初中二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與練習(xí)題

1、二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、二次函數(shù)概念：1 .二次函數(shù)的概念：一般地，形如y ax2 bx c （a,b,c是常數(shù)，a 0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù)a 0,而b, c可以為零.二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù).22 .二次函數(shù)y ax bx c的結(jié)構(gòu)特征： 等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x的二次式，x的最高次數(shù)是2.a,b,c是常數(shù)，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng).二、二次函數(shù)的基本形式1. 二次函數(shù)基本形式：y ax2的性質(zhì):a的絕對(duì)值越大，拋物線的開口越小。a的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)a 0向上0, 0y軸x 0時(shí)，y隨x的增大而增大；x

2、 0時(shí)，y隨 x的增大而減??；x 0時(shí)，y有最小值0.a 0問卜0, 0y軸x 0時(shí)，y隨x的增大而減??；x 0時(shí)，y隨 x的增大而增大；x 0時(shí)，y有最大值0.22. y ax c的性質(zhì):上加下減。a的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)a 0向上0, cy軸x 0時(shí)，y隨x的增大而增大；x 0時(shí)，y隨 x的增大而減??；x 0時(shí)，y有最小值c .a 0問卜0, cy軸x 0時(shí)，y隨x的增大而減??；x 0時(shí)，y隨 x的增大而增大；x 0時(shí)，y有最大值c.23. y a x h的性質(zhì):左加右減。a的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)a 0向上h, 0X=hx h時(shí)，y隨x的增大而增大；x h時(shí)，y隨 x的

3、增大而減小；x h時(shí)，y有最小值0.a 0問卜h, 0X=hx h時(shí)，y隨x的增大而減??；x h時(shí)，y隨 x的增大而增大；x h時(shí)，y有最大值0.2一4. y a x h k的性質(zhì):a的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)a 0向上h, kX=hx h時(shí)，y隨x的增大而增大；x h時(shí)，y隨 x的增大而減?。粁 h時(shí)，y有最小值k .a 0問卜h, kX=hx h時(shí)，y隨x的增大而減??；x h時(shí)，y隨 x的增大而增大；x h時(shí)，y有最大值k .三、二次函數(shù)圖象的平移1.平移步驟：2萬法一： 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式 y ax h k,確定其頂點(diǎn)坐標(biāo) h, k ；保持拋物線y ax2的形狀不變，將其頂

4、點(diǎn)平移到h, k處，具體平移方法如下:-2 y=ax2向右（h>0）或左（h<0）】平移|k|個(gè)單位，、2 y=a(x-h)向上(k>0)【或下（k<0）】平移|k|個(gè)單位向上（k>0）【或向下（k<0）】平移|k|個(gè)單位 * y=ax 2+k向右（h>0）【或左（h<0）】平移|k|個(gè)單位向上（k>0）【或下（k<0）平移|k|個(gè)單位向右（h>0）【或左（h<0）】平移|k|個(gè)單位A y=a(x-h)2+k2.平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上 h值正右移，負(fù)左移;概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”.方法二：k值正上移,負(fù)下移y

5、 ax2 bx c沿y軸平移：向上（下）平移m個(gè)單位,ax2bxc變成ax2 bx c m (或 y ax2 bx cm)y ax2 bx c沿x軸平移：向左（右）平移 m個(gè)單位,ax2bxc變成/、2a(x m) b(xm) c (或 y2a(x m) b(x m) c)四、二次函數(shù)y2 axbx c的比較從解析式上看,2 Uy2.ax bxc是兩種不同的表達(dá)形式,后者通過配方可以得到前者，即y a xb2a4ac4ab2b .一，k 2a4ac b24a五、二次函數(shù)y axbx c圖象的畫法五點(diǎn)繪圖法:利用配方法將二次函數(shù)y2ax bx c化為頂點(diǎn)式 y a(xh）2 k ,確定其開口方向

6、、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)， 然后在對(duì)稱軸兩側(cè),左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫圖.一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與y軸的交點(diǎn)0, c、以及0, c關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn) 2h, c、與x軸的交點(diǎn)xi, 0 , x2, 0 （若與x軸 沒有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)）x軸的交點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn).1 .當(dāng)a 0時(shí)，拋物線開口向上，對(duì)稱軸為x ,頂點(diǎn)坐標(biāo)為2a2b 4ac b2a ' 4a當(dāng)x 2時(shí)，y隨x的增大而減?。划?dāng)x2a值 4ac b2 .4a-b時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng) 2a2a時(shí)，y有最小2 .當(dāng)a 0時(shí)，拋物線開口向下， 對(duì)稱軸為x,頂點(diǎn)坐標(biāo)為 2ab 4ac b22a' 4a當(dāng)x 旦時(shí)，y

