全等三角形輔助線做法講義

1、.全等三角形問題中常見的輔助線的作法巧添輔助線倍長中線C【夯實基礎(chǔ)】例: ABC 中, AD是 BAC 的平分線，且 BD=CD，求證 AB=AC方法1:作DE丄AB于E,作DF丄AC于 F,證明二次全等方法2:輔助線同上，利用面積方法3:倍長中線AD【方法精講】常用輔助線添加方法一一倍長中線 ABC 中AD是BC邊中線E延長MD到N,使 DN=MD 連接CD作 CF丄AD于 F,作BE丄AD的延長線于E連接BE方式1:延長AD到E,使 DE=AD ,連接BE間接倍長【經(jīng)典例題】 例ABC中,AB=5 , AC=3，求中線AD的取值范圍例2:已知在 ABC中,交 BC 于 F,且 DF=EF,

2、AB=AC，D在AB 上, E在AC的延長線上, 求證：BD=CEDEE例3:已知在 ABC中,F,求證：AF=EFAD是BC邊上的中線，E是AD上一點，且BE=AC，延長BE交AC于提示：倍長AD至G,連接BG,證明 BDGA CDA 三角形BEG是等腰三角形例4:已知：如圖，在 ABC中，AB AC , D E在BC上，且 DE=EC 過 D作 DF / BA交 AE于點 F, DF=AC.求證：AE平分 BACCC提示：方法1:倍長AE至G,連結(jié)DG 方法2:倍長FE至H，連結(jié)CH例5：求證:已知 CD=AB，/ BDA= / BAD，AE > ABD的 中線, / C=/BAEC

3、E D提示:倍長AE至F,連結(jié)DF證明 A ABEA FDE( SAS 進而證明 A ADFA ADC( SAS【融會貫通】1、在四邊形ABCD中，AB / DC E為BC邊的中點，/ BAE= / EAF，AF與DC的延長線相交于 點F。試探究線段AB與AF、CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論提示：延長AE DF交于G 證明 AB=GC AF=GF 所以 AB=AF+FCA2、如圖，AD為 ABC的中線，DE平分 BDA交AB于E，DF平分 ADC交AC于F.求證: BE CF EFC3、已知：如圖， ABC中， C=90 , CM AB于M , AT平分 交CM于D，交BC于T,過D作DE

4、/AB交BC于E,求證：BACCT=BE.提示:過T作TN丄AB于N證明 BTNA ECD二 T卜- VKA-E-思路:長法:截長補短法引輔助線當(dāng)已知或求證中涉及到線段 a、b、c有下列情況時：7 土占=亡，如直接證不出來，可采用截在較長的線段上截取一條線段等于較短線段；補短法：延長較短線段和較長線段相等,種方法放在一起叫截長補短法。這兩2。通過線段的截長補短，構(gòu)造全等把分散的條件集中起來。 例 1.如圖， ABC中,/ AC= 2/ B,/ 1 = /求證：A吐AC+ CD證法一：（補短法）延長AC至點F,使 得 aF= AB在 ABDWA AFD中A27法）截取連結(jié)AED在AB上 AE=

5、AC DE證法（截長AB= AFAE = Zl= Z24Zl= Z2ADADADAD ABDAAFD( SAS AEDeACD( SAS/ B=/F/ AC= 2/B-'.DE=DC,/ AC= 2/F而/AC=/ F+/ FDC/ F=/ FDC1'2/月=2占+ ZSDB C= CF1而 AF= AC+ CF1:.磋二 ED 二 DEaF= AC+ CD1:.AB = AS + EP=Aa+Da. AB= AC+ CD在 AEDft ACD中MB例2.如圖，在Rt ABC中，A吐AC, / BAG 90°,/ 1 = / 2, CE!BD交BD的延長線于E,證 明

6、: BD= 2CE分析：這是一道證明一條線段等于另一條線段的 2倍的問題，可構(gòu)造線段2CE轉(zhuǎn)化為證兩 線段相等的問題，分別延長 BA CE交于卩，證 BEFA BEC得CE 二 FS 二-CF2，再證 ABDAACF 得 BD= CRABC 中, AB=2AC AD平分 BAC , 且 AD=BD 求證:1、如圖,CEL AC2、如圖,AC/ BD EA,EB分別平分/ CAB,/ DBA CD過點 E,ADCC八 A /A求證;AB = AC+BD3、如圖，已知在 VABC內(nèi),0BAC 60 ,C 40° , P, Q分別在BC, CA上，并且AP,BQ分別是 BAC , ABC的

