人教版高中數(shù)學必修四知識點歸納總結(jié)

1、半圓所對的圓心角為整圓所對的圓心角為2江=2二.正角的弧度數(shù)是一個正數(shù).負角的弧度數(shù)是一個負數(shù).零角的弧度數(shù)是零.角a的弧度數(shù)的絕對值| a |=-.人教版高中數(shù)學必修四知識點歸納總結(jié)1.1 . 1任意角1 .角的有關概念：角的定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形.角的名稱：角的分類:正角：按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角 J零角：射線沒有任何旋轉(zhuǎn)形成的角 【負角：按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角在不引起混淆的情況下，“角a ”或“/ a ”可以簡化成“a "零角的終邊與始邊重合，如果a是零角a=0 ° ；無、'角的概念經(jīng)過推廣后，已包括正角

2、、負角和零角.2 .象限角的概念：定義：若將角頂點與原點重合，角的始邊與X軸的非負半軸重合，那么角的終邊（端點除外） 在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角.1.1.2弧度制（1.定義我們規(guī)定，長度等于半徑的弧所對的圓心角叫做 1弧度的角；用弧度來度量角的單位制叫 做弧度制.在弧度制下,1弧度記做1rad.在實際運算中，常常將rad單位省略.弧度制的性質(zhì)：4 .角度與弧度之間的轉(zhuǎn)換：將角度化為弧度：- 三、n 二.360嗔2冗；180© =兀；1。= 一 定0.01745rad ; n°=rad .180180將弧度化為角度：2n =360 °冗=180*; 1r

3、ad =(18°) ° 57.30 ° = 57 18*; n = ( 180n )° .5 .常規(guī)寫法：用弧度數(shù)表示角時，常常把弧度數(shù)寫成多少冗的形式，不必寫成小數(shù).弧度與角度不能混用.6 .特殊角的弧度角 | 0 | 30 | 45 | 60 | 90 | 120 | 135 | 150 180 270 360弧 度0冗6冗4冗33122n33n45n6冗3n T2n7.弧長公式« =一= l =r a. r弧長等于弧所對應的圓心角（的弧度數(shù)）的絕對值與半徑的積.4-1.2.1任意角的三角函數(shù)（三）1 .三角函數(shù)的定義2 .誘導公式sin（

4、2k= + ”工）=sin 二（k Z）cos（2kw +q三）=cos 二（k Z）tan（2k ； n） = tan ： （k Z）當角的終邊上一點P（X，y）的坐標滿足J/、3 =1時,有三角函數(shù)正弦、余弦、正切值的幾何 表示一一三角函數(shù)線。1 .有向線段：坐標軸是規(guī)定了方向的直線，那么與之平行的線段亦可規(guī)定方向。規(guī)定：與坐標軸方向一致時為正，與坐標方向相反時為負。有向線段：帶有方向的線段。2 .三角函數(shù)線的定義：設任意角«的頂點在原點O ,始邊與x軸非負半軸重合，終邊與單位圓相交與點P （x,y）,當角口的終邊不在坐標軸上時，有向線段 OM =x,MP = y ,于是有sin

5、 a = Y= Y = y = MPcos" = x = = x = OM , tana = = = = ATr 1r 1x OM OA我們就分別稱有向線段MP,OM ,AT為正弦線、余弦線、正切線。說明：（1）三條有向線段的位置：正弦線為口的終邊與單位圓的交點到x軸的垂直線段；余弦線在 x軸上；正切線在過單位圓與x軸正方向的交點的切線上，三條有向線段中兩條在單位圓內(nèi)，一條在單位圓外。(2)三條有向線段的方向：正弦線由垂足指向 久的終邊與單位圓的交點；余弦線由原點指向 垂足；正切線由切點指向與u的終邊的交點。(3)三條有向線段的正負：三條有向線段凡與 x軸或y軸同向的為正值，與x軸或

