數(shù)學(xué)做題——數(shù)學(xué)教法的思考

1、數(shù)學(xué)做題數(shù)學(xué)教法的思考康韋穎摘要：數(shù)學(xué)教育的核心是培養(yǎng)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)只有應(yīng)用于各種情形才是有意義的。問(wèn)題解決已成為國(guó)際數(shù)學(xué)教育研究的一個(gè)熱點(diǎn)。而在問(wèn)題解決的過(guò)程當(dāng)中必然會(huì)要閱讀各種的參考資料、文獻(xiàn)等等，這就意味著若沒(méi)有較強(qiáng)的閱讀能力，則問(wèn)題解決就會(huì)面臨重重困難，教師在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)多注重這兩方面能力的培養(yǎng)。關(guān)鍵詞：閱讀 閱讀能力 問(wèn)題 問(wèn)題解決由于數(shù)學(xué)學(xué)科在中小學(xué)教育中的重要地位，數(shù)學(xué)教育研究呈現(xiàn)出一片繁榮景象。在20世紀(jì)60年代，席卷大半個(gè)地球的“新數(shù)學(xué)”運(yùn)動(dòng)，由于過(guò)分強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的抽象結(jié)構(gòu)，忽視數(shù)學(xué)為現(xiàn)實(shí)生活服務(wù)，最終以失敗告終。70年代又提出了“回到基礎(chǔ)”，但這一口號(hào)被認(rèn)為是消

2、極的。直至1984年第五屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME-5）明確提出：數(shù)學(xué)教育的核心是培養(yǎng)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)只有應(yīng)用于各種情形才是有意義的。現(xiàn)在，世界上幾乎所有的國(guó)家都以提高學(xué)生問(wèn)題解決的能力作為數(shù)學(xué)教育的主要目標(biāo)之一，問(wèn)題解決亦已成為國(guó)際數(shù)學(xué)教育研究的一個(gè)熱點(diǎn)。而在問(wèn)題解決的過(guò)程當(dāng)中必然會(huì)要閱讀各種的參考資料、文獻(xiàn)等等，這就意味著若沒(méi)有較強(qiáng)的閱讀能力，則問(wèn)題解決就會(huì)面臨重重困難，所以，教師在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)多注重這兩方面能力的培養(yǎng)。下面，我就結(jié)合這幾年來(lái)的教學(xué)體會(huì)談?wù)効捶?，以供商榷。一、重視培養(yǎng)學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)課本的能力：閱讀能力是學(xué)生自學(xué)能力的一個(gè)重要方面，學(xué)生有了閱讀能力，就能掌握打開(kāi)

3、知識(shí)寶庫(kù)大門(mén)的鑰匙，獨(dú)立地獲取和運(yùn)用前人積累起來(lái)的豐富知識(shí)、進(jìn)行創(chuàng)造性工作。但是，長(zhǎng)期以來(lái)，由于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教法“先生講，學(xué)生聽(tīng)”的影響，在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的閱讀能力一直未獲重視?，F(xiàn)在，一般的學(xué)生只習(xí)慣于聽(tīng)教師講課，不習(xí)慣自己看書(shū)；習(xí)慣于做習(xí)題，不習(xí)慣復(fù)習(xí)、預(yù)習(xí)課文，他們僅僅把課本當(dāng)作習(xí)題集。顯然，他們的學(xué)習(xí)效率只能是事倍功半。為了提高教學(xué)質(zhì)量，我們必須重視對(duì)學(xué)生閱讀能力的培養(yǎng)，具體做法如下：1。激發(fā)學(xué)生的閱讀興趣。愛(ài)因斯坦說(shuō)過(guò)：“興趣是最好的老師”。要培養(yǎng)學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)課本的能力，就要激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，而激發(fā)這一興趣的方法則可以從講數(shù)學(xué)家的故事和數(shù)學(xué)發(fā)展史、編趣味數(shù)學(xué)題、出數(shù)學(xué)園地、指導(dǎo)學(xué)

4、生閱讀課外數(shù)學(xué)讀物、組織較為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)競(jìng)賽活動(dòng)等等。現(xiàn)行九年義務(wù)教育三年制初中數(shù)學(xué)教科書(shū)的一個(gè)特點(diǎn)是：每章都有一段配有插圖的引言和在課文中適當(dāng)穿插了“想一想”、“讀一讀”、“做一做”欄目。這是為擴(kuò)大學(xué)生知識(shí)面、增加趣味性而設(shè)立的，教師則可以利用這些欄目來(lái)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。例如：講解正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念時(shí)，可結(jié)合介紹我國(guó)早在2000多年前的九章算術(shù)中就有正負(fù)數(shù)運(yùn)算的記載，使學(xué)生知道“中國(guó)是最早使用負(fù)數(shù)的國(guó)家”；講解勾股定理（又稱(chēng)畢達(dá)哥拉斯定理）時(shí)，又可以結(jié)合介紹公元前1世紀(jì)著作周髀算經(jīng)中就記載了勾股定理。我國(guó)比西方國(guó)家提出畢達(dá)哥拉斯定理要早550多年；講解圓周率時(shí)，則可以結(jié)合介紹我國(guó)古代數(shù)學(xué)家