7、角平分線。求證:4、如圖，在四邊形 ABC沖，BOBA,AD= CD BD平分 ABC ,求證： AC 180°BQ+AQ=AB+BPBQACCB5.已知:如圖,ABC中, AD平分/ BAC 若/ C=2/ B,證明：AB=AC+CD.6.已知:如圖,ABC中,/ A=60° ,/ B與/ C的平分線BE,CF交于點I，求證：BC=BF+CE.7.已知： CD于 F,如圖,求證:在正方形 ABCD中, E為AD上一點，BF平分/ CBE交BE=CF+AE.與角平分線有關(guān)的輔助線角平分線具有兩條性質(zhì)：a、對稱性；b、角平分線上的點到角兩邊的 離相等。向 截 其 條以B C對

8、于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。從角平分線上一點 兩邊作垂線；利用角平分線，構(gòu)造對稱圖形（如作法是在一側(cè)的長邊上 取短邊）。通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時，一般考慮作垂線； 它情況下考慮構(gòu)造對稱圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知 件。(1)截取構(gòu)全等如圖1-1 , / AOCh BOC如取 OE=OF并連接 DE DF,則有 OED OFD從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。ADC例 1. 如圖 1-2 , AB/CD, BE平分/ ABC CE平分/ BCD,點E在AD上，求證：BC=AB+CD簡證：在此題中可在長線段BC上截取BF=AB再證明CF=CD從而達到證

9、明的目的。這里面用到了角平分線來構(gòu)造全等三角形。 另外一個全等自已證明。此題的證明也可以延長BE與CD的延長線交于一點來證明。自已試一試。例2. 已知：如圖 1-3 , AB=2AC/ BADM CAD DA=DB 求證 DC!AC分析：此題還是利用角平分線來構(gòu)造全等三角形。 構(gòu)造的方法還是截取線段相等。其它問題自已證明。C例3. 已知：如圖1-4，在 ABC中,/ C=2Z B,AD平分/ BAC求證：AB-AC=CD分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明中還要用到構(gòu)造全等三角形，此題還是證明線段的和差倍分問題。用到的是截取法來證明的,C在長的線段上截取短的線段，來證明。練習(xí)1.已知在 A

10、BC中, AD平分/ BAC / B=2/ C,求證：AB+BD=AC2.已知：在 ABC中,/ CAB=Z B, AE平分/ CAB交 BC于 E, AB=2AC 求證：AE=2CE3.已知：在ABC中，AB>AC,AD為/ BAC的平分線，M為AD上任一點。求證：4.已知：D是 ABC的/ BAC的外角的平分線 AD上的任一點，連接D B、DC 求證：BD+CD>AB+ACBM-CM>AB-AC(2)、角分線上點向角兩邊作垂線構(gòu)全等如圖 2-1，已知 AB>AD, / BAC2 FAC,CD=BC過角平分線上一點向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點到兩邊距離相等的性質(zhì)

11、來證明問題。 例1.求證:/ ADC# B=180分析:可由C向/BAD的兩邊作垂線。近而證/ ADC與/ B之和為平角。C圖2-2例2.如圖 2-2，在 ABC中,/ A=90 , AB=AC/ ABDM CBD求證:BC=AB+AD分析:過D作DEL BC于 E,則AD=DE=CE則構(gòu)造出全等三角形，從而得證。此題是證明線段的和差倍分問題，從中利用了相當(dāng)于截取的方法。例3.已知如圖2-3， ABC的角平分線BM CN相交于點P。圖2-3求證：/ BAC的平分線也經(jīng)過點P。分析：連接AP,證AP平分/ BAC即可，也就是證P到AB AC的距離相等練習(xí):1.如圖 2-4 / AOPh BOP=

