遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式的常用類型_第1頁(yè)
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1、 例 8、在數(shù)列 an 中, a1 = 4, an +1 = 3an + 2 , 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式。 an + 4 解:由于 an +1 = 3x + 2 3an + 2 的特征方程 x = 的兩根為 x1 = -2, x2 = 1, x+4 an + 4 所以 an +1 - 1 = ì a -1 ü 2an - 2 5a + 10 a - 1 2 an - 1 ,兩式相除得 n +1 ,.則數(shù)列 í n , an+1 + 2 = n = ´ ý 為等比數(shù)列. an + 4 an + 4 an+1 + 2 5 an + 2 î

2、; an + 2 þ n -1 a -1 3 1 a -1 1 æ 2 ö 因?yàn)?a1 = 4 ,所以 1 = = ,所以 n = g ç ÷ a1 + 2 6 2 an + 2 2 è 5 ø 5n -1 + 2n -1 ,所以 an = n -1 . 5 - 2n - 2 例 9、在數(shù)列 an 中, a1 = 2a, an+1 = 2a - a2 ( a ¹ 0) , 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式。 an a2 a2 解:由于 an +1 = 2a - 的特征方程 x = 2a - 的兩根為 x1 = x2 = a

3、 , x an * 顯然 an ¹ a n Î N ,得 an +1 - a = ( ) a ( an - a ) 1 1 1 ,所以 = + . an+1 - a an - a a an 所以數(shù)列 í ì 1 ü 1 a 1 n 1 1 = ,公差為 的等差數(shù)列,所以 = ,所以 an = a + . ý 是首項(xiàng)為 a n an - a a a1 - a a î an - a þ 形如 an+1 = aan + b + can + d ( c ¹ 0 ) 的遞推式 類型 8 基本思路：一般的,通過構(gòu)造新數(shù)列 bn ,令 bn = can + d 或者通過平方,把已知遞推式的根號(hào)去掉,便于化簡(jiǎn)變形. 例 10、在數(shù)列 an 中, a1 = 1, an +1 = 1 + an + 1 + 24an , 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式。 16 2 bn -1 . 24 解:令 bn = 24an + 1 > 0 ,則 b1 = 5, an = 由 a1 = 1, an +1 = 1 + an + 1 + 24an 2 2 ,可得 ( 2bn +1 ) = ( bn + 3) . 16 2- n 所以 2bn+1 = bn + 3 ,所以 bn =

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