計算方法實(shí)驗(yàn)報告習(xí)題

1、計算方法實(shí)驗(yàn)報告專業(yè)：電氣工程及其自動化 姓名：實(shí)驗(yàn)名稱：實(shí)驗(yàn)1從函數(shù)表出發(fā)進(jìn)行插值1引言某個實(shí)際問題中，函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上存在且連續(xù)，但難以找到其表達(dá)式，只能通 過實(shí)驗(yàn)和觀測得到有限點(diǎn)上的函數(shù)表。有些情況雖然可以寫出表達(dá)式，但結(jié)構(gòu)復(fù)雜，使用不 方便。所以希望構(gòu)造簡單函數(shù)R(x)作為f(x)的近似值。插值法是解決此類問題的一種方法。設(shè)函數(shù)y=在插值區(qū)間a,b上連續(xù)，且在n+1個不同的插值節(jié)點(diǎn)a xo,X1,x nb上分 別取值y0,y1,y n。目的是要在一個性質(zhì)優(yōu)良、便于計算的插值函數(shù)類 中，求一簡單函數(shù) P(x)，滿足插值條件P(Xi)=yi(i=O,1,n)，而在其他點(diǎn)xli上，

2、作為f(x)近似值。求插 值函數(shù)P(x)的方法稱為插值法1。2實(shí)驗(yàn)?zāi)康暮鸵筮\(yùn)用Matlab編寫m文件，定義三種插值函數(shù)，要求一次性輸入整張函數(shù)表，并利用計算 機(jī)選擇在插值計算中所需的節(jié)點(diǎn)。分別通過分段線性插值、分段二次插值和全區(qū)間上拉格朗 日插值計算f, f, f的近似值。3算法原理與流程圖(1) 原理1. 線性插值當(dāng)給定了 n+1個點(diǎn)X0VX1Vvxn上的函數(shù)值y0,y 1,y n后，若要計算xxi處函數(shù)值f (x) 的近似值，可先選取兩個節(jié)點(diǎn) Xi-1與Xi使X X i-1 ,x i，然后在小區(qū)間X i-1 ,x i上作線性插值, 即得yi X Xi 1Xi Xi 1X X-f(x) R

3、(x) yi 1-Xi 1 Xi這種分段低次插值叫分段線性插值。2. 分段二次插值當(dāng)給定了 n+1個點(diǎn)xovxivvxn上的函數(shù)值yo,yi,y n后，若要計算xli處函數(shù)值f (x)的近似值，可先選取距離x最近的三個節(jié)點(diǎn)Xi-1 , Xi與Xi+1，然后進(jìn)行二次插值，即得i 1f(x) P2(x)k i 1i 1ykj i 1j kX XjXkXj這種分段低次插值叫分段二次插值。3. 全區(qū)間上拉格朗日插對節(jié)點(diǎn)Xi(i=0,1,n)中任一點(diǎn)Xk(O kn)，作一 n次多項(xiàng)式l k(x)，使它在該點(diǎn)上的 取值為1,在其余點(diǎn)Xi(i=0,1,k-1,k+1,n)上取值為零。對應(yīng)于每一節(jié)點(diǎn)Xk(k=

4、O,1,n)，都能寫出一個滿足此條件的多項(xiàng)式，這樣寫出 n+1個多項(xiàng)式拉格朗日n次插值多項(xiàng)式nLn(X)Pn(x) yolo(x) yili(x)(對于全區(qū)間上的插值,ynln(x)n取函數(shù)表的長度)(x X0) (x Xk1)(Xkk 0(Xk X0)(Xk Xk1)(Xk Xk 1) (Xk Xn)Xk 1) (X Xn)l O(X),I 1(X),l n(x) o(2) 流程圖4程序代碼及注釋1. 分段線性插值法%分段線性插值fun ctio ny=fdxx(xO,yO,x)%定義函數(shù)p=length(y0);n=length(x0);m=length(x);%計算函數(shù)表和 x的長度if

5、 p=n error(數(shù)據(jù)輸入有誤，請重新輸入);%若函數(shù)表的X與y長度不一致則輸入有誤elsefprintf(分段線性插值nn);for t=1:m%利用循環(huán)計算每個X的插值結(jié)果z=x(t);if zx0(n)fprintf(x(%d)超出范圍;n ,t);break ;% X不在函數(shù)表范圍內(nèi)，則插值結(jié)果將不準(zhǔn)確endfor i=1:n-1if zx0(i+1)break ;%選取合適的兩點(diǎn)使x(i)xx(i+1)endend%注：若X不在函數(shù)表范圍內(nèi)，貝Ui=n-1y(t)=y0(i)*(z-x0(i+1)/(x0(i)-x0(i+1)+y0(i+1)*(z-x0(i)/(x0(i+1)-

