全等三角形.第2講.全等三角形與中點問題.教師版

1、全等三角形與 h h RTS 1 4. i h h h第二講中1點問題板塊考試要求A級要求B級要求C級要求全等三角形 的性質(zhì)及判 定會識別全等三角形掌握全等三角形的概念、判定和性質(zhì)， 會用全等三角形的性質(zhì)和判定解決簡 單問題會運用全等三角形的性 質(zhì)和判定解決后關(guān)問題三角形中線的定義： 三角形頂點和對邊中點的連線三角形中線的相關(guān)定理：直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半等腰三角形底邊的中線三線合一 （底邊的中線、頂角的角平分線、底邊的高重合）三角形中位線定義： 連結(jié)三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊并且等于它的一半.中位線判定定理： 經(jīng)過三角形一邊

2、中點且平行于另一邊的直線必平分第三邊.中線中位線相關(guān)問題（涉及中點的問題）（以后還要學(xué)習(xí)中線長公式），尤其是見到中線（中點），我們可以聯(lián)想的內(nèi)容無非是倍長中線以及中位線定理 在涉及線段的等量關(guān)系時，倍長中線的應(yīng)用更是較為常見.重、難點j重點：主要掌握中線的處理方法，遇見中線考慮中線倍長法版塊一倍長中線【例1】(2002年通化市中考題)在 ABC中，AB 5, AC 9,則BC邊上的中線 AD的長的取值范圍是 什么？【解析】中線倍長，2 AD 7【點評】此題很好的運用中線倍長的方法，若運用其他的方法將會更加麻煩1【補充】已知：ABC中，AM是中線.求證： AM -(AB AC).2【解析】如圖所

3、示，延長 AM到D ,使DM AM ,連結(jié)BD ,利用 SAS證彳導(dǎo) ACM 3 DBM ,，BD ACABD 中，AD AB BD , z. 2AM AB AC1 AM - (AB AC)【例2】(2008年巴中市高中階段教育學(xué)校招生考試)已知：如圖，梯形 ABCD中，AD II BC ,點E是CD的中點，BE的延長線與 AD的延長線相交于點 F .求證： BCE© FDE .【解析】二點E是DC中點 DE CE又 AD II BC , F在AD延長線上DFE CBE, FDE BCE在BCE與 FDE中EBC EFDECB EDFBCE FDE (AAS)CE DE【例3】【解析

4、】例4 【解析】例5 （浙江省2008年初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試 （湖州市）數(shù)學(xué)t卷）如圖，在 ABC中，D是BC邊的中點，F(xiàn), E分別是AD及其延長線上的點，CF II BE.求證： BDE© CDF .CF II BE, EBD FCD . 又 BDE CDF , BD CD , BDE© CDF .如圖， ABC中，AB<AC , AD是中線.求證：DAC< DAB .延長AD至1 E ,使AD DE ,連結(jié)BE .在ADC和EDB中AD EDADC EDB ADC© EDBDC DB【解析】AC EB, CAD BEA在 ABE 中， AB<A

5、C, AB EBAEB< EAB , DAC< DAB .（如果取AB中點用中位線也可證，目前還不能）AD是BC邊上的中線,E是AD上一點，延長 BE交AC于F , AF EF ,如圖，已知在 ABC中, 求證：AC BE.G延長AD至iJ G ,使DG. BD CD , BDGAD,連結(jié)BGCDA, AD GD ADC© GDBAC GB.GEAF又 AF EF,EAF AEF GBEDBE BG ,BE AC .【例6】 如圖所示，在 ABC和 ABC中，AD、AD分別是BC、BC上的中線，且AB AB , AC AD AD ,求證 ABC© ABC .因為