7、隨2a畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)，與 六、二次函數(shù)y ax2 bx c的性質(zhì) x的增大而增大；當(dāng)x 時(shí)，y隨x的增大而減?。划?dāng)x 2時(shí)，y有最大值4ac b .2a2a4a七、二次函數(shù)解析式的表示方法21 . 一般式：y ax bx c (a, b, c為常數(shù)，a 0)；2 .頂點(diǎn)式：y a(x h)2 k (a, h , k 為常數(shù)，a 0);3 .兩根式：y a(x x)(x x2)( a 0 , xi, x2是拋物線與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)).注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式，只 有拋物線與x軸有交點(diǎn)，即b2 4ac

8、。時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示.二次函數(shù)解析式 的這三種形式可以互化.八、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系1 .二次項(xiàng)系數(shù)a二次函數(shù)y ax2 bx c中，a作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然 a 0. 當(dāng)a 0時(shí)，拋物線開口向上，a的值越大，開口越小，反之 a的值越小，開口越大； 當(dāng)a 0時(shí)，拋物線開口向下，a的值越小，開口越小，反之 a的值越大，開口越大.總結(jié)起來，a決定了拋物線開口的大小和方向，a的正負(fù)決定開口方向，a的大小決定開口的大小.2 . 一次項(xiàng)系數(shù)b在二次項(xiàng)系數(shù)a確定的前提下，b決定了拋物線的對(duì)稱軸.在a 0的前提下，當(dāng)b0時(shí)，與0,即拋物線的對(duì)稱軸在 y軸左側(cè)；2a當(dāng)b0時(shí)，0,

9、即拋物線的對(duì)稱軸就是 y軸；2a當(dāng)b0時(shí)，0,即拋物線對(duì)稱軸在 y軸的右側(cè).2a 在a 0的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即當(dāng)b0時(shí)，0,即拋物線的對(duì)稱軸在 y軸右側(cè)；2a當(dāng)b0時(shí)，0,即拋物線的對(duì)稱軸就是 y軸；2a當(dāng)b0時(shí)，b-0,即拋物線對(duì)稱軸在 y軸的左側(cè).總結(jié)起來，在a確定的前提下，b決定了拋物線對(duì)稱軸的位置.bab的符號(hào)的判定：對(duì)稱軸 x 在y軸左邊則ab 0,在y軸的右側(cè)則ab 0 ,概括的說就是 2a“左同右異”總結(jié)：3 .常數(shù)項(xiàng)c 當(dāng)c 0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，即拋物線與 y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正； 當(dāng)c 0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

10、0; 當(dāng)c 0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，即拋物線與 y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù).總結(jié)起來，c決定了拋物線與y軸交點(diǎn)的位置.總之，只要a, b, c都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的.二次函數(shù)解析式的確定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问?，才能使解題簡(jiǎn)便.一般來說，有如下幾種情況：1 .已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；2 .已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大（小）值，一般選用頂點(diǎn)式；3 .已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；4 .已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式九、二次函數(shù)圖象的對(duì)

11、稱二次函數(shù)圖象的對(duì)稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá)1 .關(guān)于x軸對(duì)稱22.y ax bx c關(guān)于x軸對(duì)稱后，得到的解析式是y ax bx c ；2y a x h k；2y a x h k關(guān)于x軸對(duì)稱后，得到的解析式是2 .關(guān)于y軸對(duì)稱22_y ax bx c關(guān)于y軸對(duì)稱后，得到的解析式是y ax bx c ；2y a x h k關(guān)于y軸對(duì)稱后，得到的解析式是3 .關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱y ax2 bx c關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是y ax2 bx c；2y a x h k關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是4.關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱（即：拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。）2y ax bx c關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的

12、解析式是2 axbxb22a '2y a x h k關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是5 .關(guān)于點(diǎn)m, n對(duì)稱2a x h 2m 2n k2.一 一 .一y a x h k關(guān)于點(diǎn) m, n對(duì)稱后，得到白解析式是 y根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對(duì)稱變換，拋物線的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化，因此a永遠(yuǎn)不變.求拋物線的對(duì)稱拋物線的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達(dá)式已知的拋物線）的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，再確定其對(duì)稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向, 然后再寫出其對(duì)稱拋物線的表達(dá)式.十、二次函數(shù)與一元二次方程：1.二次函數(shù)與一元二次方程白關(guān)系（二次函數(shù)與x軸