6、y軸反向 的為負值。(4)三條有向線段的書寫：有向線段的起點字母在前，終點字母在后面。4-1.2.1任意角的三角函數(shù)(1)1.三角函數(shù)定義在直角坐標系中，設a是一個任意角，a終邊上任意一點P (除了原點)的坐標為(x, y),它與原點的距離為r(r = J| x|2 + | y|2 = Jx2 +y2 >0),那么(1)比值丫叫做a的正弦，記作since,即sina =2；(2)比值-叫做a的余弦，記作cosot ,即cosa =-； rr(3)比值叫做a的正切，記作tana ,即tana =-；(4)比值叫做a的余切，記作cot a ,即cot a =-；說明：a的始邊與x軸的非負半軸

7、重合，a的終邊沒有表明a 一定是正角或負角，以及a 的大小，只表明與a的終邊相同的角所在的位置；根據(jù)相似三角形的知識，對于確定的角a ,四個比值不以點 P(x, y)在a的終邊上的位置的改變而改變大小;當a=；+k；i(kWZ)時，a的終邊在y軸上，終邊上任意一點的橫坐標 x都等于0,所以tana =丫無意義；同理當c(=kn(kWZ)時，cota="x無意義;xy除以上兩種情況外，對于確定的值a,比值、x、工、E分別是一個確定的實數(shù), r r x y正弦、余弦、正切、余切是以角為自變量，比值為函數(shù)值的函數(shù)，以上四種函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)。2.三角函數(shù)的定義域、值域注意:函 數(shù)定 義域值

8、域y =sin aR-1,1y = 8的R-1,1y =tanajia |a #-+k%kW Z 2R(1)在平面直角坐標系內(nèi)研究角的問題，其頂點都在原點，始邊都與x軸的非負半軸重合.(2) a是任意角，射線OP是角a的終邊，a的各三角函數(shù)值(或是否有意義)與 ox轉(zhuǎn)了幾 圈，按什么方向旋轉(zhuǎn)到OP的位置無關.(3)sin u是個整體符號，不能認為是“ sin”與“ a ”的積.其余五個符號也是這樣.任意角的三角函數(shù)的定義與銳角三角函數(shù)的定義的聯(lián)系與區(qū)別：銳角三角函數(shù)是任意角三角函數(shù)的一種特例，它們的基礎共建立于相似(直角)三角形的性質(zhì)，“r”同為正值.所不同的是，銳角三角函數(shù)是以邊的比來定義的

9、，任意角的三角函數(shù)是以坐標與距離、坐標與坐標、距離與坐標的比來定義的，它也適合銳角三角函數(shù)的定義.實質(zhì)上，由銳角三角函數(shù)的定義到任意角的三角函數(shù)的定義是由特殊到一般的認識和研究過 程.（5）為了便于記憶，我們可以利用兩種三角函數(shù)定義的一致性， 將直角三角形置于平面直角坐 標系的第一象限，使一銳角頂點與原點重合，一直角邊與 x軸的非負半軸重合，利用我們熟悉的銳角三角函數(shù)類比記憶.3.例題分析例1.求下列各角的四個三角函數(shù)值:(1) 0;(2) TL ；(3)（通過本例總結(jié)特殊角的三角函數(shù)值）3 二解：(1)因為當a=0時，x = r, sin0 =0 ,cos0 =1,(2)因為當 sinn =

10、0 , (3)因為當=幾時，x = r ,Ctcos 二3二 g=時，2=1,2y = 0,所以tan0 = 0, y=0,所以tann = 0 ,y =r ,所以cot 0不存在。COtn不存在,3 二 sin=-1 ,2cos包=0,2一 3 二tan一不存在, 2,3二八cot=0 ,2例2.已知角a的終邊經(jīng)過點P（2, -3）,求a的四個函數(shù)值。解：因為x=2,y = 4,所以r =j22+（_3）2 =而,于是y-33 13since = = = ;r .1313y3tana = = x2x 22,13cost = =;r .1313 x 2cot£ = 一一.y 3例3.

