第4節(jié)廣義積分斂散性的判別

1、1第四節(jié)第四節(jié)* *2一、無窮限積分斂散性的判別一、無窮限積分斂散性的判別 對對于于級級數(shù)數(shù) 1nnu，在在無無窮窮區(qū)區(qū)間間), 1 上上定定義義函函數(shù)數(shù) nuxf )(，)1, nnx，nn ， 則級數(shù)的部分和可表示為則級數(shù)的部分和可表示為 1121d)(nnnxxfuuus3定理定理( (比較判別法比較判別法) ) 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf和和)(xg在在), a上上連連續(xù)續(xù)，且且有有 )()(0 xgxcf ，), ax， 則當無窮限積分則當無窮限積分 axxgd)(收斂時，收斂時， axxfd)(也收斂；也收斂； 證略證略. .)()(0 xgxcf ，), ax，其其中中 c為為正正的的

2、常常數(shù)數(shù)， 4定理定理( (極限判別法極限判別法) ) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在在), a上連續(xù)，上連續(xù)，(其中其中0 a)，且且0)( xf，如果，如果 則則當當1 p時時，無無窮窮限限積積分分 axxfd)(收收斂斂； 證略證略. . axfxpx )(lim5例例1 1解解由羅必塔法則，由羅必塔法則， xpxxx elim2xpxx elim2 0 6例例2 2解解由于由于 所所以以，當當1 時時，該該廣廣義義積積分分收收斂斂； xxxx 1arctanlimxxxxarctan1lim ,2 7定理定理證略證略. . 如果廣義如果廣義 （此時稱（此時稱 axxfd)(絕對收斂）絕對收斂）

3、 例例3 3解解由于由于,e|sine|xpxpxxx ), 0 x由由例例 1 知知 1dexxxp 收收斂斂， 8二、瑕積分斂散性的判別二、瑕積分斂散性的判別 定理定理( (比較判別法比較判別法) ) 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf和和)(xg在在,(ba上上連連續(xù)續(xù)， )()(0 xgxcf ，其其中中 c為為正正的的常常數(shù)數(shù)， 則則當當瑕瑕積積分分 baxxgd)(收收斂斂時時， baxxfd)(也也收收斂斂； 證略證略. . )(limxfax ， )(limxgax ，且且恒恒有有 9定理定理( (極限判別法極限判別法) ) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在在,(ba上連續(xù)，且上連續(xù)，且 )(limx

4、fax，如果如果 則則當當10 p時時，瑕瑕積積分分 baxxfd)(收收斂斂； 證略證略. . axfaxpax )()(lim10例例4 4解解易易知知0 x為為瑕瑕點點， 取取121 p， )(lim210 xfxx ,111lim20 xx11例例5 5解解易易知知1 x為為瑕瑕點點， 由于由于)()1(lim21)1(xfxx ,61)4)(1(1lim2)1( xxx)()1(lim211xfxx ,61)4)(1(1lim21 xxx12例例6 6解解顯顯然然，當當1 p且且1 q時時，是是常常義義積積分分； 因此，當因此，當0 p且且0 q時時，該該廣義積分收斂；廣義積分收斂； 若若1 p，則則0 x是是瑕瑕點點， )(lim10 xfxpx ,1)1(lim10 qxx,11 p;0 p若若1 q，則則1