關(guān)于無窮遠(yuǎn)元素與射影平面

1、引言在歐氏平面上，通過引入無窮遠(yuǎn)元素?cái)U(kuò)充歐氏平面的方法給出射影平面的概念。1.中心射影1.1.直線與直線間的中心射影設(shè)，是共面二直線，點(diǎn)是此平面內(nèi)與外任一點(diǎn)。若與上任一點(diǎn)之連線交于。則我們定義：定義1 叫做點(diǎn)從投影到上的中心射影下的對應(yīng)點(diǎn)。叫做投射線，叫做投射中心，簡稱射心。 圖（1）顯然也是在上以為射心的中心射影下的對應(yīng)點(diǎn)。取不同的射心，就得到不同的中心射影。如果與相交與點(diǎn)，則位自對應(yīng)點(diǎn)，如圖（1） 在歐氏平面上，中心射影不能建立兩直線上點(diǎn)之間的一一對應(yīng)。如果上的一點(diǎn)使平行于，則的對應(yīng)點(diǎn)將不存在。同樣在上也有一點(diǎn)，使平行于，所以在上的對應(yīng)點(diǎn)也不存在。我們將與分別稱為與上的影消點(diǎn)。1.2.平面

2、與平面之間的中心射影設(shè)與是二平面，點(diǎn)是平面外一點(diǎn)，若與上任一點(diǎn)之連線交與。則我們定義：圖（2）定義2 叫做 點(diǎn)從投影到平面的中心射影下的對應(yīng)點(diǎn)。叫做投射線，叫做投射中心，簡稱射心。顯然也是在上以為射心的中心射影下的對應(yīng)點(diǎn)?？梢钥闯鲈谥行纳溆跋缕矫鎯?nèi)的一直線對應(yīng)平面上的直線。 圖（2）當(dāng)與相交時(shí)，其交線為自對應(yīng)直線，其上的每一點(diǎn)都是自對應(yīng)點(diǎn)。同樣，平面到平面的中心射影也不能建立兩平面點(diǎn)之間的一一對應(yīng)。如圖（2），如果平面上的一點(diǎn)與的連線平行于平面，那么在上的對應(yīng)點(diǎn)便不存在，我們也稱點(diǎn)為影消點(diǎn)。若通過作與平行的平面交平面于直線。則直線在上的對應(yīng)直線也不存在，我們稱直線為影消線。類似的可以定義平面上

3、的影消點(diǎn)與影消線。顯然，影消點(diǎn)的軌跡是影消線。2.無窮遠(yuǎn)元素為了使中心射影是一一對應(yīng)，我們必須將歐氏平面加以擴(kuò)拓廣。所以我們引進(jìn)了無窮遠(yuǎn)元素。為此約定，這約定是我們歐氏平面里的概念決不矛盾。 約定 在平面內(nèi)對于任何一組平行線引入唯一一點(diǎn)叫做無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，此點(diǎn)在組中每一直線上而不在此組之外的任何直線上。無窮遠(yuǎn)點(diǎn)記以，為區(qū)別起見，平面上原有的點(diǎn)稱非無窮遠(yuǎn)點(diǎn)或普通點(diǎn)。由此可以證明空間里的一組平行線只有一公共點(diǎn)，即這組直線上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。一平面內(nèi)直線的方向有無窮多，所以平面內(nèi)的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)也有無窮多，由于每一點(diǎn)直線上只有一個(gè)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，所以平面上無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的軌跡應(yīng)該與此平面上每一條直線只有一個(gè)交點(diǎn)，因此約定：約定二

4、 一平面內(nèi)一切無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的集合組成一條直線叫做無窮遠(yuǎn)直線。無窮遠(yuǎn)直線記作，為區(qū)別起見，平面內(nèi)原有的直線叫做非無窮遠(yuǎn)直線或普通直線。無窮遠(yuǎn)直線實(shí)際上是三維空間中平行平面的交線?？臻g里有無數(shù)多個(gè)方向，因此有無數(shù)多個(gè)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，這些無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的軌跡與每個(gè)平面既然相交于一條無窮遠(yuǎn)直線，因此約定：約定三 空間里一切無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的集合組成一個(gè)平面叫做無窮遠(yuǎn)平面。無窮遠(yuǎn)平面可記以，為了區(qū)別起見，空間里的原有平面叫做非無窮遠(yuǎn)平面或普通平面。定義3 無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，無窮遠(yuǎn)直線，無窮遠(yuǎn)平面統(tǒng)稱為無窮遠(yuǎn)元素。平面上的無窮遠(yuǎn)元素為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)與無窮遠(yuǎn)直線。3.射影直線與射影平面定義4 在歐氏直線上添加了一個(gè)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)以后，便得到一條新直線

