2.1第二類(lèi)曲線積分ppt課件

1、curvilinear integral第二節(jié)第二節(jié) 第二類(lèi)曲線積分第二類(lèi)曲線積分問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出第二類(lèi)曲線積分的概念第二類(lèi)曲線積分的概念第二類(lèi)曲線積分的計(jì)算第二類(lèi)曲線積分的計(jì)算第十章第十章 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)變力沿曲線所作的功變力沿曲線所作的功BAL:常力沿直線所作的功常力沿直線所作的功ABFW 實(shí)例實(shí)例 ),(yxFjyxQiyxP),(),( 一、問(wèn)題的提出一、問(wèn)題的提出對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分OxyAB Ldst( , ),x yds在處任意取一小弧段作與AB方向一致的單位切向量t那么( , )( , )dWF x ytds

2、F x yds從而( , )( , )LLWF x ydsF x ytds定義1 設(shè)設(shè)L是一條有向光滑的平面曲線是一條有向光滑的平面曲線,起點(diǎn)是起點(diǎn)是A,終點(diǎn)是B,與,Lt方向一致的單位切向量為( , )F x y是一個(gè)連續(xù)的向量值函數(shù),則稱(chēng)積分( , )LF x yds為 在有向曲線 上的第二類(lèi)曲線積分. FL即,( , )( , )LLF x ydsF x ytds二、第二類(lèi)曲線積分的概念二、第二類(lèi)曲線積分的概念1. 定義定義對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分注意: 被積表達(dá)式都定義在曲線上,即滿(mǎn)足曲線的方程.2. 性質(zhì)性質(zhì)(1) 線性性質(zhì)設(shè) 是兩個(gè)連續(xù)的向量值函數(shù),F G 設(shè)設(shè)L是一條有向

3、光滑的平面曲線是一條有向光滑的平面曲線,起點(diǎn)是起點(diǎn)是A,終點(diǎn)是B,12,k k是兩個(gè)常數(shù), 那么1212LLLk Fk GdskF dskG ds(2) 對(duì)弧段的可加性設(shè) 如前所述,F L1212,LLLL LL與 的方向一致那么12LLLF dsF dsF ds對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分(3)設(shè) 如前所述,F L那么LLF dsF ds ,LL是與 反向的曲線L LOxy 第二類(lèi)曲線積分與第二類(lèi)曲線積分與曲線的方向有關(guān)曲線的方向有關(guān). .3. 存在條件存在條件在光滑曲線弧在光滑曲線弧L上上第二類(lèi)曲線積分存在第二類(lèi)曲線積分存在.連續(xù)時(shí)連續(xù)時(shí), ,( , )F x y當(dāng)對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)坐

4、標(biāo)的曲線積分4. 物理意義物理意義WAB所作的功所作的功沿沿 AByQxPddjyxQiyxPF),(),( 變變力力sFWABd 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分dd ,d sxy() (dd)ABPiQjxiyj對(duì)坐標(biāo)的曲線積分與曲線的方向有關(guān)對(duì)坐標(biāo)的曲線積分與曲線的方向有關(guān).三、第二類(lèi)曲線積分的計(jì)算思想是思想是因此下限應(yīng)是起點(diǎn)的坐標(biāo)因此下限應(yīng)是起點(diǎn)的坐標(biāo),化為定積分計(jì)算化為定積分計(jì)算. .上限是終點(diǎn)的上限是終點(diǎn)的坐標(biāo)坐標(biāo).對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分設(shè)平面曲線L的方程是( )( )( )r tx t iy t j,tLA tLB對(duì)應(yīng) 的起點(diǎn)對(duì)應(yīng) 的終點(diǎn)( )( ),( )LTr tx

5、 ty t 與 方向一致的切向量從而單位切向量221( ),( )( )( )tx ty txtyt又22( )( )dsxtyt dt再設(shè)( , )( , )( , )F x yP x y iQ x y j連續(xù),那么( ( ), ( ) ( )( ( ), ( )( )LLF dsF tdsP x ty tx tQ x ty ty tdt 1. 平面曲線平面曲線對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分設(shè)空間曲線C的方程是( )( )( )( )r tx t iy t jz t k,tCA tCB對(duì)應(yīng) 的起點(diǎn)對(duì)應(yīng) 的終點(diǎn)( )( ),( ),( )Tr tx ty tz t 與L方向一致的切向量從而單

6、位切向量2221( ),( ),( )( )( )( )tx ty tz txtytzt又222( )( )( )dsxtytzt dt再設(shè)( , , )( , , )( , , )( , , )F x y zP x y z iQ x y z jR x y z k連續(xù),那么( ( ), ( ), ( ) ( )( ( ), ( )( )( ( ), ( ), ( ) ( )CCF dsF tdsP x ty tz tx tQ x ty ty tR x ty tz tz tdt 2. 空間曲線空間曲線對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分3. 等價(jià)形式等價(jià)形式設(shè)空間曲線C的與C方向一致的切向量為cos