6、AC AC ,所以BE BE .在 ABE和 ABE 中，AB AB , 所以 ABE© ABE ,從而 EBAC B AC .在 ABC 和 ABC 中，AB AB ,E CADABC .【例7】如圖，在ABC中，AD交BC于點D ,點E是BC中點，EF / AD交CA的延長線于點 F,EFE'如圖所示，分別延長 八口、八口至£、£,使口£ AD, DE AD 連接 BE、 BE,貝 UAE 2AD , AE 2AD .因為AD AD ,所以AE AE .在 ADC 和 EDB 中，AD ED, ADC EDB , BD CD , 故 ADC

7、省 EDB，從而 AC EB , ECAD .同理， ADC ED'B ,則 AC EB, E CAD .BE BE , AE AE , E , BAE BAE ,故 CAD EBAC BAC, AC AC ,故 ABC©于點G ,若BG CF ,求證：AD為 ABC的角平分線.【解析】延長FE到點H ,使HE FE ,連結(jié)BH . 在CEF和BEH中CE BE CEF BEHFE HECEF 色BEHEFCEHB ,CF BHBGEHBBGE ,而 BGEAGFAFGAGF又 EF IIAD AFGCAD ,AGFBADCADBAD，AD為 ABC的角平分線.例8 已知AD

8、為 ABC的中線， ADB ,ADC的平分線分別交AB于E、交AC于F .求證:BE CF EF .【解析】延長FD到N ,使DN DF ,連結(jié)BN、EN .易證 BND CFD , BN CF ,又 ADB , ADC的平分線分別交 AB于E、交AC于F ,EDF EDN 900,利用 SAS證明 EDN 色 EDF , . EN EF , 在 EBN 中，BE BN EN , BE CF EF .例9 在Rt ABC中， A 90，點D為BC的中點，點E、F分別為AB、AC上的點，且ED FD .以 線段BE、EF、FC為邊能否構(gòu)成一個三角形？若能，該三角形是銳角三角形、直角三角形或鈍角

9、三角形？【解析】 延長FD到點G ,使FD GD ,連結(jié)EG、BG .在CDF和BDG中CD BDCDF BDGFD GDCDF 里 BDGBG CF, FCD GBD A 90 ABCACB 90ABCGBD 90在EDF和EDG中ED EDEDF EDG 90FD GD EDF 里 EDG EF EG故以線段BE、EF、FC為邊能構(gòu)成一個直角三角形.【例10 如圖所示，在212AD - AB4ABC中，D是BC的中點，DM垂直于DN ,如果BM 2 CN2 DM 2 DN 2,求證 AC2 .E【解析】 延長ND至E ,使DE DN ,連接EB、EM、MN .因為 DE DN , DB D

10、C, BDE CDN ,則 BDE © CDN .從而 BE CN , DBE C .而 DE DN ,MDN 90 ,故 ME MN ,因此 DM 2 DN2 MN 2 ME2 ,即 BM2 BE2 ME2,貝U MBE 90 ,即 MBD DBE 90 .因為 DBE C ,故 MBD C 90 ,則 BAC 90 .1AD為Rt ABC斜邊BC上的中線，故 AD - BC .2由此可得 AD2 -BC2 1 AB2 AC2 .44【例10】（2008年四川省初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽復(fù)賽初二組CA、CB 上，滿足 DFE 90 .若 AD）在Rt ABC中，F(xiàn)是斜邊 AB的中點，D、3, B

11、E 4,則線段DE的長度為E分別在邊【解析】如圖、延長DF至點G ,使得DF FG ,聯(lián)結(jié)GB、GE . 由AF FB,有ADF 省 BGF BG AD 3 ADF BGF AD II GB GBE ACB 180 GBE 90GE BEBT 5 .又 DF FG , EF DG DE GE 5 .【例11如圖所示， BAC DAE 90, M是BE的中點， AB AC, AD AE ,求證AM CD .【解析】 如圖所示，設(shè)AM交DC于H ,要證明AM CD ,實際上就是證明AHD 90 ,而條件BM ME不好運用，我們可以倍長中線AM到F ,連接BF交AD于點N ,交CD于點O .容易證明