5、，我們將它叫做仿射直線。 圖（3）圖3 是仿射直線的模型。同樣地，將此概念加以推廣即可得到仿射平面的概念。定義 5 歐氏平面上添加一條無窮遠(yuǎn)直線即得到仿射平面。圖 4 是歐氏空間中的仿射平面的模型。 圖（4）設(shè)有以為球心的球面，過球心作平面交球面于大圓，我們規(guī)定：半球面為仿射平面，大圓上的點(diǎn)為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，且通過的大圓的每一直徑的兩個(gè)端點(diǎn)當(dāng)作一個(gè)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，半球面上的其它點(diǎn)為非無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。大圓為無窮遠(yuǎn)直線。半球面上的大圓孤為普通直線，相交于上同一點(diǎn)的半大圓孤就是平行直線。如果平面與半球面相切，且平面與平面平行，就可以建立上的點(diǎn)與平面上的點(diǎn)之間的一一對應(yīng)。設(shè)為上的任一點(diǎn)，直線交與，令對應(yīng)為,則是的點(diǎn)與平

6、面的點(diǎn)之間的一一對應(yīng)，這個(gè)一一對應(yīng)使得大圓（即上的無窮遠(yuǎn)直線）對應(yīng)上的無窮遠(yuǎn)直線。定義 6 如果把仿射直線上的非無窮遠(yuǎn)點(diǎn)與無窮遠(yuǎn)點(diǎn)同等看待而不加區(qū)分，那么這條直線就叫做射影直線。圖（5）射影直線是可以看作是封閉的，因此歐氏平面上的圓常看作射影直線的模型。如圖（5），將射影直線的概念加以推廣，就可以得到射影平面的概念。定義 7 在仿射平面上，如果對于普通元素和無窮遠(yuǎn)元素不加區(qū)分，即可得到射影平面（二維射影空間）。射影平面也是封閉的。我們可以作一個(gè)默比烏斯帶，它是射影平面的一部分。如圖 （6）， 圖（6）把長方形帶紐轉(zhuǎn)，使與粘合，與粘合，這樣所得的帶的邊界是一條封閉的曲線。從帶上任一點(diǎn)出發(fā)，平行于

7、邊界移動，不越邊界能移到該點(diǎn)所在帶子的背面，所以它是單側(cè)曲面，分不出正反面，如果把默比烏斯帶的兩個(gè)同樣的邊界都粘合起來，就可以得到射影平面，它是封閉的單側(cè)曲面。但在歐氏空間里，我只能看到射影平面的一部分，如圖 6 在歐氏直線上添加了一個(gè)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)以后便得到了一條新的直線，我們把它叫做仿射直線。如果將仿射直線上的有窮遠(yuǎn)點(diǎn)與無窮遠(yuǎn)點(diǎn)同等看待而不加區(qū)分，則這條仿射直線就叫做射影直線。反過來，如果在一條射影直線上任取一個(gè)特定點(diǎn)叫做無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，而將其余的點(diǎn)叫做有窮遠(yuǎn)點(diǎn)，這樣的射影直線就是仿射直線，如果在仿射直線上再去掉這個(gè)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，就成為通常的歐氏直線了。4.射影直線（平面）與歐氏直線（平面）的關(guān)系4.1.

8、射影直線與歐氏直線的區(qū)別。（1）因?yàn)樯溆爸本€是封閉的，所以它上的一個(gè)點(diǎn)不能把射影直線分為兩部分，（2）兩個(gè)點(diǎn)才可以把射影直線分為兩個(gè)線段，（3）射影直線上的三個(gè)點(diǎn)，不能排成唯一順序（一點(diǎn)介于兩點(diǎn)之間）。如圖 7 圖（7）4.2.射影平面也與歐氏平面的區(qū)別。在歐氏平面上一條直線可以把平面分成兩個(gè)區(qū)域。在射影平面上，一條直線并不能該平面分為兩個(gè)區(qū)域。因?yàn)檫B結(jié)兩個(gè)點(diǎn)的線段有兩個(gè)，其中只有一個(gè)線段與另一直線相交。而另一個(gè)線段一定不與此直線相交。 在歐氏平面上，兩條相交直線可以把平面分成四個(gè)區(qū)域。而在射影平面上，由于直線是封閉的，且二直線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，所以兩直線只能把射影平面分成兩個(gè)區(qū)域，如（圖8）