5、（魏晉時(shí)期）所著的九章算術(shù)注創(chuàng)造了“割圓術(shù)”，求得圓周率，而我國(guó)古代數(shù)學(xué)家祖沖之（公元429500）求得圓周率在與之間，這一杰出成果在世界上保持了1000年以上。這樣做，既可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，有寓德育于智育之中。2。教會(huì)學(xué)生閱讀的方法。常言道：“授人以魚(yú)，不如教人以漁”。教師不但要教學(xué)生學(xué)會(huì)，而且更重要的是教學(xué)生會(huì)學(xué)。首先，要教會(huì)學(xué)生閱讀課本的方法。因?yàn)檎n本是基礎(chǔ)、知識(shí)的源泉，是基本技能的依據(jù)，也是學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)，所以教師必須教會(huì)學(xué)生閱讀課本的方法。教會(huì)學(xué)生閱讀課本的方法需要有一個(gè)由教師范讀到學(xué)生自己讀的過(guò)程。起初在課上由教師帶領(lǐng)學(xué)生閱讀課文，對(duì)于重要的數(shù)學(xué)概念指導(dǎo)學(xué)生勾畫(huà)、圈點(diǎn)中心詞

6、、抓住重點(diǎn)、反復(fù)閱讀，理解概念。經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的訓(xùn)練后，教師逐步放手由學(xué)生自己閱讀課文?，F(xiàn)行九年義務(wù)教育三年制初中數(shù)學(xué)教科書(shū)的另一個(gè)特點(diǎn)是：每小節(jié)前均有一方框，每章后面均安排有“小結(jié)與復(fù)習(xí)”，這就為教師指導(dǎo)學(xué)生預(yù)習(xí)和復(fù)習(xí)課文提出了學(xué)習(xí)內(nèi)容和要求。閱讀課文的一般要求是：第一，理解概念的基本屬性和概念之間的聯(lián)系與區(qū)別；第二，掌握定理、公式和法則的運(yùn)用；第三，掌握解題方法和步驟。對(duì)重要的定理和公式不但要熟記，而且還要“知其所以然”。例如：一元二次方程，對(duì)其求根公式不僅要會(huì)熟練運(yùn)用，還要掌握其推導(dǎo)方法。為了培養(yǎng)學(xué)生的閱讀能力，必須以教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體，教材為主線(xiàn)，把指導(dǎo)學(xué)生閱讀課文貫穿于整個(gè)教學(xué)的過(guò)

7、程中。一般教學(xué)過(guò)程如下表所示：學(xué)生閱讀課文提問(wèn)講授練習(xí)小結(jié)作業(yè)3。培養(yǎng)學(xué)生的閱讀習(xí)慣。良好的閱讀習(xí)慣應(yīng)該是：課前能認(rèn)真預(yù)習(xí)、課后能及時(shí)復(fù)習(xí)，并能做好閱讀筆記。當(dāng)然，這種良好的閱讀習(xí)慣不是學(xué)生一朝一夕所能做到的，而是在老師指導(dǎo)下，經(jīng)過(guò)嚴(yán)格訓(xùn)練才能形成的。為了培養(yǎng)學(xué)生良好的閱讀習(xí)慣，還必須注意以下兩點(diǎn)：其一，要注意循序漸進(jìn)的原則。由于年齡、年級(jí)不同，對(duì)學(xué)生的閱讀要求也要有所不同。對(duì)于初中生來(lái)說(shuō)，應(yīng)該選擇一些內(nèi)容比較淺顯，易于理解的教材片段給學(xué)生閱讀；對(duì)于高中生來(lái)說(shuō)，可以讓他們獨(dú)立地閱讀課本和有關(guān)參考資料，并做好讀書(shū)筆記。由于教材的難易程度不同，對(duì)學(xué)生閱讀要求也不能千篇一律。對(duì)于能夠看懂但理解不深的