12、 AME© FMB則 AE FB , EAF F ,從而 AE II FB , ANF 90而 CAD DAB 90 , DAB ABN 90 ,故 CAD ABN從而 CAD © ABF，故 D F而 D DON FOH F 90故 AHD 90 ,亦即 AM CD .版塊二、中位線的應(yīng)用【例12】AD是 ABC的中線，F(xiàn)是AD的中點，BF的延長線交AC于E .求證：AE - AC .3【解析】取EC的中點G ,連接DG易得DG II BE , 11F為AD的中點，所以 AE EG,從而可證得：AE -AC.3【例13 AB AC,延長AB至U D ,使BDAB, E為A

13、B的中點，連接CE、CD,ABDD如圖所示，延長CE 至U F，使 EF CE .如圖所示，在 ABC中, 求證CD 2EC .解法一： 容易證明 注意到CBF故CBFEBF © EAC，從而 BF AC ,而 AC CBD BAC ACB BAC ABC,ABC FBA ABC CAB, CBD,而 BC公用，故 CB* CBDABBD,故 BF BD.因此 CD CF 2CE .解法二：如圖所示，取 CD的中點G ,連接 因為G是CD的中點，B是AD的中點，故BG是 DAC的中位線，從而 BG由 BG/AC 可得 GBC ACB 從而 EC GC , CD 2CE .-AC 2A

14、BC-AB 2EBC ,BEBCE© BCG,【例14 F分另1J是 AD BC的中點，EF交AC于M EF交BD于N, AC已知：ABCDI凸四邊形，且 A«BD. E、和BD交于G點. 求證：/ GMNIZ GNM【解析】取AB中點H,連接EH FH.AE=ED AH=BH1. EH/ BD EH=-BD2GNMZ HEF. AH=BH BF=CF-1 -. FH/ AC FH=-AC2 ./ GMNZ HFE. AC<BDFH<EH / HER/ HFE Z GMNZ GNM【例15】在ABC中， ACB 90 , ACAE EB 且 AE BE .1一-

15、BC ,以BC為底作等腰直角 2BCD, E是CD的中點，求證:【解析】過E作EF / BC交BD于FACE ACB BCE 135 DFE DBC 45 EFB 13511又 EF II BC , EF -BC , AC BC 22EF AC , CE FB EFB© ACE CEA DBE又DBE DEB 90DEB CEA 90故 AEB 90AE EB且 AE BE .【例16如圖，在五邊形 ABCDE中，ABCAED 90 , BAC EAD , F 為 CD 的中點.求證：BF EF .【解析】取AC中點M , AD中點N .連結(jié)MF、NF、MB、NE ,則根據(jù)直角三角形

16、斜邊中線的性質(zhì)及中位線的性質(zhì)有MF1-AD 2NE , NF【例17】DNFBMCBACBMC 即 BMF (“祖沖之杯CAD MBA EAD , CMF ENF ,CMFCAB2 CAB.同理可證過P作PM【解析】【例18】MB , MFMBADNE/ AD , NF II AC ,BMC END FND DNE, MB NFE ， BF數(shù)學(xué)競賽試題，中國國家集訓(xùn)隊試題EF ）如圖所示，P是ABC內(nèi)的一點,AC于M, PL BC于L, D為AB的中點，求證FD、如圖所示，取AP、PB的中點E、F ,連接1則有 DE II BP且 DE -BP , DF II AP且2因為 AMP和皿 1故

17、ME -AP , 2又因為 MEDBLP都是直角三角形，1 LF -BP ,從而 ED FLMEP PED, DFL而 MEP 2 MAP 2 LBP PFL ,且 從而 MED© DFL ,故 DM DL .DFEM、ED、1-AP .2DFPPED（全國數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題）如圖所示，在 ABC中,使 DE DFN .求證：.過E、F分別作直線CA、CB的垂線,PACDMPFLDFP ,所以MEDD為AB的中點，分別延長CA、CB到點E、相交于點P ,設(shè)線段PA、PB的中點分別為(1)(2)DEM PAE【解析】 如圖所示，根據(jù)題意可知 DM II BN且DM = BN【例19】【解