9、圖（8） 又如：歐氏平面的不共點(diǎn)的三直線平面分為七個(gè)部分，但射影平面內(nèi)的不共點(diǎn)的三直線平面分為四部分，（ 圖9）IVIIIIIIIIIII （圖9） 還應(yīng)注意，在射影平面上點(diǎn)和直線的結(jié)合關(guān)系是：兩個(gè)不同的點(diǎn)決定一條直線，兩條不同的直線有且只有一個(gè)交點(diǎn)。 5.圖形的射影性質(zhì).引進(jìn)無窮遠(yuǎn)元素以后，便可以通過中心射影建立一平面上二直線上點(diǎn)之間的一一對應(yīng)，這種一一對應(yīng)稱為透視對應(yīng).同樣，也可以通過中心射影建立二平面之間點(diǎn)的一一對應(yīng)，也稱為透視對應(yīng).定義8經(jīng)過中心射影（透視對應(yīng)）后圖形的不變性質(zhì)（量）叫做圖形的射影性質(zhì)（不變量），如同素性，結(jié)合性都是射影性質(zhì).另外，如圓錐曲線經(jīng)過中心射影后的象還是圓錐曲

10、線，所以我們說圓錐曲線具有射影性質(zhì).圓經(jīng)過某些中心射影不變，但經(jīng)過另一些中心射影可能變成其它二次曲線而不一定是圓，因此圓這一圖形不具有射影性質(zhì). 例 證明；（1）相交于影消線的二直線必射影成平行直線（2）單比不是射影不變量。證明：（1）如圖（10），設(shè)平面上二直線，相交于影消線上一點(diǎn)經(jīng)射影對應(yīng)后，與 的對應(yīng)直線分別為和由于射影對應(yīng)保持結(jié)合性不變，所以點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)是 和 的交點(diǎn)，即點(diǎn)。由于與相交于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，所以。 圖（10） 圖（11）（2）如圖，設(shè)三直線.交于點(diǎn)，平分，直線和分別交三直線和并使且于是所以，因此單比不是射影不變量.所以我們將以下結(jié)論.(一) 同素性，結(jié)合性確實(shí)射影性質(zhì)，但是平行性不

11、是射影性質(zhì)。(二) 單比不是射影不變量。6.例題 例1 證明：一直線與它的平行平面相交于一個(gè)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。證明：設(shè)直線平行于平面，過直線任作一平面與相交于，故，所以一方面即,所以 圖（12）例2 證明：一組平行平面相交于一條無窮遠(yuǎn)直線。證明：如圖(13），給定一組平行平面、，其中一平面內(nèi)的直線上無窮遠(yuǎn)點(diǎn)為，過作一平面與組內(nèi)其它平面交于一組平行線， 圖（13）根據(jù)約定一，應(yīng)是這組平行線的交點(diǎn)。所以應(yīng)在、，的每一個(gè)平面內(nèi)。又因?yàn)榈倪x擇有任意性，所以，根據(jù)約定一，這些平行平面交于一條無窮遠(yuǎn)直線。、例3如圖(14)，在一個(gè)中心射影中，為 射影中心，在一平面的影消線上取定兩點(diǎn)，在平面上，任取一點(diǎn)。求證：經(jīng)中

12、心射影后等于常量。圖（14）證明：因?yàn)闉橛跋€上兩點(diǎn)，為射心，所以, .若在平面內(nèi)的射影為,則 于是而為定值，所以經(jīng)射影后為一定值。例4如圖（15），設(shè)三直線交于一點(diǎn)，分別交兩直線于與。 求證：直線 與 的交點(diǎn)，與的交點(diǎn)，與的交點(diǎn)在一直線上，且所在的直線通過。圖（15-1） 圖（15-2）證明：將直線投影到無窮遠(yuǎn)，這只需在直線，所定平面外任取一點(diǎn)，取平面平行于與所定平面，則以為投影中心建立的向的中心投影將投影成的無窮遠(yuǎn)直線，如圖（15-2）設(shè)分別為，在此中心投影下的象。在圖（15-2）里，顯然直線與的交點(diǎn)，與的交點(diǎn)，與的交點(diǎn)在一直線上，且所在的直線平行于，所在的直線或，所在的直線。 由于中心投影保持給合性不變，所以在圖（15-1）里有直線與的交點(diǎn)，與的交點(diǎn)與的交點(diǎn)，在一直線上且點(diǎn)也在這三點(diǎn)所在的直線上。結(jié)論本論文中為了建立，二直線，二平面間的中心射影，成立了一一對應(yīng)在歐氏平面上引入了無窮遠(yuǎn)元素，使歐氏平面推廣到射影平面。最后，討論了圖形的射影性質(zhì)。參考文獻(xiàn)1梅向明，劉增賢，王匯淳等編.高等幾何（第二版）.北京：高等教育出版社1983年11月，（17-18頁）.2 梅向明，劉增賢，王匯淳等編. 高等幾何.北京：高等教育出版社S