8、教材，要提出適當(dāng)?shù)乃伎碱}；對(duì)于大部分能看懂而有個(gè)別難點(diǎn)的教材，可事先排除障礙，再讓學(xué)生閱讀；對(duì)于難度較大的教材，一般只要求學(xué)生對(duì)內(nèi)容梗概有個(gè)大概了解，在看不懂的地方作上記號(hào)，由老師幫助解決。其二，要注意因材施教的原則。由于學(xué)生水平參差不齊，閱讀要求也要有所區(qū)別。布置閱讀課文時(shí)，應(yīng)面向多數(shù)，兼顧兩頭。對(duì)大多數(shù)中等學(xué)生以理解教材為主；對(duì)于優(yōu)秀生要求深入理解教材；對(duì)于差生要個(gè)別輔導(dǎo)。綜上所述，充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用是培養(yǎng)學(xué)生閱讀能力的關(guān)鍵。只要教師能勤于思考、敢于改革，而又指導(dǎo)得法，且能持之以恒，學(xué)生就能形成閱讀興趣，養(yǎng)成閱讀習(xí)慣，掌握閱讀方法，提高閱讀能力。二、如何看待“問(wèn)題解決”的教學(xué)：何謂“問(wèn)

9、題解決”呢？第六屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME-6）提出：?jiǎn)栴}解決是指從嘗試到解決問(wèn)題的全過(guò)程。雖然，各個(gè)國(guó)家對(duì)“問(wèn)題解決”的描述不盡相同，但都具有三方面的含義：（1）“問(wèn)題解決”是數(shù)學(xué)教育的一個(gè)目的，是數(shù)學(xué)教育的核心；（2）“問(wèn)題解決”是一個(gè)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程、探索的過(guò)程、創(chuàng)新的過(guò)程；（3）“問(wèn)題解決”是一項(xiàng)基本技能，但它不是一個(gè)單一的技巧，而是若干技巧的一個(gè)整體，因此，我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中可以從以下幾方面入手：1。明確問(wèn)題習(xí)題對(duì)學(xué)生而言，“問(wèn)題”應(yīng)具有三個(gè)特征：可接受性、障礙性、探究性。若一個(gè)問(wèn)題可以使用以前學(xué)會(huì)的算法輕易地解答出來(lái)，那么它就不再被認(rèn)為是一個(gè)問(wèn)題了?！皢?wèn)題”不僅包括教科書(shū)上的問(wèn)題，也應(yīng)包

10、括那些來(lái)自實(shí)際的問(wèn)題；不僅包括常規(guī)問(wèn)題，也應(yīng)包括非常規(guī)問(wèn)題；不僅包括條件充分、結(jié)論確定的問(wèn)題，也應(yīng)包括條件不充分、結(jié)論不確定的問(wèn)題。傳統(tǒng)的習(xí)題，包括訓(xùn)練性習(xí)題和探究性習(xí)題，可以涵蓋“問(wèn)題”的大部分內(nèi)容，但是并沒(méi)有包括具有“開(kāi)放性答案”的問(wèn)題和某些從實(shí)際生活中提出的條件不充分的問(wèn)題，因此，我們應(yīng)該拓廣“數(shù)學(xué)問(wèn)題”的外延，使之包括來(lái)自生產(chǎn)、生活以及各學(xué)科的實(shí)際問(wèn)題，以及條件不完備的解題策略多種多樣的、結(jié)論不確定的“數(shù)學(xué)開(kāi)放題”。當(dāng)然了，問(wèn)題這一概念具有相對(duì)性，對(duì)于某些人成為一個(gè)問(wèn)題的東西，對(duì)于另一些人可能就不構(gòu)成問(wèn)題。2。實(shí)施“問(wèn)題解決”教學(xué)的幾個(gè)步驟：（1）創(chuàng)設(shè)情景，提出問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生對(duì)結(jié)論的迫

11、切追求的欲望。例如：初中幾何關(guān)于切線(xiàn)性質(zhì)的教學(xué)可以這樣引入：l0.5l教師先拿出一張圓紙片說(shuō)：“這是一個(gè)圓，當(dāng)中去掉一個(gè)隨便多大的同心圓?！币贿呎f(shuō)，一邊用手捅去中間的一個(gè)（事先做好的）同心圓，然后問(wèn)學(xué)生：“這個(gè)圓環(huán)的面積多大？”教師拿出一個(gè)事先準(zhǔn)備好的細(xì)棒放在圓環(huán)內(nèi)，使它恰好既是外圓的弦又是內(nèi)圓的切線(xiàn)，再把細(xì)棒從中折斷，以其中一段為半徑在黑板上畫(huà)一個(gè)圓，并對(duì)學(xué)生說(shuō)“圓環(huán)面積與這個(gè)圓的面積恰好相等，你們信嗎？為什么？”（如圖）從而激起學(xué)生研究切線(xiàn)性質(zhì)，探求問(wèn)題答案的強(qiáng)烈興趣。（2）引導(dǎo)學(xué)生感知數(shù)學(xué)問(wèn)題。只有當(dāng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題有了真正的感知，才能產(chǎn)生學(xué)習(xí)的自覺(jué)性，提高思維的積極性，并為探求問(wèn)題解決的

