(jié)，才有梳理的環(huán)節(jié)，不是每一節(jié)都一個(gè)常規(guī)的任務(wù)。每一周都應(yīng)該思考這樣的問(wèn)題。每一個(gè)月、每一個(gè)學(xué)期。每一章我們都需要去考慮?？赡艽蠹议_(kāi)始的時(shí)候講過(guò)人人獲得良好的數(shù)學(xué)教育。我們特別舉了平行四邊形的復(fù)習(xí)課。我覺(jué)得老師需要把他當(dāng)做一個(gè)目標(biāo)實(shí)現(xiàn)，要幫助學(xué)生學(xué)會(huì)梳理、總結(jié)知識(shí)的能力。要幫助學(xué)生養(yǎng)成梳理、總結(jié)知識(shí)的習(xí)慣。這樣學(xué)生會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)的能力就不斷地提升，我覺(jué)得這是我們老師需要重視的事情。也希望老師把自己的經(jīng)驗(yàn)給出來(lái)，我們一起討論。張老師說(shuō)：這里面我也覺(jué)得作為老師也有一個(gè)要求。因?yàn)槭崂碇R(shí)是很有個(gè)性的，學(xué)生做起

27、來(lái)很容易做的事情是羅列知識(shí)點(diǎn)，這樣梳理入門(mén)的時(shí)候是這樣的，但是我想我們老師應(yīng)該在這個(gè)地方發(fā)揮學(xué)生的個(gè)性特長(zhǎng)，比如說(shuō)，同學(xué)經(jīng)常梳理自己出錯(cuò)的地方。因?yàn)槌鲥e(cuò)點(diǎn)他自己有體會(huì)，把這個(gè)體會(huì)清楚，就是對(duì)知識(shí)更深刻的理解。還有我們培養(yǎng)有些個(gè)性的，比如說(shuō)，建立函數(shù)圖像庫(kù)，讓學(xué)生來(lái)說(shuō)我的庫(kù)里放了多少函數(shù)，為什么放這些不夠呢？比如說(shuō)，一次函數(shù)放兩個(gè)：增的、減的。有的同學(xué)說(shuō)放四個(gè)：y等于x是一個(gè)；y等于-x是一個(gè)。Y等于2x是一個(gè)。等等，不同的學(xué)生有不同的梳理方式。你只要說(shuō)清楚你為什么這樣放？還有我們可以用導(dǎo)數(shù)。我們學(xué)了這么一大堆，你認(rèn)為最好的例題有幾個(gè)？不要多，一章有五個(gè)，學(xué)生就要挑，他好在什么地方，覆蓋哪些知識(shí)

28、和重點(diǎn)方法。我覺(jué)得這個(gè)老師可以根據(jù)學(xué)生自身的知識(shí)結(jié)構(gòu)揚(yáng)長(zhǎng)補(bǔ)短。當(dāng)然這個(gè)過(guò)程要不斷梳理，也要互相交流。各自梳理的優(yōu)缺點(diǎn)。這就是幫助建立起梳理的習(xí)慣。剛才王老師說(shuō)的第四個(gè)方向，就是表達(dá)。表達(dá)從小學(xué)開(kāi)始經(jīng)?？吹嚼蠋熗ㄟ^(guò)提問(wèn)的方式讓學(xué)生表達(dá)。但是我們經(jīng)常看到提到的短問(wèn)題：是不是??？像不像?。靠闯鍪裁?？得到什么？我們希望的表達(dá)是越來(lái)越讓學(xué)生主動(dòng)的用多種形式，特別是王老師提出的口頭表達(dá)，在我們那么學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的口頭表達(dá)，困難也是我們著力要克服的東西。王老師說(shuō)，為什么說(shuō)書(shū)面表達(dá)是一種方式，大家都很重視，尤其是做題、考試。當(dāng)然，也有老師在嘗試數(shù)學(xué)小作文，數(shù)學(xué)小論文。也是一種書(shū)面表達(dá)。這是一種很好的創(chuàng)造。但是，