12、15，PC/OA, PDL OA 如果 PC=4則 PD=() A 4 B2.已知在 ABC中,/ C=905.求 AC,AD平分/ CAB CD=1.5,DB=2.3.已知：如圖2-5,/ BACK CAD,AB>AD CEl ABD1AE=2 (AB+AD .求證：/ D+/ B=180。4.已知：如圖2-6,在正方形ABCD中, E為CD的中點，F(xiàn)為BC上的點，/ FAE=/ DAE 求證：AF=AD+C。5.已知：如圖 2-7，在 Rt ABC中,/ ACB=90 ,CDLAB,垂足為 D, AE平分/ CAB交 CD于F,過F作FH/AB交BC于H。求證CF=BHB(3)、作角

13、平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形從角的一邊上的一點作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交， 則截得一個等腰三角形,點，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。 有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一邊相交)。例 1.已知：如圖 3-1 , / BAD2 DAC AB>AC,CLAD于 D, H是 BC中點。垂足為底邊上的中(如果題目中求證：DHa (AB-AC2分析：延長CD交AB于點E,則可得全等三角形。問題可證。圖示3-1例2.已知：如圖3-2 , AB=AC / BAC=90 , AD為/ABC的平分線,CEL BE.求證：BD=2CE分析

14、：給出了角平分線給出了邊上的一點作角平分線的垂線，可延長此垂線與另外一邊相交，近而構(gòu)造出等腰三角形。FC例3.已知：如圖3-3在 ABC中, AD AE分別/ BAC的內(nèi)、外角平分線，過頂點 B作BN垂直AD,交AD的延長線于F,連結(jié)FC并延長交AE于M求證：AM=ME分析：由AD AE是/ BAC內(nèi)外角平分線，可得EALAF,從而有BF/AE，所以想到利用比例線段證相等。E例4.已知：如圖 3-4，在 ABC中 , AD平分/ BAC AD=A B CML AD交AD延長線于 M 求證：AM(AB+AC2分析：題設(shè)中給出了角平分線AD自然想到以AD為軸作對稱變換,作ABM于AD的對稱 AED

15、然后只需證DM=2EC另外由求證的結(jié)N 圖 3-3果AM=1 (AB+AC,即2AM=AB+AC也可嘗試作 ACMI于CM的對稱FCM然后只需證DF=CF即可。練習(xí)：1. 已知：在 ABC中, AB=5 AC=3 D是BC中點，AE是/ BAC的平分線，且CEIAE于E,連接DE求DE2.已知BE BF分別是 ABC的/ ABC的內(nèi)角與外角的平分線，AF丄BF于F，AE1 BE于E,連接EF分別交AB AC于 M N,求證MN= BC(4)、以角分線上一點做角的另一邊的平行線4-1有角平分線時，常過角平分線上的一點作角的一邊的平行線， 從而構(gòu)造等腰三角形。或通過一邊上的點作角平分線的平行線與另

16、外一邊的反向延長線相交，從而也構(gòu)造等腰三角形。如圖和圖4-2所示。例 4 如圖，AB>AC, / 仁/ 2,求證：AB- AOBD CDCAA例5如圖，BOBABD平分/ABC 且 AD=CD求證：/ A+/ C=18QFBBDBI例 6 如圖，AB/ CD, AE DE分別平分/ BAD各/ ADE練習(xí):1.已知，如圖，/ C=2Z A，AC=2BC 求證：CA2.已知：如圖，AB=2AC/ 仁/ 2, DA=DB 求證：DCIACC3.已知CE AD是 ABC的角平分線，/ B=60°,求證:4.已知：如圖在 ABC中,/ A=90 , AB=AC BD是/ ABC的平分線

17、，求證：BC=AB+AD(5)、且垂直一線段，應(yīng)想到、角平分線等腰三角形的中線例6.如圖7， ABC是等腰直角三角形，/ BAC=90 , BD平分/ ABC適Ep站-Si交AC于點D，CE垂直于BD，交BD的延長線于點E。求證：BD=2CE。證明：延長BA，CE交于點F,在 BEF和 BEC中,V/ 1 = / 2, BE=BE , / BEF=/BEC=90 , BEF A BEC 二 EF=EC，從而 CF=2CE。又/ 1 + / F=/ 3+/ F=90°,故/ 仁/3。在 A ABD 和 AACF 中，v/ 1 = / 3, AB=AC , / BAD= / CAF=90 ,A ABDA ACF 二 BD=CF，二 BD=2CE。(六)、借助角平分線造全等C注：此例中BE是等腰A BCF的底邊CF的中線。1:如圖，已知在 ABC中，/ B=60