18、析】【點評】【例20】DN II AM 且 DN = AM , 所以 AMD APB DNB.而M、N分別是直角三角形AEP、 BFP的斜邊的中點,所以 EM AM DN , FN BN DM ,又已知DE DF ,從而 DEM © FDN .(2)由(1)可知 EMD DNF ,則由 AMD DNB 可得 AME BNF .而 AME、 BNF均為等腰三角形，所以 PAE PBF .已知，如圖四邊形 ABCD中，AD BC , E、F分別是AB和CD的中點，AD、EF、BC的延長 線分別交于 M、N兩點. 求證： AME BNE .連接AC ,取AC中點H ,連接FH、EH .1

19、1 1_DFCF,AH CH , . FH / - AD ,FH一 AD ,同理，EH - BC , EH II BC2 22ADBC,EH FH,HFEHEFFH II AM , EH II BC AME HFE, HEF BNE,， AME BNE“題中有中點，莫忘中位線” .與此很相近的幾何思想是“題中有中線，莫忘加倍延”，這兩個是常用幾何思想，但注意倍長中線的主要目的是通過構(gòu)造三角形全等將分散的條件集中起來.平移也有類似功效.（2009年大興安嶺地區(qū)初中畢業(yè)學(xué)業(yè)考試）已知：在ABC中，BC AC ,動點D繞ABC的 頂點A逆時針旋轉(zhuǎn)，且AD BC ,連結(jié)DC .過AB、DC的中點E、F

20、作直線，直線EF與直線AD、 BC分別相交于點M、N .如圖1,當(dāng)點D旋轉(zhuǎn)到BC的延長線上時，點 N恰好與點F重合，取AC的中點H ,連結(jié)HE、 HF ,根據(jù)三角形中位線定理和平行線的性質(zhì)，可得結(jié)論AMFBNE（不需證明）. 當(dāng)點D旋轉(zhuǎn)到圖2或圖3中的位置時，AMF與 BNE有何數(shù)量關(guān)系？請分別寫出猜想，并任選一種情況證明.MA E B【解析】圖2： AMFENB圖 3: AMFENB 180證明：在圖2中，取AC的中點H ,連結(jié)HE、HFF是DC的中點，H是AC的中點1 . HF / AD , HF AD 2 AMF HFE 1 同理，HE II CB , HE -CB 2ENB HEF .

21、 AD BC HF HE , HEF HFE ENB AMF證明圖3的過程與證明圖2過程相似.,一一 1 一FMLAC 證明：FM=AC2【例21如圖，AE!AB BC1 CD且AE=AB BC=CD F為DE的中點,【解析】 過點E、D B分別作AC的垂線，垂足分別為 H K、N.由基本圖可知， AE由 BAfN BCIN CDIK 故 AH=BN=CK EHAN DK=CN又 EF=DF, FML AC EHL AC DKL AC 故 FM=- ( EHDK= - (AN+NC= - AC222【例22】（1991年泉州市初二數(shù)學(xué)雙基賽題）已知：在ABC4分別以AB AC為斜邊作等腰直角三角形ABIM和CAN P是邊BC的中點.求證： PM= PN【解析】證明：取AB中點Q AC中點R連結(jié) PQ PR MQ NR1PQ/ AC PQ= 1AC= NR 2PR AB, PR= MQ/ PQ附/ PRN的邊分別垂直）2 .PQIW ANRP PM= PNL冷家庭作業(yè)）AC, D是BC的中點，過A作AEDE , AF【習(xí)題1】如圖，在等月ABC中，AB 求證： EDB FDC .【解析】本題相對例題簡單一些.連結(jié)AD ,則AD BC . AE AF, AD AD , . Rt AEDRt AFD3 ADE ADF , EDB FD