高中數(shù)學(xué)論文 圖形計(jì)算器應(yīng)用能力測試活動(dòng)學(xué)生 利用圖形計(jì)算器

1、遼寧省沈陽市第十五中學(xué)2013年高中數(shù)學(xué)論文 圖形計(jì)算器應(yīng)用能力測試活動(dòng)學(xué)生 利用圖形計(jì)算器解決需要分類的數(shù)形結(jié)合問題普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)明確提出，要“盡可能使用科學(xué)型計(jì)算器、各種數(shù)學(xué)教育技術(shù)平臺(tái)，加強(qiáng)數(shù)學(xué)教學(xué)與信息技術(shù)的結(jié)合，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用計(jì)算機(jī)、計(jì)算器等進(jìn)行探索和發(fā)現(xiàn)?！眻D形計(jì)算器雖然使用還不夠廣泛，但它在代數(shù)運(yùn)算、編程、數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)、動(dòng)態(tài)幾何等方面都有較強(qiáng)大的功能，并且便于攜帶，可以隨時(shí)隨地使用，因此其優(yōu)勢比較明顯。在查看資料的過程中遇到了這樣一個(gè)問題：“ 分別就a =2，a =和a =畫出函數(shù)y = ax，y = logax的圖象，并求方程ax = logax解的個(gè)數(shù)” 一、我們的主觀

2、意識(shí)常常會(huì)引導(dǎo)我們犯錯(cuò)在解決需要進(jìn)行分類討論的數(shù)形結(jié)合問題時(shí)，我們常常以主觀意識(shí)即通過以下步驟通過繪制圖像進(jìn)行判斷：使用“計(jì)算·矩陣”功能模塊，將一個(gè)大于1的數(shù)（這里設(shè)置為3）賦值給參數(shù)A。使用“圖形”功能模塊，繪制函數(shù)Y1=Ax及函數(shù)Y2=logAX。由此圖可知，當(dāng)a > 1時(shí)，方程ax = logax無解；用同樣的方法，作出0 < a < 1時(shí)y = ax與y = logax的圖象（我們一般會(huì)選擇易于計(jì)算的0.5）。因它們只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以我們通常會(huì)得出當(dāng)0 < a < 1時(shí)，方程ax = logax有且只有一解的結(jié)論。通過我們慣用的思想方法來解決

3、這一問題得到的結(jié)論看起來是準(zhǔn)確無誤的，但是這種通過主觀意識(shí)的判斷而得來的結(jié)論就真的正確么？下面的操作會(huì)讓我們顛覆這種看法。二、如果再多進(jìn)行一步，結(jié)果將會(huì)讓人吃驚在這里，我們將0.1這個(gè)在（0，1）區(qū)間中的實(shí)數(shù)賦值給參數(shù)A，這時(shí)再使用“圖形”功能模塊繪制圖像顯然，在改變參數(shù)后，我們發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)函數(shù)的圖像出現(xiàn)了一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，點(diǎn)擊鍵盤上的F5，選擇“交點(diǎn)”功能即可得到交點(diǎn)坐標(biāo)。如果我們就這樣想要得出新的結(jié)論的話，先不要著急，當(dāng)我們把（1，+）上的無理數(shù)賦值給參數(shù)A時(shí)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)之前得出的結(jié)論又一次被推翻。使用之前的方法在做出圖像后求出交點(diǎn)坐標(biāo)，這一次， 這兩個(gè)函數(shù)的圖像出現(xiàn)了兩個(gè)交點(diǎn)如果這樣就想要提

4、出新的結(jié)論，還是為時(shí)過早，如果我們將0.03這個(gè)（0,1）上的有理數(shù)賦值給參數(shù)A，就會(huì)得到這樣的圖像。這時(shí)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)函數(shù)的圖像出現(xiàn)了三個(gè)交點(diǎn)。為了保險(xiǎn)起見，我們使用“動(dòng)態(tài)圖”功能模塊來驗(yàn)證（由于這款計(jì)算器不支持步長為0.01的情況，我們只能驗(yàn)證步長為0.1）。當(dāng)曲線y = ax與y = logax相切時(shí)，曲線y = ax與y = logax有且只有一個(gè)公共點(diǎn)。由此可知，當(dāng)a > 1時(shí)，方程ax = logax的解可能有2個(gè)、1個(gè)或0個(gè)；當(dāng)0 < a < 1時(shí)，方程ax = logax的解可能有3個(gè)或1個(gè)，通過以上操作，我們可以在a的取值不同的情況下，方程ax = lo

