第83節(jié)多元函數(shù)的偏導數(shù)

1、 求二元函數(shù)的偏導數(shù)并不需要新的方法，這仍然是一求二元函數(shù)的偏導數(shù)并不需要新的方法，這仍然是一元函數(shù)的求導問題元函數(shù)的求導問題:(1)(1)求求 時把時把y 視為常數(shù)而對視為常數(shù)而對x求導求導; ;xf (2)(2)求求 時把時把x視為常數(shù)而對視為常數(shù)而對y求導求導. .yf xz,32yx yz,23yx 21yxxz所以所以,82312 21yxyz.72213 有關(guān)偏導數(shù)的幾點說明有關(guān)偏導數(shù)的幾點說明: (3) 計算計算fx(x0 , y0 )時時,可先將可先將 y = y0代入代入 f (x , y ) ,再對再對x 求導求導, ,然后代入然后代入 x = x0 . 計算計算 f y(

2、x0 , y0 )時同理時同理.(4)(4)偏導數(shù)的實質(zhì)仍是一元函數(shù)求導問題，具體求導時要弄清偏導數(shù)的實質(zhì)仍是一元函數(shù)求導問題，具體求導時要弄清是對哪個變量求導，其余均視為常量是對哪個變量求導，其余均視為常量. . 所以所以,.222cpq ,212bpq ,111bpq ,121cpq 鏈式法則如圖示鏈式法則如圖示uzvxy“分道相加，連線相乘分道相加，連線相乘” . . 多元復合函數(shù)的求導法則簡言之即：多元復合函數(shù)的求導法則簡言之即： 且且 由鏈式法則由鏈式法則 ,1,1xyvyuyxvxu .ln,1uuvfvuufvv 所以所以 yxxyxxyyxvuxyyvuxvvzxuuzxz 2

3、)sin(2)cos(21)cos(1.)sin(1)cos(11)cos(12yxxyxyxvuxyxvuyvvzyuuzyz 所以所以 yxxyxxyyxyxyyxxyxz 22)sin(2)cos(2)cos()sin(1.)sin(1)cos(1)cos()sin(122yxxyxyxxxyyxxyyz 方法一方法一 方法二方法二 所以所以 .sin2cos21cos1dddddd2xxxxxvuxvuxvvzxuuzxz .sin2cos) )(ln(sindd22xxxxxxxz u x z v方法一方法一 方法二方法二 xttfxvvfxuufxq ddtfxzvfxxztfxv

4、fyttfyvvfyq xytfzttfzq tfyzvfyufyztfyvfuf 10),(. 1 yxf令令,arctanln),(22xyyxyxf 則則,),(22yxyxyxfx ,),(22yxxyyxfy yxffxy dd.xyyx 0),(. 2 zyxf 解解 方法一方法一,2222xzyzyzfxfxz ;2222xzyyzxzfyfyz 所以所以 方法二方法二所以所以.222,22222xzyyzxyzxzyzyxz . 02222 xzxzzxzyyxz )(xzfu 1),(xzxyyzfv xz ,vuvufxyffyzf 1)(11 zyfu),(zyxzxyf

5、v zy .vuvufxzffxyf 1)(10 yxfu),(yxyzxzfv yx ,vuvufyzffxzf xxxxzffxzxzx 1122xyxyzffyxzxzy 122yxyxzffxyzyzx 212yyyyzffyzyzy 2222 ,)ln(yxxyxxz ,)(2)(12222yxyxyxxyxyxxz ,)()(1222yxyyxxyxyxz ,)(222yxxyz .)()(222yxyyxxyxxyz ,yxxyz 問題：混合偏導數(shù)都相等嗎？具備怎樣的條件才相等？問題：混合偏導數(shù)都相等嗎？具備怎樣的條件才相等？令令, zyxu ,xyzv 記記,),(1uvuff ,),(212vuvuff 同理有同理有,2f 2111ff ,.,22f xwxvvfxuuf ;21fyzf zxw2)(21fyzfz ;221zfyzf yzf zf1zvvfzuuf 11;1211fxyf zf2zvvfzuuf 22;2221fxyf 于是于是 zxw21211fxyf 2f y )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf 由于由于 所以所以 ,1,1,122zzx