11、已知角a的終邊過點（a,2a）（a*0）,求a的四個三角函數(shù)值。解：因為過點（a,2a）（a=0）,所以 r=/5|a|,當 a . 0時,sin 一2a 2,5當 a ：二0時,sinr 、.5|a|, 5a_ y _ _2a_ _ _2a_一 cos-：52.5x = a, y = 2ax a 5a17 = T5a =5 ' tana = 2;cotu = 3 8eca5;csc ;x cos 二二一r4 .三角函數(shù)的符_ a-一 5aQ節(jié)5 |a | 5a、5a二一丁；5c15tan - =2;cot： = ；sec 二二一 5;csc '=一 22由三角函數(shù)的定義，以及

12、各象限內(nèi)點的坐標的符號，我們可以得知：正弦值、對于第一、二象限為正（y>0,r >0）,對于第三、四象限為負（y <0,r>0）; r余弦值冬對于第一、四象限為正（x>0,r >0）,對于第二、三象限為負（x<0,r >0）； r正切值）對于第一、三象限為正（x,y同號）,對于第二、四象限為負（x,y異號）.x說明：若終邊落在軸線上，則可用定義求出三角函數(shù)值。5.誘導公式由三角函數(shù)的定義，就可知道：終邊相同的角三角函數(shù)值相同。即有：sin（二 十2k71） =sin a ,cos(a +2kn) =cosa ,其中 kw Z .tan(a +2k

13、n) = tana ,這組公式的作用是可把任意角的三角函數(shù)值問題轉(zhuǎn)化為02冗間角的三角函數(shù)值問題.4-1.2.2同角三角函數(shù)的基本關系(一)同角三角函數(shù)的基本關系式：1.由三角函數(shù)的定義，我們可以得到以下關系：(1)商數(shù)關系：tan a = sin a(2)平方關系：sin2 ot +con2a = 1con工說明：注意“同角”，至于角的形式無關重要，如sin2 4t+cos2 4a =1等；注意這些關系式都是對于使它們有意義的角而言的，如k 二tan a cot ot=1(ot= ，k=Z);2對這些關系式不僅要牢固掌握，還要能靈活運用(正用、反用、變形用) ，如： . 2.2sin - A

14、A-cosa=±5sin 口， sin u=1cosa , cosa =等。tan :總結(jié)：1 .已知一個角的某一個三角函數(shù)值，便可運用基本關系式求出其它三角函數(shù)值。 在求值中， 確定角的終邊位置是關鍵和必要的。有時，由于角的終邊位置的不確定，因此解的情況 不止一種。2 .解題時產(chǎn)生遺漏的主要原因是：沒有確定好或不去確定角的終邊位置；利用平方關 系開平方時，漏掉了負的平方根。小結(jié)：化簡三角函數(shù)式，化簡的一般要求是：(1)盡量使函數(shù)種類最少，項數(shù)最少，次數(shù)最低；(2)盡量使分母不含三角函數(shù)式；(3)根式內(nèi)的三角函數(shù)式盡量開出來；(4)能求得數(shù)值的應計算出來，其次要注意在三角函數(shù)式變形時

15、，常將式子中的“1”作巧妙的變形，1、誘導公式(五)jisin（二）=cos -2cos（二）=sin 二22、誘導公式(六)sin(一 ： ) =cos.icos(一 二)=-sin :22總結(jié)為一句話：函數(shù)正變余，符號看象限小結(jié)：三角函數(shù)的簡化過程圖：三角函數(shù)的簡化過程口訣：負化正，正化小，化到銳角就行了1.4.1正弦、余弦函數(shù)的圖象1、用單位圓中的正弦線、余弦線作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象（幾何法） ：為了作三角函數(shù) 的圖象，三角函數(shù)的自變量要用弧度制來度量，使自變量與函數(shù)值都為實數(shù)（1）函數(shù)y=sinx的圖象第一步：在直角坐標系的x軸上任取一點Oi,以O1為圓心作單位圓，從這個圓與x軸的

16、 交點A起把圓分成n（這里n=12）等份.把x軸上從0到2九這一段分成n（這里n=12）等份.（預 備：取自變量x值一弧度制下角與實數(shù)的對應）.第二步：在單位圓中畫出對應于角0,-,工，2冗的正弦線正弦線（等價于“列632表”）.把角x的正弦線向右平行移動，使得正弦線的起點與 x軸上相應的點x重合，則正 弦線的終點就是正弦函數(shù)圖象上的點（等價于“描點”）.第三步：連線.用光滑曲線把這些正弦線的終點連結(jié)起來，就得到正弦函數(shù)y=sinx , x0 , 2兀的圖象.根據(jù)終邊相同的同名三角函數(shù)值相等，把上述圖象沿著x軸向右和向左連續(xù)地平行移動， 每次移動的距離為2冗，就得到y(tǒng)=sinx , xCR的圖

