遞推數(shù)列問題分類解析

1、遞推數(shù)列問題分類解析 數(shù)列是高考的必考內(nèi)容，通常是一個大題一個小題，分值為17分，大題中第一小題，通常是求數(shù)列通項公式，所給出的條件通常是遞推公式或可化為遞推公式，故遞推數(shù)列問題是高考中的重點和熱點。其中一階線性遞推數(shù)列和二階線性遞推數(shù)列是基礎(chǔ)，對高階遞推數(shù)列或非線性遞推數(shù)列，通?？赏ㄟ^作差、因式分解、取對數(shù)等方法將其化為一階或二階線性遞推數(shù)列問題，本文將求遞推數(shù)列的通項公式問題分類作以介紹，供同學(xué)們復(fù)習(xí)時參考。 一、遞推公式為形式數(shù)列的通項公式問題若將數(shù)列所給條件通過變形化為形式，再轉(zhuǎn)化為形式，利用迭加法或遞推法先求出的通項公式，再根據(jù)與的關(guān)系，求出的通項公式。例1（06安徽卷）數(shù)列的前項和

2、為，已知寫出與的遞推關(guān)系式，并求關(guān)于的表達(dá)式；分析：要寫出與的遞推關(guān)系式，即應(yīng)化去條件中的，得到與的遞推關(guān)系式，再求的通項公式。解析：（法一：迭加消去法），故與的遞推關(guān)系式為由，相加得：，又，所以，當(dāng)時，也成立。（法二：迭代法），故與的遞推關(guān)系式為=當(dāng)時，也成立。所以點評：（1）將所給條件化為形式是難點，常用轉(zhuǎn)化方法有：乘、除、去分母、添項、去項、取對數(shù)、待定系數(shù)、取倒數(shù)等。（2）運用迭代法求通項時，注意正確運用遞推公式，同時迭代出的式子不要急于合并，否則不利觀察式子的規(guī)律。二、遞推公式為形式數(shù)列的通項公式問題。若將數(shù)列所給條件通過變形化為形式，再轉(zhuǎn)化為形式，利用迭乘法或迭代法先求出的通項公式

3、，再根據(jù)與的關(guān)系，求出的通項公式。例2已知數(shù)列各項均為正，滿足，求數(shù)列的通項公式。分析1：先將所給條件變形得， ，即，用迭代法或迭乘消去法求通項公式。解析1：（迭乘消去法）分解因式得，即，兩邊分別相乘得，又，分析2：先根據(jù)遞推公式求出前四項，歸納出通項公式，再用數(shù)學(xué)歸納法證明。解析2：（歸納法）分解因式得，即，又，猜想，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明（）當(dāng)時，成立（）假設(shè)時，成立當(dāng)時，成立綜上所述，所求數(shù)列的通項公式為點評：將所給條件化為形式是難點，常用轉(zhuǎn)化方法有：乘、除、去分母、添項、去項、取對數(shù)、待定系數(shù)、取倒數(shù)等。本題也可用迭代法。例3已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。分析：可變?yōu)椋堑缺葦?shù)列，用等

4、比數(shù)列通項公式，先求出的通項公式，從而求得的通項公式。解析：（構(gòu)造數(shù)列法）由變形得，設(shè)=是首項為3公比為3的等比數(shù)列，=，即=，點評：對于化為（其中b是常數(shù)）型，常用待定系數(shù)法將其化為，再用構(gòu)造法求通項公式。本題也可用迭代法。三、遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）形式的數(shù)列通項公式問題。解這一類問題有兩種方法，方法一：常用待定系數(shù)法，先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為（其中s，t滿足），構(gòu)造等比數(shù)列，求出的通項公式，轉(zhuǎn)化為一階遞推數(shù)列問題再求解。方法二：（特征根法）對于由遞推公式，給出的數(shù)列，方程，叫做數(shù)列的特征方程。若是特征方程的兩個根，當(dāng)時，數(shù)列的通項為，其中A，B由確定；當(dāng)時，數(shù)列的通項為，其中A，B由確定。例4 已知數(shù)列滿足求數(shù)列的通項公式。分析1：將原遞推公式轉(zhuǎn)化為，先由等比數(shù)列通項公式求出通項公式，再用迭加法或遞推法求出的通項公式。解析1：（構(gòu)造法）原遞推公式可化為，是首項為2公比為2的等比數(shù)列，相加得，分析2：本題可用特征根法。解析2：由題知其特征方程為，特征根為，設(shè)，又，解得所求數(shù)列的通項公式為點評：本類問題的解決完全體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思