關(guān)于函數(shù)值域與最值問題的求法

1、關(guān)于函數(shù)值域與最值問題的求法摘要：關(guān)于函數(shù)的值域與最值的求法，是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，也是一個(gè)重點(diǎn)。在現(xiàn)行高中教材中沒有專門安排有關(guān)內(nèi)容作出介紹，但在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中、練習(xí)、習(xí)題中，乃至高中畢業(yè)會(huì)考題中、高考題中，卻處處可遇到求函數(shù)值域與最值的問題。因此，我們有必要對(duì)求函數(shù)的值域與最值的方法作出充分的歸納與認(rèn)識(shí)。本文就高中數(shù)學(xué)的要求，對(duì)常見的一些方法作出下列歸納與介紹。關(guān)鍵詞：函數(shù)的值域，函數(shù)的最值，方法。函數(shù)的值域與最值是兩個(gè)不同的概念，一般說來，求出了一個(gè)函數(shù)的最值，未必能確定該函數(shù)的值域，反之，一個(gè)函數(shù)的值域被確定，這個(gè)函數(shù)也未必有最大值或最小值。但是，在許多常見的函數(shù)中，函數(shù)的值域與

2、最值的求法是相通的、類似的。關(guān)于求函數(shù)值域與最值的方法也是多種多樣的，但是有許多方法是類似的，歸納起來，常用的方法有：配方法；反函數(shù)法；判別式法；換元法（含式代換、三角代換等）；單調(diào)性法；不等式法；數(shù)形結(jié)合法等。下面就這些方法逐一說明它們的運(yùn)用。配方法利用二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)、圖象作出分析，特別是求某一給定區(qū)間的最值與值域。此方法一般可解決形如 y = a f(x)2 + b f(x) + c (a0)的函數(shù)的值域與最值。例1、求函數(shù) y = x2 - 6x + 2的值域。解法一：y = x2 - 6x + 2( x - 3)27又( x - 3)20( x - 3)277函數(shù)的值域是7，）這里

3、用到了配方法求函數(shù)的值域。解法二：二次函數(shù)y = x2 - 6x + 2是對(duì)稱軸為x = 3，開口向上的拋物線，故當(dāng)x = 3時(shí)，函數(shù)有最小值f(3)7。函數(shù)的值域是7，）這里運(yùn)用了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求值域。一般地，求一次、二次函數(shù)的值域與最值，還要考慮它們的定義域。例如，在例1中將題目改為：y = sin2x - 6sinx + 2，則函數(shù)的值域就不是7，）了。因?yàn)楫?dāng)xR時(shí)，sinx- 1, 1，而sinx取不到3，則函數(shù)值取不到7。解法一：y = sin2x - 6sinx + 2 ( sinx - 3)2 - 7（配方法）又sinx- 1, 1，函數(shù)的值域是3，9解法二：令sinx =

4、 t，則 y = t2 - 6t + 2 t - 1, 1 它的圖象是拋物線的一段（如圖）函數(shù)的值域是3，9在此方法中用到了數(shù)形結(jié)合的方法。反函數(shù)法由互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)具有的性質(zhì)，可以通過求反函數(shù)的定義域來確定已知函數(shù)的值域。例2、求函數(shù) y = 的值域。解：由于函數(shù)y =的映射是一一映射（證明略）故反函數(shù)存在，其反函數(shù)為y= (x ) 函數(shù)的值域?yàn)?y | y ，且yR說明：由于本方法中所具有的某些局限性，一般說來，用此方法求值域只用于形如 y = (c0)的函數(shù)，并且用此方法求函數(shù)的值域，也不是比較理想的方法（見方法5）。判別式法一般地，求形如 y = 的有理分式函數(shù)的值域，可把原函數(shù)化

5、成關(guān)于x的一元二次方程：f(y)x2 +g(y)x+(y) = 0,根據(jù)方程的判別式g2(y) - 4f(y)(y)0求出y的取值范圍，從而得出原函數(shù)的值域。但要注意幾點(diǎn)：在0中，應(yīng)考慮“”能否成立；由于在變形過程中涉及到去分母，故應(yīng)考慮函數(shù)的定義域是否為R；f(y)0，應(yīng)驗(yàn)證f(y)0的情況。否則用“判別式法”求出的值域與最值是不可靠的。例3、求函數(shù) y = 的值域。解：視y為參數(shù)，解關(guān)于x的方程，得(y - 2)x2 + ( y +3) x + (y - 1) = 0 . () 原函數(shù)的定義域?yàn)镽當(dāng)y2時(shí)，方程（）有解的充要條件為( y + 3)2 - 4( y - 2)( y - 1)0