17、象.把角x（xwR）的正弦線平行移動，使得正弦線的起點與x軸上相應的點x重合，則正弦 線的終點的軌跡就是正弦函數(shù) y=sinx的圖象.（2）余弦函數(shù)y=cosx的圖象JTJT根據(jù)誘導公式cosx=sin（x+），可以把正弦函數(shù)y=sinx的圖象向左平移 單位即得余弦 22y y=sinx1函數(shù)y=cosx的圖象.-6 二-5 二 -4 二 -3/2 二乙o 二 2 二 3 二 4 二 5 二 6 二 xy=cosx-6 二-5 二 -4 二 -3 二-2 二-二-1二 2 二 3 二 4 二 5 二 6二 x正弦函數(shù)y=sinx的圖象和余弦函數(shù)y=cosx的圖象分別叫做正弦曲線和余弦曲線.2.

18、用五點法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖（描點法）：正弦函數(shù)y=sinx ,xC 0,2冗的圖象中，五個關鍵點是：（0,0） （1 ,1）（鞏0） （ £ ,-1） （2兀,0）余弦函數(shù)y=cosx x0,2司的五個點關鍵是哪幾個？（0,1） （1,0）（巴-1）（蓑,0） （2n,1）1.4.2正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)(一)1.周期函數(shù)定義：對于函數(shù)f (x),如果存在一個非零常數(shù)T,使彳馬當x取定義域內(nèi)的每一 個值時，都有：f (x+T)=f (x) 那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù) T叫做這個函數(shù) 的周期。問題：(1)對于函數(shù)y=sinx, x w R有sin(三+至)=sin

19、三，能否說空是它的周期？6363(2)正弦函數(shù)丫=$*, xwR是不是周期函數(shù)，如果是，周期是多少？ (2kn , kwZ且k#0)(3)若函數(shù)f(x)的周期為T,則kT, kwZ*也是f(x)的周期嗎？為什么？(是，其原因為：f(x)= f(x+T)= f(x+2T)=|= f(x+kT)2、說明：1 口周期函數(shù)xw定義域M則必有x+TM,且若T>0則定義域無上界；T<0則定義域無下界；2° ”每一個值”只要有一個反例，則f (x)就不為周期函數(shù)(如f (x 0+t)#f(x 0)3葉往往是多值的(如y=sinx 2五,4匹,-2匹-4班都是周期)周期T中最小的正數(shù)叫做

20、f (x)的最小正周期(有些周期函數(shù)沒有最小正周期)y=sinx, y=cosx的最小正周期為2n ( 一 股稱為周期) 從圖象上可以看出y=sinx, xR; y = cosx, xw R的最小正周期為2n ;判斷：是不是所有的周期函數(shù)都有最小正周期？( f(x)=c沒有最小正周期)說明：(1) 一般結(jié)論：函數(shù)y = Asin(« x +9)及函數(shù)y = Acos(w x +中)，xR (其中A,0,中 為常數(shù)，且A*0, o >0)的周期t=空；1 二(2)右缶 <0,如： y =3cos( x)； y =sin( 2x)； y = 2sin(- x-) , x= R

21、 .則這三個函數(shù)的周期又是什么？般結(jié)論：函數(shù)y =Asinx+中)及函數(shù)y = Acos(ox+中)，xR的周期T=2I' I1.4.2(2)正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)(二)1 .奇偶性(1)余弦函數(shù)的圖形當自變量取一對相反數(shù)時，函數(shù) y取同一值。(2)正弦函數(shù)的圖形2 .單調(diào)性A y = sinx , x ,的圖象上可看出： 2 23 x 時，曲線逐漸上升，sinx的值由一1增大到1.二3 二當xC 3時，曲線逐漸下降，sinx的值由1減小到一1.結(jié)合上述周期性可知：正弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間 1+2kTt , 1+2kTt (kCZ)上都是增函數(shù)，其值從一1增大 到1;在每一個閉區(qū)間1+2k

