全等三角形中輔助線的添加

1、全等三角形中輔助線的添加一. 教學(xué)內(nèi)容：全等三角形的常見輔助線的添加方法、基本圖形的性質(zhì)的掌握及熟練應(yīng)用。二. 知識要點：1、添加輔助線的方法和語言表述(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)作線段：連接；作平行線：過點 作 / ；作垂線(作高)：過點作丄，垂足為 作中線：取中點，連接； 延長并截取線段：延長使等于 截取等長線段：在上截取，使等于作角平分線：作平分；作角等于已知角 作一個角等于已知角：作角等于。2、全等三角形中的基本圖形的構(gòu)造與運用 常用的輔助線的添加方法：，通?？紤]倍長中線或類中(1 )倍長中線(或類中線)法：若遇到三角形的中線或類中線(與中點有關(guān)的線段) 線，構(gòu)造全

2、等三角形。(2) 截長補短法：若遇到證明線段的和差倍分關(guān)系時，通?？紤]截長補短法，構(gòu)造全等三角形。截長：在較 長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；補短：將一條較短線段延長，延長部分等于另一條較短線段，然后證明新線段等于較長線段；或延長一條較短線段等于較長線段，然后證明延長部分等于另一條較短線段。(3) 一線三等角問題(“ K'字圖、弦圖、三垂圖)：兩個全等的直角三角形的斜邊恰好是一個等腰直角三角形的 直角邊。(4 )角平分線、中垂線法：以角平分線、中垂線為對稱軸利用”軸對稱性“構(gòu)造全等三角形。(5) 角含半角、等腰三角形的(繞頂點、繞斜邊中點)旋轉(zhuǎn)重合法：用

3、旋轉(zhuǎn)構(gòu)造三角形全等。(6) 構(gòu)造特殊三角形：主要是 30 °、60 °、90 °、等腰直角三角形(用平移、對稱和弦圖也可以構(gòu)造 )和等邊三 角形的特殊三角形來構(gòu)造全等三角形。三. 基本模型：(1) ABC中AD是BC邊中線D方式1: 延長AD到 E,使DE=AD連接BE方式方式.4CE2:間接倍長，作CF丄AD于F,作BEL AD的延長線于C3: 延長 MD到N,使DN=MD連接CDRe由 ABEA BCD導(dǎo)出由 ABEA BCD導(dǎo)出E,連接BE由 ABEA BCD導(dǎo)出ED=AE-CDEC=AB-CDBC=BE+ED=AB+CD（3）角分線，分兩邊，對稱全等要記全

4、 角分線+垂線，等腰三角形必呈現(xiàn)（三線合一）旋轉(zhuǎn):E方法：延長其中一個補角的線段(延長CD到E使ED=BM 連AE或延長CB到F,使FB=DN,連AF ) 結(jié)論： MN=BM+DNC CMN 2AB AM AN分別平分 / BMNfn / DNM翻折:思路：分別將 ABMFn ADN以 AM和AN為對稱軸翻折，但一定要證明 M P、N三點共線.(/ B+/ 0=180°且AB=AD(5)手拉手模型ABEn ACF均為等邊三角形結(jié)論：(ABFA AEC (2)/拓展：BOE=/ BAE=60 (“八字型”模型證明);(3) 0A平分/ EOFE條件： ABCA CDE均為等邊三角形結(jié)論

5、：(1)、AD=BE ( 2)、/ ACBdAOB ( 3)、 PC創(chuàng)等邊三角形(4)、PQ/ AE ( 5)、AP=BQ (6)、CC平分/AOE ( 7)、OA=OB+OC(8)、OE=OC+OD( 7), (8)需構(gòu)造等邊三角形證明)、ABDFHA ACE勻為等腰直角三角形結(jié)論：(1)、BE=CD ( 2) BE! CDABEF和ACH的為正方形U結(jié)論：(1)、BD丄 CF (2)、BD=CF 變形一：ABEF和ACH均為正方形，AS BC交 FD于 T,求證：T為FD的中點.S ABCS ADF .方法一:方法二:H方法三:If變形二:當(dāng)以AB AC為邊構(gòu)造正多邊形時，總有:/仁/2=

6、JE四、典型例題：考點一：倍長中線（或類中線）法:核心母題 已知，如圖 ABC中，AB=5, AC=3貝忡線AD的取值范圍是練習(xí):1、如圖， ABC中，E、F分別在 AB AC上，DE1 DE D是中點，試比較 BE+CF與EF的大小.2、如圖， ABC中，BD=DC=A,C E是DC的中點，求證： AD平分/ BAE.3、如圖，CE CB分別是 ABCMA ADC的中線，且/ ACB2 ABC求證：CD=2CE考點二：截長補短法：核心母題女0圖，AD/ BC, EA, EB分別平分/ DAB, / CBA, CD過點E,求證：AB=AD+BC.練習(xí)：1、在 ABC中，/ BAC=60 , /

7、 C=40°, AP 平分/ BAC交 BC于 P, BQ平分/ ABC交 AC于 Q,求證：AB+BP=BQ+AQ2、如圖，在 ABC中， ABC 60 , AD, CE分別為 BAC, ACB的平分線，求證：AC=AE+CD3、如圖，在 ABC中, AB=AC D 是 ABC外一點，且/ ABD=60 , / ACD=60 求證：BD+DC=AB4、已知：如圖在 ABC中，AB=AC D為 ABC外一點，/ ABD=60 , / ADB=90 - / BDC 求證：AB=BDh DC2考點三：一線三等角問題（“ K”字圖）核心母題 已知：如圖，在Rt ABC中，/ BAC=90

8、, AB=AC D是BC邊上一點，/ ADE=45 , AD=DE求證：BD=EC.練習(xí)：1、已 知：如圖，在矩形 ABCD中，E、F分別是邊BC、AB上 的點，且 EF=ED, EF丄ED.求證：AE平 分 / BAD.2、兩個全等的含30 °,60。角的三角板 ADE和三角板 ABC如圖所示放置，E, A, C三點在一條直線上，連接BD,取BD的中點M,連接ME MC.試判斷 EMC的形狀，并說明理由.3、如圖所示，AE丄AB, BC丄CD且AB=AE, BC=CD, F、A、G C、H在同一直線上，如 按照圖中所標(biāo) 注的數(shù)據(jù)及符號，則圖中實線所圍成的圖形面積是？考點四：角平分線

9、、中垂線法核心母題1、在 ABC中，AB AC， AD是 BAC的平分線. P是AD上任意一點. 求證：AB AC PB PC .2、已知等腰直角三角形ABC, BC是斜邊./ B的角平分線交AC于D,過 C作CE與BD垂直且交Bp延長線于E,求證：BD=2CE.3、如圖， ABC的邊BC的中垂線 DF交 BAC的外角平分線 AD于D, F為垂足，DE1AB于E,且AB> AC求證:BE-AC=AE考點五：角含半角、等腰三角形的（繞頂點）旋轉(zhuǎn)重合法 核心母題如圖，在正方形 ABCD中，E、F分別是BC CD邊上的點，/ EAF=45，求證：EF=BE+DF.練習(xí)1、如圖所示，在五邊形 ABCDE中, AB=AE BC+DE=C,D/ ABC+Z AED=180 求證：AD平分/ CDE.2、如圖，已知 AB=CD=AE=BC+DE=2, / ABC=/ AED=90 ° ,求五邊形 ABCDE 的面積.3、如圖，在 ABC 中，/ ACB=90 ° , AC=BC, P 是