5、gax解的個(gè)數(shù)有下列多種不同情況：0個(gè)、1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)。三、在現(xiàn)象中理解這個(gè)問題的理論依據(jù)通過剛才的操作，我們通過函數(shù)圖象得出了方程ax = logax (a>0，且a1解的個(gè)數(shù)。如果在沒有圖形計(jì)算器的場合我們又該如何解決這個(gè)問題呢？對(duì)于方程ax = logax.在a > 1時(shí)先求y = ax 的圖像與y = logax的圖像相切時(shí)a的值。設(shè)曲線y = ax與y = logax相切于點(diǎn)P(x0，x0，從我們之前的學(xué)習(xí)中，我們可以得知函數(shù)y = ax 與y = logax互為反函數(shù)，所以當(dāng)這兩個(gè)函數(shù)圖象相切時(shí)，切線的斜率為1。從而列得方程， 即e = a = 此時(shí)x0 = e以上說

6、明，當(dāng)a = 時(shí)，兩條曲線y = ax與y = logax相切于點(diǎn)P (e，e因此有以下結(jié)論：. 1 < a < 時(shí)，方程有且僅有兩個(gè)解 .當(dāng)a = 時(shí)，方程有且僅有一個(gè)解. 當(dāng)a > 時(shí)，方程無解當(dāng)0 < a < 1時(shí)先求y = ax與y = logax相切時(shí)a的值。 設(shè)曲線y = ax與y = logax相切于點(diǎn)P，由對(duì)稱性知，點(diǎn)P 在直線y = x上，設(shè)P (x0，x0。由于曲線y = logax（或y = ax）在點(diǎn)P處切線的斜率為 1，列得方程，即 即則a = 此時(shí)，x0 =。以上說明，當(dāng)a =時(shí)，兩條曲線y = ax與y = logax相切于點(diǎn)P(，。

7、得出：.0 < a <時(shí)，方程有且僅有三解；.當(dāng)a =時(shí)，方程有且僅有一解；. 當(dāng)< a < 1時(shí)，方程有且僅有一解。用圖形計(jì)算器的“計(jì)算·矩陣”功能模塊，求出的值。這個(gè)數(shù)非常小，小到在我們平常的運(yùn)算跟思考中根本不會(huì)考慮到這種情況，這也正是這道題的關(guān)鍵所在。綜上所述，當(dāng)a（0，）時(shí)，方程ax = logax有且僅有三解；當(dāng)a =時(shí)，方程ax = logax有且僅有一解；當(dāng)a（，1）時(shí)，方程ax = logax有且僅有一解；當(dāng)a（1，）時(shí)，方程ax = logax有且僅有兩解；當(dāng)a =時(shí)，方程ax = logax有且僅有一解；當(dāng)a（，+）時(shí)，方程ax = log

8、ax無解。四、感悟與反思通過這道題，我們可以明白自己平常在做涉及到分類討論的數(shù)形結(jié)合問題時(shí)，考慮的總是不那么全面，我們的主觀意識(shí)讓我們無法突破慣有解題方式的桎梏，在開篇時(shí)舉出的例子就是一個(gè)很好的證明，在這個(gè)例子中我們所使用的分類方式是我們在平時(shí)的練習(xí)與測驗(yàn)中因?yàn)闀r(shí)間跟計(jì)算工具的限制經(jīng)常會(huì)用到的分類。然而，這道題卻跳出了這個(gè)慣有思維，它采取了更加細(xì)化的分類而不是像我們平常做題時(shí)大致分成兩類，每一類中選取一個(gè)有代表性的值，求解以后就能得出結(jié)論的類型。也正是這道題，在我們高中所接觸到的知識(shí)體現(xiàn)的數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)，同時(shí)也能體現(xiàn)出圖形計(jì)算器在我們解決一些需要細(xì)化分類的問題時(shí)所起到的無與倫比的作用。反思一下我們平時(shí)的解題，在大量習(xí)題的壓力下，時(shí)間變得很緊張，因此，我們一般不會(huì)見到需要特別的細(xì)化分類的問題，也正是這一點(diǎn)，使我們的思維限制在了平時(shí)做題得分需要的大致的分類，而忽略了數(shù)學(xué)本身的精密、嚴(yán)謹(jǐn)。在解這道題時(shí)，我相信大多數(shù)每天沉浸在大量成題中的高中生一定會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)有一個(gè)全新的認(rèn)識(shí)，也對(duì)圖形計(jì)算器有了不一樣的感想。在使用“計(jì)算·矩陣”功能模塊時(shí)，我們可以進(jìn)行一些輔助運(yùn)算，還可以對(duì)其他功能模塊所要用到的參數(shù)進(jìn)行賦值；使用“圖形”功能模塊時(shí)，可以通