22、Tt , 3+2k" (k CZ)上都是減函數(shù)，其值從1減小到一1. 余弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間(2k 1)冗，2k冗(kCZ)上都是增函數(shù)，其值從一1增力口至I 1;在每一個閉區(qū)間2k：t , (2k+1)冗(k CZ)上都是減函數(shù)，其值從1減小到一1.3.有關對稱軸觀察正、余弦函數(shù)的圖形，可知y=sinx的對稱軸為x=kn + k Z y=cosx的對稱軸為x=kn k Z21.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象1.正切函數(shù)y = tanx的定義域x| x# 一 十 kn,kw z 22.正切函數(shù)是周期函數(shù):tan(x+n ) = tanx，xw R,且是 y = tanx 1 x = R,

23、且x#kn + ,k = z I的一個周期。2兀是不是正切函數(shù)的最小正周期？下面作出正切函數(shù)圖象來判斷。3.作 y = tanx , xwji-的圖說明：(1)正切函數(shù)的最小正周期 能比n小，正切函數(shù)的最小正周期 幾；(2)根據(jù)正切函數(shù)的周期把上述圖象向左、右擴展，得到正切函數(shù)ny=tanx xeR, Hx+k(ke象不 是z)的圖象，稱“正切曲線”。性,4.正切函數(shù)的性質(zhì)(1)定義域:x | x二一k二，k z2(2)值域：R觀察：當x從小于kn+5(kwz),xk kn+ 時，tan x2當 x從大于 1.+kn(k w z ), xs + kn 時，tan xs(3)周期性：T =冗；(

24、4)奇偶性：由tan( x )= tanx知，正切函數(shù)是奇函數(shù)；(5)單調(diào)性：在開區(qū)間 匚工+kn3+E工wz內(nèi)，函數(shù)單調(diào)遞增。,2 21.5 函數(shù) y=Asin( ax+j)的圖象(二)二、函數(shù)y = A sin(切x +中)，x w 0,f)(其中A > 0盤a 0)的物理意義： 函數(shù)表示一個振動量時：A:這個量振動時離開平衡位置的最大距離，稱為“振幅”2T： t =二往復振動一次所需的時 間，稱為“周期”.a J B(終點)co1f : f ='=£-單位時間內(nèi)往返振動的 次數(shù)，稱為“頻率” T 2 二切x+甲：稱為“相位”.中：x=0時的相位，稱為“初相”.2.

25、1.1向量的物理背景與概念及向量的幾何(一)向量的概念：我們把既有大小又有方向的量叫向量。一1、數(shù)量與向量的區(qū)別：A(起點)數(shù)量只有大小，是一個代數(shù)量，可以進行代數(shù)運算、比較大?。?向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小.2 .向量的表示方法：用有向線段表示；用字母a、b (黑體，印刷用)等表示；用有向線段的起點與終點字母： AB ；向量AB的大小一長度稱為向量的模，記作| AB |.3 .有向線段：具有方向的線段就叫做有向線段，三個要素：起點、方向、長度 .向量與有向線段的區(qū)別：(1)向量只有大小和方向兩個要素，與起點無關，只要大小和方向相同，這兩個向量就 是相同的向量；(2)有向線段有起點

26、、大小和方向三個要素，起點不同，盡管大小和方向相同，也是不 同的有向線段.4、零向量、單位向量概念：長度為0的向量叫零向量，記作0. 0的方向是任意的.注意0與0的含義與書寫區(qū)別長度為1個單位長度的向量，叫單位向量./說明：零向量、單位向量的定義都只是限制了大小 .匕二5、平行向量定義：，'二方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我們規(guī)定0與任一向量平行.說明：（1）綜合、才是平行向量的完整定義（2）向量a、b、c平行，記作a / b / c2.1.2相等向量與共線向量1、相等向量定義：長度相等且方向相同的向量叫相等向量.說明：（1）向量a與b相等，記作a = b; （2）零向量與零向量

27、相等；（3）任意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段表示，并且與有向線段的起點無關. 2、共線向量與平行向量關系：平行向量就是共線向量，因為任一組平行向量都可移到同一直線上（與有向線段的起點無關）.說明：（1）平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關系；（2）共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關系2.2.1向量的加法運算及其幾何意義1、向量的加法：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法.2、三角形法則（“首尾相接，首尾連”）如圖，已知向量 a、b.在平面內(nèi)任取一點A,作AB=a, BC = b ,則向量AC叫做a規(guī)定： a + 0-= 0 + a與 b 的和，記作