6、x0(i);%按照分段線性插值公式求解yfprintf(y(%d)=%fnx1=%.3f y1=%.3f,x2=%.3fy2=%.3fnn,t,y(t),x0(i),y0(i),x0(i+1),y0(i+1);% 俞出插值結(jié)果和所需的節(jié)點(diǎn)endend注：若要在Matlab中直接調(diào)用插值函數(shù)，需要事先將習(xí)題1函數(shù)表輸入2. 分段二次插值法%分段二次插值fun ctio ny=fd2(x0,y0,x)p=len gth(y0); n=len gth(x0);m=le ngth(x);if p=n error(數(shù)據(jù)輸入有誤，請重新輸入 %若函數(shù)表的x與y長度不一致則輸入有誤 elsefprintf(

7、分段二次差值 nn);for t=1:m %運(yùn)用循環(huán)求解所有點(diǎn)的插值 z=x(t);if zx0(n)fprinf(%定義函數(shù)分段二次插值%十算函數(shù)表和X的長度);x(%d)超出范圍;nbreak ;%果X不在函數(shù)表范圍內(nèi)無法插值,t)；end i=n-1;for是距x最近的三個點(diǎn)喏下列循環(huán)i不變，則i=n-1，j=1:n-2if z xO=; yo=; x=;%首先在Matlab中輸入函數(shù)表和待插值變量x%確保Current Directory中存放分別含有上述代碼的三個m文件(1)分段線性插值 y1=fdxx(x0,y0,x) %調(diào)用分段線性插值函數(shù)得到下列結(jié)果分段線性插值y(i)=x1=

8、 y1=,x2= y2= y(2)=x1= y1=,x2= y2= y(3)=x1= y1=,x2= y2= y1 =(2)分段二次插值 y=fd2(x0,y0,x) %調(diào)用分段二次插值函數(shù)得到下列結(jié)果分段二次差值y(i)= x1= y1 = x2= y2= x3= y3=y(2)= x1= y1 = x2= y2= x3= y3=y(3)=x1= y1 =x2= y2=x3= y3=(3) 全區(qū)間上拉格朗日插值 y=lagra nge(xO,yO,x) %調(diào)用拉格朗日性插值函數(shù)得到下列結(jié)果拉格朗日插值y(i)=y(2)=y(3)=(4) 測試示例 x=; y=fdxx(xO,yO,x) 分段

9、線性插值y(i)=x1= y1=,x2= y2=y(2)=x1= y1=,x2= y2=x(3)超出范圍； yi= ; y=fdxx(x0,y1,x)? Error using = fdxx 數(shù)據(jù)輸入有誤，請重新輸入6討論與結(jié)論1. 對程序運(yùn)行的時間加以比較使用tic,toc函數(shù)計算下列四種方法計算上述問題所運(yùn)行的時間函數(shù)in terp1(x0,y0,x)fdxx(x0,y0,x)fd2(x0,y0,x)lagra nge(x0,y0,x)運(yùn)行時間(s)從三次實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，interp1函數(shù)所用時間比編寫的fdxx函數(shù)長(interp1函數(shù)為matlab 求分段線性插值的函數(shù))；而fdxx和另

10、外兩個函數(shù)時間比較接近2. 程序優(yōu)化由分段線性插值和分段二次插值的原理，x取值在函數(shù)表范圍內(nèi)時，插值結(jié)果有意義，而當(dāng)x取值在函數(shù)表范圍以外，利用分段線性插值公式仍可以進(jìn)行運(yùn)算并得到一個值，但其結(jié)果不 準(zhǔn)確；分段二次插值則無法找到三個合適的點(diǎn)以求插值，不予以輸出結(jié)果；若輸入的函數(shù)表x與y的長度p=len gth(yO); n=len gth(xO);if p=n error(數(shù)據(jù)輸入有誤，請重新輸入);if zx0(n)fprintf(x(%d)超出范圍;n ,t);break ;end從而避免了因輸入錯誤導(dǎo)致的結(jié)果錯誤。由上述（4）測試示例可看到效果。3. 結(jié)果比較（下方的圖為放大圖）圖中 datal為原函數(shù)表的數(shù)據(jù)，d