數(shù)學(xué)必修ⅳ人教新課標(biāo)同步知識點學(xué)練考-三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

1、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式【教法探析】一、內(nèi)容分析誘導(dǎo)公式溝通了任意角三角函數(shù)值與銳角三角函數(shù)值以及終邊有特殊位置關(guān)系的角的三角函數(shù)值之間的聯(lián)系.在求任意角的三角函數(shù)值，解決有關(guān)的三角變換等方面有重要的作用。由角的終邊的某種對稱性，導(dǎo)致終邊與單位圓的交點也具有相應(yīng)的對稱性，這樣就產(chǎn)生了“”、“”、“”等誘導(dǎo)公式，我們知道，角的終邊與角的終邊關(guān)于y軸對稱；角的終邊與角的終邊關(guān)于原點對稱，角的終邊與角的終邊關(guān)于x軸對稱，所以、各角的三角函數(shù)值與角的三角函數(shù)值的絕對值相同，符號由各角所在象限的原三角函數(shù)的符號來確定，誘導(dǎo)公式看起來很多，但是抓住終邊的對稱性及三角函數(shù)定義，明白公式的來龍去脈也就不難記憶了。誘

2、導(dǎo)公式可以幫助我們把任意角的三角函數(shù)化為銳角三角函數(shù)，在求任意角的三角函數(shù)值時起很大作用，但是隨著函數(shù)計算器的普及，誘導(dǎo)公式更多地運用在三角變換中，特別是誘導(dǎo)公式中的角可以是任意角，即，它在終邊具有某種對稱性的角的三角函數(shù)變換中，應(yīng)用廣泛，如后續(xù)課中，畫余弦曲線就是利用誘導(dǎo)公式把正弦曲線向左平移個長度單位而得到的。在教學(xué)中，提供給學(xué)生的記憶方法一定要重在理解、重在邏輯、重在思考，以達到優(yōu)化思維品質(zhì)的功效。用一句話歸納概括誘導(dǎo)公式一、二、三、四、五并能正確理解這句話中每一詞語的含義，是本節(jié)教材的難點.講清每一組公式的意義及其中符號語言的特征，并把公式與相應(yīng)圖形對應(yīng)起來，是突破這個難點的關(guān)鍵。二、

3、復(fù)習(xí)引入公式一: （其中）用弧度制可寫成 （其中）誘導(dǎo)公式（一）的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化為0º360º之間角的正弦、余弦、正切，其方法是先在0º360º內(nèi)找出與角終邊相同的角，再把它寫成誘導(dǎo)公式（一）的形式，然后得出結(jié)果。這組公式可以統(tǒng)一概括為的形式，其特征是：等號兩邊是同名函數(shù)，且符號都為正。由這組公式還可以看出，三角函數(shù)是“多對一”的單值對應(yīng)關(guān)系，明確了這一點，為今后學(xué)習(xí)函數(shù)的周期性打下基礎(chǔ)。運用公式時，注意“弧度”與“度”兩種度量制不要混用，如寫成，是不對的。三、新課講解公式二：用弧度制可表示如下： 它刻畫了角180º+與角的

4、正弦值（或余弦值）之間的關(guān)系，這個關(guān)系是：以角終邊的反向延長線為終邊的角的正弦值（或余弦值）與角的正弦值（或余弦值）是一對相反數(shù).這是因為若設(shè)的終邊與單位圓交于點P（ x，y），則角終邊的反向延長線，即180º+角的終邊與單位圓的交點必為P´（-x，-y）（如圖4-5-1）.由正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義，即可得sin=y，cos=x,sin（180º+）=-y, cos（180º+）=-x, 所以 :sin（180º+）=-sin，cos（180º+）=-cos.公式三： 它說明角-與角的正弦值互為相反數(shù)，而它們的余弦值相等.這是因為，

5、若沒的終邊與單位圓交于點P（x，y），則角-的終邊與單位圓的交點必為P´（x，-y）（如圖4-5-2）。由正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義，即可得sin=y， cos=x,sin（-）=-y, cos（-）=x, 所以：sin（-）= -sin, cos（-）= cos公式二、三的獲得主要借助于單位圓及正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義.根據(jù)點P的坐標(biāo)準確地確定點P´的坐標(biāo)是關(guān)鍵，這里充分利用了對稱的性質(zhì).事實上，在圖1中，點P´與點P關(guān)于原點對稱，而在圖2中，點P´與點P關(guān)于x軸對稱.直觀的對稱形象為我們準確寫出P´的坐標(biāo)鋪平了道路，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合這一數(shù)學(xué)思想