28、 a+ b ,即 a + b = AB + BC = AC ,（1）兩向量ba +b ,的和仍是一個向量;（2）當向量a與b不共線時: 當向量a與b不共線時，a+b的方向不同向，且| a+b|<| a|+| b| ;當a與b同向時，貝Ua+b、a、b同向，且|a + b|=| a |+| b | ,當a與b反向時，若| a |>| b | ,則a + b的方向與a相同，且| a+b |=| a |-| b | ； 若| a |<| b | ,貝U a +b 的方向與 b相同，且 | a +b|=| b |-| a|.（3） “向量平移”（自由向量）：使前一個向量的終點為后一個

29、向量的起點，可以推廣到n個向量連加3.加法的交換律和平行四邊形法則1)向量加法的平行四邊形法則(對于兩個向量共線不適應)2)向量加法的交換律：a + b=b + a六、備用習題思考：你能用向量加法證明：兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形嗎？2.2.2向量的減法運算及其幾何意義1 .用“相反向量”定義向量的減法(1)“相反向量”的定義：與a長度相同、方向相反的向量.記作-a(2)規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a) = a.任一向量與它的相反向量的和是零向量.a + ( -a) = 0如果a、b互為相反向量，貝 a = -b, b = -a, a + b = 0(3)向量減法的定義：

30、向量a加上的b相反向量，叫做a與b的差.即：a - b = a + (-b) 求兩個向量差的運算叫做向量的減法.2 .用加法的逆運算定義向量的減法：向量的減法是向量加法的逆運算：若b + x = a ，則x叫做a與b的差，記作a - b3 .求作差向量：已知向量 a、b,求作向量a - b(a -b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = aaO _a=作法：在平面內(nèi)取一點o,b作 OA = a ,AB = b 則 bA = a - byabab即a - b可以表示為從向量b的終點揚血量b a的終點的向量.注意：1*而表示2-卜 強調(diào)：差向量“箭頭”指向被減數(shù)2 口用“相反

31、向量”定義法作差向量，a - b = a + ( -b)平面向量基本定理、平面向量的正交分解和坐標表示及運算1 .(1)我們把不共線向量6 1、6 2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；(2)基底不惟一，關鍵是不共線；(3)由定理可將任一向量a在給出基底e 1、e 2的條件下進行分解；(4)基底給定時，分解形式惟一.入1,入2是被a, ei, e2唯一確定的數(shù)量2 .向量的夾角：已知兩個白零向量a、b,作oA=_a, oB = b,則/AO由q,叫向量a、b 型夾角，當日二。° , a、b同向，當日=18。° , a、b反向，當日=90° , a與b垂直，記作a

32、，b。3.平面向量的坐標表小(1)正交分解：把向量分解為兩個互相垂直的向量。如圖，在直角坐標系內(nèi)，我們分別取與 x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底. 任作一個向量a,由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù) x、y ,使得a = xi + yj我們把(x, y)叫做向量a的(直角)坐標，記作a=(x, y)其中x叫做a在x軸上的坐標，y叫做a在y軸上的坐標，式叫做向量的坐標表示.與a機 等的向量的坐標也為(x,y).特別地，i=(1,0), j = (0,1), 0 = (0,0).如圖，在直角坐標平面內(nèi)，以原點 。為起點作OA = a,則點A的位置由a唯一確定.設OA = xi +

33、yj ,則向量OA的坐標(x, y)就是點A的坐標；反過來，點 A的坐標(x, y)也就是 向量OA的坐標.因此，在平面直角坐標系內(nèi)，每一個平面向量都是可以用一對實數(shù)唯一表示.2. 3. 3平面向量的坐標運算1 .平面向量的坐標運算(1) 若 ajxiyj, b =(x2, y2),則 a+b =(x+x2,y1 +y?) , a b = (x1一x?, y 一 y?) 兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差.(2)若a = (x,y)和實數(shù)九，則啟=(Kx,Ky).實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標.設基底為i、j ,則九a =九(xi + yj)=%xi