7、,cos,cos,cos ,cos,costt xt yt z( ),Tr t dtdx dy dz 從而單位切向量為又設(shè)( , , )( , , )( , , )( , , )F x y zP x y z iQ x y z jR x y z k那么coscoscosCCCCF dsF tdsPQRdsPdxQdyRdz 第二類(lèi)曲線積分也稱(chēng)為對(duì)坐標(biāo)的曲線積分.對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分(1) 若若L是直線是直線x=a上的一段上的一段,那那么么( , )d0LP x yx (2) 若若L是直線是直線y=b上的一段上的一段,那那么么( , )d0LQ x yy 注意:對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的

8、曲線積分例例1 計(jì)算計(jì)算()d()LIxy xx y dy其中其中L分別為分別為:(1) 以原點(diǎn)為中心以原點(diǎn)為中心,1為半徑的圓弧第一象限部分為半徑的圓弧第一象限部分,從從A(1,0)到到B(0.1);(2) 從從A(1,0)到到B(0,1)的直線段的直線段;(3) 有向折線段有向折線段AOB.xOABy結(jié)論結(jié)論:雖然被積函數(shù)雖然被積函數(shù),起點(diǎn)終點(diǎn)都相同起點(diǎn)終點(diǎn)都相同,但積分路徑不同但積分路徑不同,從而積分值不同從而積分值不同.對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分例例2 計(jì)算計(jì)算dLIx yydx其中其中L分別為分別為:(1) 拋物線拋物線22yx上從原點(diǎn)到上從原點(diǎn)到B(1,2)的一段的一段;(2

9、) 直線段直線段OB:2 ;yx(3) 任意以任意以O(shè)為起點(diǎn)為起點(diǎn),B為終點(diǎn)的光滑曲線為終點(diǎn)的光滑曲線.結(jié)論結(jié)論:被積函數(shù)被積函數(shù),起點(diǎn)終點(diǎn)都相同起點(diǎn)終點(diǎn)都相同,雖然積分路徑不同雖然積分路徑不同,但積分值相同但積分值相同.對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分例例3 計(jì)算計(jì)算222dIy x z dy x dz其中其中是球面是球面2222xyza與圓柱面與圓柱面22, (0,0)xyaxza的交線的交線,它在它在xy平面上的投影曲線為逆時(shí)針?lè)较蚱矫嫔系耐队扒€為逆時(shí)針?lè)较?對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分解解: 柱面柱面:22222aaxy 令令cos22( :02 )sin2aaxttayt那么那

10、么cos22:sin( :02 )2sin2aaxtaytttza222sin2tzaxya即即對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分22222203sin()sinsincoscoscos422 22224aat aaaatt attt dta 原式對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分 ttzztyytxx),(),(),(設(shè)設(shè)A對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)例例4設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn) M(x,y,z) 的向徑的向徑一單位正電荷沿光滑曲線一單位正電荷沿光滑曲線:, t解解即即,kzj yi xr .|222zyxr 根據(jù)庫(kù)倫定律根據(jù)庫(kù)倫定律,位于原點(diǎn)位于原點(diǎn)(0,0,0)處的電荷處的電荷q產(chǎn)生的靜電場(chǎng)中產(chǎn)生的靜電場(chǎng)中,求電場(chǎng)所作的功求

11、電場(chǎng)所作的功W.從點(diǎn)從點(diǎn)A移到點(diǎn)移到點(diǎn)B,B對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)的電場(chǎng)力的電場(chǎng)力位于點(diǎn)位于點(diǎn)M處的單位正電荷受到處的單位正電荷受到 r對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分, rOM rrqF3 sFWABd ,t因此所求的功為因此所求的功為 )()(2d rrrrq srrqd3 23222)(dddzyxzzyyxxq 23222)(d)(zyxtz zyyxxq )(1)(1 rrq其中其中)(),( rr)d,d,d(dzyxs 分別是點(diǎn)分別是點(diǎn)A和和B到原點(diǎn)的距離到原點(diǎn)的距離.222|zyxrr 2222)ddd(2dzyxzzyyxxr 21222)(d)(zyxtz zyyxx 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)

12、坐標(biāo)的曲線積分kzj yi xr rrqF3 sFWd 此例表明此例表明,靜電場(chǎng)電場(chǎng)力作功只與正電荷運(yùn)靜電場(chǎng)電場(chǎng)力作功只與正電荷運(yùn)動(dòng)的起點(diǎn)和終點(diǎn)的位置有關(guān)動(dòng)的起點(diǎn)和終點(diǎn)的位置有關(guān),而與運(yùn)動(dòng)的路徑無(wú)而與運(yùn)動(dòng)的路徑無(wú)關(guān)關(guān).凡是具有這種特性的力場(chǎng)凡是具有這種特性的力場(chǎng),稱(chēng)保守力場(chǎng)稱(chēng)保守力場(chǎng).例5. 計(jì)算曲線積分()()Lxy dxx y dy 其中L為橢圓:22221xyab取逆時(shí)針?lè)较?對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分第二類(lèi)曲線積分的概念第二類(lèi)曲線積分的概念第二類(lèi)曲線積分的計(jì)算第二類(lèi)曲線積分的計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分四、小結(jié)四、小結(jié)思想思想:化為定積分計(jì)算化為定積分計(jì)算對(duì)坐標(biāo)曲線積分的物理意義對(duì)坐標(biāo)曲線積分的物理意義變力沿曲線所作的功變力沿曲線所作的功關(guān)于曲線方向的性質(zhì)