6、的優(yōu)越性.公式四： 用弧度制可表示如下： 公式五： 這兩組公式均可由前面學(xué)過的誘導(dǎo)公式直接推出（公式四可由公式二、三推出，公式五可由公式一、三推出），體現(xiàn)了把未知問題化為已知問題處理這一化歸的數(shù)學(xué)思想.公式的推導(dǎo)并不難，然而推導(dǎo)中的化歸意識和策略是值得我們關(guān)注的。五組誘導(dǎo)公式可概括為： +k·360º（kZ），-，180º±，360º-的三角函數(shù)值，等于的同名函數(shù)值，前面加上一個把看成銳角時原函數(shù)值的符號。這里的“同名三角函數(shù)值”是指等號兩邊的三角函數(shù)名稱相同；“把看成銳角”是指原本是任意角，這里只是把它視為銳角處理；“前面加上一個符號”是指的

7、同名函數(shù)值未必就是最后結(jié)果，前面還應(yīng)添上一個符號（正號或負號，主要是負號，正號可省略），而這個符號是把任意角視為銳角情況下的原角原函數(shù)的符號.應(yīng)注意講清這句話中每一詞語的含義，特別要講清為什么要把任意角看成銳角.建議通過實例分析說明。誘導(dǎo)公式6：sin（90° -a） = cosa, cos（90° -a） = sinatan（90° -a） = cota, cot（90° -a） = tanasec（90° -a） = csca, csc（90° -a） = seca誘導(dǎo)公式7：sin（90° +a） = cosa, co

8、s（90° +a） = -sinatan（90° +a） = -cota, cot（90° +a） = -tanasec（90° +a） = -csca, csc（90°+a） = seca如圖所示 sin（90° +a） = MP = OM = cosacos（90° +a） = OM = PM = -MP = -sina或由6式：sin（90° +a） = sin180°- （90° -a） = sin（90° -a） = cosacos（90° +a） = cos180

9、°- （90° -a） = -sin（90° -a） = -cosa誘導(dǎo)公式8：sin（270° -a） = -cosa, cos（270° -a） = -sinatan（270° -a） = cota, cot（270° -a） = tanasec（270° -a） = -csca, csc（270°-a） = seca誘導(dǎo)公式9：sin（270° +a） = -cosa, cos（270° +a） = sinatan（270° +a） = -cota, cot（270&#

10、176; +a） = -tanasec（270° +a） = csca, csc（270°+a） = -seca【學(xué)法導(dǎo)引】例1:下列三角函數(shù)值： （1）cos210º； （2）sin分析：本題是誘導(dǎo)公式二的鞏固性練習(xí)題.求解時，只須設(shè)法將所給角分解成180º+或（+），為銳角即可。解：（1）cos210º=cos（180º+30º）=cos30º=；（2）sin=sin（）=sin=例2:化簡 分析：這是誘導(dǎo)公式一、二、三的綜合應(yīng)用.適當(dāng)?shù)馗淖兘堑慕Y(jié)構(gòu)，使之符合誘導(dǎo)公式中角的形式，是解決問題的關(guān)鍵.解：原式= =

11、1例3:求值：sincossin略解：原式=-sin-cos-sin=-sin-cos+sin=sin+cos+sin =+0.3090=1.3090 說明：本題考查了誘導(dǎo)公式一、二、三的應(yīng)用，弧度制與角度制的換算，是一道比例1略難的小綜合題.利用公式求解時，應(yīng)注意符號。例4:求值：sin（-1200º）·cos1290º+cos（-1020º）·sin（-1050º）+tan855º.解：原式sin（120º+3·360º）cos（210º+3·360º）+cos

12、（300º+2·360º）-sin（330º+2·360º）+tan（135º+2·360º）sin120º·cos210ºcos300º·sin330º+tan135ºsin（180º60º）·cos（180º+30º） cos（360º60º）·sin（360º-30º）+=sin60º·cos30º+cos60º·sin30ºtan45º=·+·-1=0說明：本題的求解涉及了誘導(dǎo)公式一、二、三、四、五以及同角三角函數(shù)的關(guān)系，與前面各例比較，更具有綜合性.通過本題的求解訓(xùn)練，可使學(xué)生進一步熟練誘導(dǎo)公式在求值中的應(yīng)用。例5:解：從而【模擬練習(xí)】1.求下式的值：2sin（1110º） sin960º+2.，是一個三角形的三個內(nèi)角，則下列各式中始終表示常數(shù)的是（ ）A.sin（+）+sin B.cos（+）- cosC.sin（+）-cos（-）tanD.cos（2+）+ cos23.已知參考答