6、解此不等式，得.又當(dāng)y=2時(shí)，x= 函數(shù)的值域是換元法當(dāng)題目的條件與結(jié)論看不出直接的聯(lián)系（甚至相去甚遠(yuǎn)）時(shí)，為了溝通已知與未知的聯(lián)系，我們常常引進(jìn)一個(gè)（或幾個(gè)）新的量來代替原來的量，實(shí)行這種“變量代換”往往可以暴露已知與未知之間被表面形式掩蓋著的實(shí)質(zhì)，發(fā)現(xiàn)解題方向。換元法是一種重要的數(shù)學(xué)解題方法，掌握它的關(guān)鍵在于通過觀察、聯(lián)想，發(fā)現(xiàn)與構(gòu)造出變換式（或新元換舊式、或新式換舊元、或新式換舊式）。在中學(xué)數(shù)學(xué)問題中，常見的基本換元形式有式代換、三角代換、點(diǎn)代換、參數(shù)代換。例4、求函數(shù) y = 的最值。解:令 = t ( t0)，則x= t 2 - 2 ，從而y = 0當(dāng)t=0，即x= -2時(shí)，ymin

7、 = 0當(dāng)t0時(shí)，y =（當(dāng)且僅當(dāng)t =時(shí)，上式等號(hào)成立）于是當(dāng)x= ()2 - 2 = 時(shí)，ymax=這里用到了式代換及均值不等式的方法。例5、求函數(shù) y = x +的值域。分析：注意到sin2+cos2=1，故此可令x = sin.解： 1 - x20, |x|1, 設(shè)x = sin()，則y = sin+cos=sin(+) #這里用到了三角代換。單調(diào)性法利用所學(xué)基本初等函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)所給定義域來確定函數(shù)的值域與最值，在求函數(shù)的值域與最值中，是一種比較簡(jiǎn)捷、巧妙的方法。例6、求函數(shù)y =的值域。本題可用反函數(shù)法求解（見例2）。下面我們用單調(diào)性法來求解。解： (此方法也叫做分離系數(shù)法

8、）根據(jù)函數(shù)y = k/x的性質(zhì)，可知上式中y1/3函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ?/3)(1/3, +) 例7、求函數(shù)y = ( 1/3) - x+2x +3的值域。解：令u = - x2 +2x +3，則u( - , 4根據(jù)指數(shù)函數(shù)y = (1/3)u的單調(diào)性可知y (1/3)4, +)函數(shù)的值域?yàn)?4，）不等式法運(yùn)用均值不等式可解決：如果n個(gè)正數(shù)的積（或和）為常數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)這n個(gè)相等時(shí)，它們的和（或積）有最?。ɑ蜃畲螅┲?。在此，由于篇幅有限，不再舉例說明?？蓞⒖蠢?。數(shù)形結(jié)合法數(shù)形結(jié)合是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)是形的抽象概括，形是數(shù)的直觀表現(xiàn)。華羅庚先生指出：數(shù)缺形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入

9、微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。這種方法不僅僅體現(xiàn)在數(shù)學(xué)的其它領(lǐng)域中，在求函數(shù)的值域與最值時(shí)也有良好的反映。例8、已知x+y+1=0,則 ( x - 1)2 +( y - 1)2的最小值是。分析：可由x+y+1=0代入 ( x - 1)2 +( y - 1)2 消去變量x或y，從而減少變量，再運(yùn)用有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)必可求解。但是，想象得出，這種方法的計(jì)算量是不小的。我們注意到( x - 1)2 +( y - 1)2可以看作直線x+y+1=0上的點(diǎn)(x, y)與點(diǎn)（1，1）間的距離，從而可以簡(jiǎn)捷求解。如圖。min = =例9、若復(fù)數(shù)z滿足，則|z|max= ，|z|min= 。分析：本題如果用單純的代數(shù)方法求解，需設(shè)z = x + yi，代入條件，用定義求解，比較繁瑣，