12、策略提供必要的前提。例如：為了研究平面內(nèi)的條直線(xiàn)最多有多少個(gè)交點(diǎn)，可以先引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖，對(duì)的情況進(jìn)行觀察、分析，讓學(xué)生感知交點(diǎn)的個(gè)數(shù)與直線(xiàn)的位置關(guān)系有關(guān)。欲使交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多，直線(xiàn)的位置關(guān)系應(yīng)滿(mǎn)足條件：其中任何兩條直線(xiàn)不平行，任何三條直線(xiàn)不交于一點(diǎn)。再運(yùn)用不完全歸納法，學(xué)生就會(huì)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，求得結(jié)論。（3）探求數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決趨勢(shì)和途徑。說(shuō)到解題，有些人很容易想到“證題術(shù)”、“題目類(lèi)型”、“解題技巧”，甚至是題目做得越多越好的“題海戰(zhàn)術(shù)”。雖然這些方法對(duì)于提高學(xué)生的解題能力也會(huì)有一定的幫助，但是，在數(shù)學(xué)教學(xué)中如何啟發(fā)學(xué)生積極思考問(wèn)題，鍛煉和提高思維能力，要比講授證題術(shù)、歸納題目類(lèi)型、傳授解題技巧重要的

13、多。教學(xué)中若一味講題目類(lèi)型和解題技巧，將解題總結(jié)成呆板的程式，讓學(xué)生死記一些孤立的解法，將精力用在訓(xùn)練模仿力和記憶力上，不僅會(huì)僵化學(xué)生的思維，而且加重了學(xué)生不必要的負(fù)擔(dān)。這樣勢(shì)必?cái)U(kuò)大了學(xué)生的知識(shí)基底，與數(shù)學(xué)的基本精神用最小的基底去構(gòu)造科學(xué)知識(shí)的體系，或者發(fā)掘科學(xué)知識(shí)體系的最小基底是相違背的。教學(xué)中應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生大膽運(yùn)用類(lèi)比、歸納猜想、特殊化、一般化等方法乃至直覺(jué)，去尋找解題策略，探求數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決趨勢(shì)和可能途徑，必要時(shí)可給學(xué)生一些提示，并適當(dāng)延長(zhǎng)讓學(xué)生思考的時(shí)間。（4）對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行回味和評(píng)價(jià)。求出數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案不應(yīng)是問(wèn)題解決的終結(jié)，還應(yīng)通過(guò)回味和評(píng)價(jià)，進(jìn)一步提示數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)和解題規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生

14、分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力。常用的回味和評(píng)價(jià)的方法有引申推廣、概括出一般原理、一題多解等。使學(xué)生學(xué)會(huì)從不同的角度運(yùn)用不同的知識(shí)和方法解決問(wèn)題，養(yǎng)成勤思、善想、深鉆的良好習(xí)慣和不斷探索的科學(xué)精神。3。如何選擇數(shù)學(xué)問(wèn)題。數(shù)學(xué)問(wèn)題有“好”“壞”之分，盡管大家對(duì)“問(wèn)題解決”中的好問(wèn)題的認(rèn)識(shí)并不完全一致，也不總是清楚的，但是人們?nèi)匀挥凶銐虻睦碛烧J(rèn)為，一個(gè)好的數(shù)學(xué)問(wèn)題應(yīng)當(dāng)具有下列特點(diǎn)，或者這些特點(diǎn)中的部分特點(diǎn)：（1）問(wèn)題的解答含著明顯的數(shù)學(xué)概念或技巧。某些問(wèn)題的解答需要用到一些數(shù)學(xué)原理，對(duì)于這些問(wèn)題，或者可以找到一個(gè)使學(xué)生能夠識(shí)別的模式，或者通過(guò)基本技巧的靈活運(yùn)用能夠很快地得到解決?？傊?，在問(wèn)題及其解答中包含著某些數(shù)學(xué)概念或基本技巧。（2）問(wèn)題能夠推廣或者擴(kuò)充到各種情況。例如：關(guān)于矩形的問(wèn)題能夠變?yōu)殛P(guān)于長(zhǎng)方體的問(wèn)題，關(guān)于圓的問(wèn)題能變?yōu)殛P(guān)于球的問(wèn)題。一般地，關(guān)于二維平面的問(wèn)題能推廣為三維空間的問(wèn)題。又如：將兩個(gè)變量的問(wèn)題推廣到三個(gè)變量乃至多個(gè)變量的情形，將關(guān)于正方體的問(wèn)題推廣到