34、 +九yj ,即九a =(九x,九y)實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標。(3) 若 A( %, y1)，B( x2, y2),則 AB =3x1，y2 y1)AB =OB OA=( x 2, y2) (x i, yi)= (x 2 x 1, y 2 y i)一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去始點的坐標2.4.1平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義1 .平面向量數(shù)量積(內(nèi)積)的定義：已知兩個非零向量a與b,它們的夾角是8, 則數(shù)量|a|b|cos日叫a與b的數(shù)量積，記作 a b,即有ab = |a|b|cos 日，(0080九) 并規(guī)定0向量與任何向量的數(shù)量

35、積為 0.(1)兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，符號由cose的符號所決定.(2)兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成 ab;今后要學到兩個向量的外積 axb,而ab是兩 個向量的數(shù)量的積，書寫時要嚴格區(qū)分.符號耍”在向量運算中不是乘號，既不能省略， 也不能用“x”代替.(3)在實數(shù)中，若a,0,且a b=0,則b=0;但是在數(shù)量積中，若 a,0,且ab=0,不能推出 b=0.因為其中cos 1有可能為0.(4)已知實數(shù) a、b、c(b=0), ab=bc = a=c.但是 ab = b c=V> a = c如右圖：a b = |a|b|cos P = |b|OA| , b c = |b

36、|c|cos a = |b|OA|=a b = b c 但 a * c.(5)在實數(shù)中，有(a b)c = a(b c),但是(a b)c 手 a(b c)3顯然，這是因為左端是與c共線的向量，而右端是與a共線的向量，而一般a與c不共 線.2 .“投影”的概念：作圖定義：|b|cose叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一個數(shù)量，不是向量；當6為銳角時投影為正值；當6為鈍角時投影為負值；當e為直角時投影為0;當日=0廿J投影為|b| ; 當日=180。時投影為-|b|.3,向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cos日的乘積.兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設 a、b

37、為兩個非零向量，1、a-b :二 a b = 02、當a與b同向時，a b = |a|b|； 當a與b反向時，a b = -|a|b|.特別的 a a = |a| 2或 | a |= "a a |a b| < |a|b| cos 日=a b|a l|b|平面向量數(shù)量積的運算律：1 .交換律：a - b = b - a 證：設 a, b 夾角為日，則 a , b = |a|b|cos 日，b , a = |b|a|cos 82 .數(shù)乘結(jié)合律：(, a) b = ' (a b) = a ( b)證：若九0 ,(九a) b = x|a|b|cos e,九(a b) = z|a

38、|b|cos 仇 a (九b) = i|a|b|cos 日， 若九 < 0 ,(九 a) b =| K a|b|cos(n-6)二一九 |a|b|( -cose)=九 |a|b|cos 0 ,九(a b)二 K|a|b|cos日，a(九b) =|a| 九b|cos( n-9)= 一九|a|b|(-cose)=九|a|b|cos 3 .分配律：(a + b) c = a c + b c,- a + b (即OB )在c方向上的投1 = |a| cos 口 + |b| cos t日2,c (a + b) = c a + c b 即:在平面內(nèi)取一點O,作OA = a , AB = b, OC

39、= c , 影等于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cos . | c | |a + b| cos =|c| |a| cos 小 + |c| |b| cos(a + b) c = a c + b c說明：(1) 一般地，(a b(2) a c = b c ,(3)有如下常用性質(zhì)：(a + b ) ( c + d )cWa (b , c)c 半 0¥ a =a - c + a d + b B+ b dC2.4.2平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角1、平面兩向量數(shù)量積的坐標表示兩個向量的數(shù)量積等于它們對應坐標的乘積的和 .即a 'b = x1x2 + y1y2 2.平面內(nèi)兩點間的距離公式(1)設 a=(x,y),則 | a |2 =x2 + y2 或 | a |= q'x2 + y2 .(2)如果表示向量a的有向線段的起點和終點的坐標分別為(%，1)、(x2,y2),那么| a |= Y(x1 -x2)2 +(y1 - y2)2 (平面內(nèi)兩點間的距離公式3 .向量垂直的判定設 a = (x1, y1)4 .兩向量夾角的余弦(cos 二=X1 x 2 y1 y2| a | |b |； x 12 - y12X22y22)， b=(x2,yz), 則0 <e <n )xi Xi X22.5.1平面幾何中的向量方法運用向