29、我們今天要強(qiáng)調(diào)的是要給學(xué)生口頭表達(dá)的機(jī)會(huì)。那么，口頭表達(dá)。在我們課堂教學(xué)中是有的，但是目前的口頭表達(dá)比較多的是非的表達(dá)，短問(wèn)題，就是思維量少了，所以建議老師能夠給學(xué)生一些有深度的。能夠顯示他水平和理解的表達(dá)的機(jī)會(huì)。這是大家需要大家重視的一件事情。為了能使大家能夠理解我舉一些例子：我們都知道杜郎口現(xiàn)象，我們很多初中都在學(xué)，當(dāng)時(shí)我們團(tuán)隊(duì)去了四次，在哪兒住了一段時(shí)間，我只說(shuō)其中一個(gè)。就是杜郎口中學(xué)他們做的題的數(shù)量和附近學(xué)校做題的數(shù)量，我們做過(guò)一個(gè)計(jì)算，就是他們做題的數(shù)量，是同樣中學(xué)做題數(shù)量的多余二分之一不足三分之一的這么一個(gè)數(shù)量，在某種意義上，遠(yuǎn)比其他學(xué)校做的數(shù)量要少，但是他們的中考成績(jī)要比其他同類(lèi)

30、學(xué)校略高一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)我們就分析這個(gè)原因，為什么大家普遍學(xué)的還是不錯(cuò)的，就是后來(lái)我們發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)原因，就是杜郎口中學(xué)，對(duì)于基本問(wèn)題要求學(xué)生掌握的很好，就是他一般對(duì)于基本問(wèn)題要循環(huán)這么幾個(gè)層次：第一個(gè)，就是自己會(huì)看，看一遍，第二就是自己講出來(lái)。第三，要能挑人家的毛病，第四就是把講完結(jié)果寫(xiě)出來(lái)。第五，自己做完的事情，寫(xiě)在自己的小黑板上。他們做作業(yè)一個(gè)很重要的就是寫(xiě)在小黑板上，但是大家想，一個(gè)基本的東西，做這么多，我想最基本東西的基礎(chǔ)是可以的。尤其是口頭表達(dá)這么一個(gè)環(huán)節(jié)，我覺(jué)得對(duì)學(xué)生的要求是很高的，就是把我們對(duì)問(wèn)題的理解，或者，尤其是我對(duì)這個(gè)問(wèn)題的思考說(shuō)利落了，我們?cè)诠P頭表達(dá)的時(shí)候可以記憶，但是口頭表達(dá)

31、在某種意義上是需要即興尤其是別人當(dāng)場(chǎng)提出問(wèn)題來(lái)你要當(dāng)場(chǎng)進(jìn)行問(wèn)題的理解，所以大家要重視口頭表達(dá)，我們老師會(huì)提這么一個(gè)問(wèn)題;說(shuō)讓每一個(gè)同學(xué)把學(xué)過(guò)的東西講一遍，那有這么多時(shí)間。所以，我們建議大家在小組合作里邊，可以補(bǔ)充這一點(diǎn)，我們要讓更多的張開(kāi)嘴，把他們的想法說(shuō)出來(lái)，把他們的做法說(shuō)出來(lái)，看誰(shuí)說(shuō)的清楚，講一個(gè)故事：我曾經(jīng)到一個(gè)高中，他們招聘老師，一般到高中去要講課，要說(shuō)課。這是一個(gè)重要階段，另外還要做高考題，我去了校長(zhǎng)跟我說(shuō)這次是大豐收。說(shuō)，你看，來(lái)報(bào)名的由五六十個(gè)?，F(xiàn)在剩十來(lái)個(gè)，都不錯(cuò)。說(shuō)我怎么挑？王老師你有沒(méi)有主意?給個(gè)建議？我要不了那么多了。于是我就建議：這樣你讓他們從高考題里邊找兩道他認(rèn)為是最

32、好的題，注意是最好的題，就是反應(yīng)我對(duì)數(shù)學(xué)、對(duì)解題、對(duì)思考，最有體會(huì)，請(qǐng)他講給我們聽(tīng)，我們提問(wèn)。大家可以試一試，一下子層次就出來(lái)。我想，不嚴(yán)格地說(shuō)，有的人是真懂了。有的人不是真懂也可以講的很清楚。但是架不住問(wèn)，一問(wèn)對(duì)背后的東西，的理解，就可能就沒(méi)那么清楚了。我不是在挑別人不清楚的毛病，而是我們通過(guò)自己講，有時(shí)候你自己講就自己不明白、講不利落。所以利用這樣一個(gè)環(huán)節(jié)，因?yàn)槲覀兌加姓撐拇疝q，在大學(xué)無(wú)論是碩士、博士都有報(bào)告環(huán)節(jié)，其實(shí)這是培養(yǎng)學(xué)生非常好的一個(gè)環(huán)節(jié)。過(guò)去中國(guó)不采取這個(gè)，現(xiàn)在中國(guó)基本是采取這個(gè)。特別是在數(shù)學(xué)討論班里最主要的工作方式就是報(bào)告。大家輪流報(bào)告，大家互相挑問(wèn)題，互相提問(wèn)題，這樣的學(xué)習(xí)效

33、果是非常好的。所以建議老師把口頭表達(dá)和筆頭表達(dá)結(jié)合起來(lái)。把課上和課下結(jié)合起來(lái)，把獨(dú)立學(xué)習(xí)、自主學(xué)習(xí)和合作學(xué)習(xí)結(jié)合起來(lái)。形成一個(gè)比較好學(xué)習(xí)氛圍。有的叫學(xué)習(xí)場(chǎng)?；ハ嘤绊懀@樣對(duì)于我們掌握好這些東西學(xué)習(xí)一定是非常重要的。也是學(xué)習(xí)好數(shù)學(xué)一個(gè)重要的方面張老師說(shuō):自己的經(jīng)驗(yàn)就是首先老師要舍得給機(jī)會(huì)。不要像我們說(shuō)的筆頭表達(dá)很重視?？陬^表達(dá)很重要，但是你應(yīng)該給機(jī)會(huì)，書(shū)面表達(dá)要留作業(yè)，作業(yè)要及時(shí)展示，要讓學(xué)生有點(diǎn)評(píng)。比如說(shuō)，班里好的作業(yè)，有創(chuàng)意的作業(yè)，繼續(xù)展示，口頭表達(dá)可以創(chuàng)設(shè)一些環(huán)節(jié)，比如說(shuō)，有些例題，老師就開(kāi)個(gè)頭，讓學(xué)生把后面講下去，王老師提倡的小組合作學(xué)習(xí)是非常有效率的方法。表達(dá)完了以后呢，一定要各組選一

34、個(gè)代表，選一個(gè)代表一定要有一個(gè)抽樣的一個(gè)辦法，比如說(shuō)，你沒(méi)有想法必須站起來(lái)講，如果你自己沒(méi)有想法，a要講b的想法，這個(gè)好處就是他沒(méi)有心理障礙，他怎么講的，他怎么想的，然后等他講完了以后，c在站起來(lái)對(duì)他們兩個(gè)講的做點(diǎn)評(píng)，要?jiǎng)?chuàng)造機(jī)會(huì)讓他們來(lái)做這樣的表達(dá)。還有很多同學(xué)有問(wèn)題，每當(dāng)學(xué)生提問(wèn)題的時(shí)候，老師首先的一個(gè)就是你把原始問(wèn)題表達(dá)一下，然后告訴我數(shù)學(xué)的已知條件和相關(guān)能夠用的定理，你發(fā)現(xiàn)的是什么把這個(gè)過(guò)程延長(zhǎng)一下，讓學(xué)生表達(dá)清楚，很多時(shí)候就是這樣，當(dāng)學(xué)生把這個(gè)表達(dá)清楚的時(shí)候?qū)W生忽然來(lái)了一句，老師我不用問(wèn)你了，我想明白了。他原來(lái)的問(wèn)題就是沒(méi)有用自己的腦子梳理這個(gè)表達(dá)，一旦表達(dá)清楚了。這個(gè)最后是什么問(wèn)題的時(shí)候，他突然覺(jué)得就是這個(gè)路子，所以我們老師要利用課內(nèi)、課