13、交點(diǎn)情況）：一元二次方程ax2 bx c 0是二次函數(shù)y ax2 bx c當(dāng)函數(shù)值y 0時(shí)的特殊情況 圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：當(dāng) b2 4ac 0時(shí)，圖象與x軸交于兩點(diǎn) A xi , 0 , BK，0 （x x2）,其中的x1 , x2是一元二次方程ax2bx c 0 a 0的兩根.這兩點(diǎn)間的距離ABx2xi.b2 4aca當(dāng) 0時(shí)，圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng) 0時(shí)，圖象與x軸沒有交點(diǎn).1'當(dāng)a 0時(shí)，圖象落在x軸的上方，無論x為任何實(shí)數(shù)，都有 y 0；2'當(dāng)a 0時(shí)，圖象落在x軸的下方，無論x為任何實(shí)數(shù)，都有 y 0 .2.拋物線y ax2bxc的圖象與y軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為

14、（0, c）;3.二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)： 求二次函數(shù)的圖象與 x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程； 求二次函數(shù)的最大（小）值需要利用配方法將二次函數(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式； 根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù) y ax2 bx c中a, b, c的符號(hào)，或由二次函數(shù)中 a, b, c的符號(hào)判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合； 二次函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可利用這一性質(zhì)， 求和已知一點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)，或已知與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可由對(duì)稱性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo) 與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項(xiàng)式，二次三項(xiàng)式ax2 bx c（a 0）本身就是所含字母 x的二次函數(shù)；下面以a 0時(shí)為例，揭示二次函數(shù)、二次三項(xiàng)式和一元二

15、次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系：0拋物線與x軸有 兩個(gè)交點(diǎn)二次二項(xiàng)式的值可止、 可零、可負(fù)一兀二次方程有兩個(gè)/、相等實(shí)根0拋物線與x軸只 有一個(gè)交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值為非負(fù)一兀二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根0拋物線與x軸無 交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值恒為正一兀二次方程無實(shí)數(shù)根.圖像參考：y=3(x+4) 22函數(shù)的應(yīng)用剎車距離二次函數(shù)應(yīng)用何時(shí)獲得最大利潤(rùn) 最大面積是多少二次函數(shù)考查重點(diǎn)與常見題型1.考查二次函數(shù)的定義、性質(zhì)，有關(guān)試題常出現(xiàn)在選擇題中，如:已知以x為自變量的二次函數(shù) y (m 2)x2 m2 m 2的圖像經(jīng)過原點(diǎn)，則m的值是2.綜合考查正比例、 兩個(gè)函數(shù)的圖像,反比例、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像，習(xí)題的特點(diǎn)

16、是在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)考查 試題類型為選擇題，如：如圖，如果函數(shù)ykxb的圖像在第一、二、三象限內(nèi)，那么函數(shù)3 .考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，有關(guān)習(xí)題出現(xiàn)的頻率很高，習(xí)題類型有中檔解答題和選 拔性的綜合題，如：5已知一條拋物線經(jīng)過(0,3) , (4,6)兩點(diǎn)，對(duì)稱軸為x ,求這條拋物線的解析式。34 .考查用配方法求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸、二次函數(shù)的極值，有關(guān)試題為解答題，如:已知拋物線y ax2 bx c (aw 0)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是一1、3,與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是(1)確定拋物線的解析式；(2)用配方法確定拋物線的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)5 .考查代數(shù)與幾何的綜合能力，

17、常見的作為專項(xiàng)壓軸題?！纠}經(jīng)典】由拋物線的位置確定系數(shù)的符號(hào)2C例1 (1) 一次函數(shù)y ax2 bx c的圖像如圖1,則點(diǎn)M (b,)在()aA .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限(2)已知二次函數(shù) y=ax2+bx+c (aw0)的圖象如圖 2所示，？則下列結(jié)論：a、b同號(hào)；當(dāng)x=1和x=3時(shí)，函數(shù)值相等；4a+b=0;當(dāng)y=-2時(shí)，x的值只能取0.其中正確的個(gè)數(shù)是()A. 1個(gè) B .2個(gè) C .3個(gè) D .4個(gè)(1)(2)【點(diǎn)評(píng)】弄清拋物線的位置與系數(shù)a, b, c之間的關(guān)系，是解決問題的關(guān)鍵.例2.已知二次函數(shù) y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)(-2

18、, O)、(xi, 0),且1<xi<2,與y軸的正半軸的交點(diǎn)在點(diǎn)(O, 2)的下方.下列結(jié)論：a<b<0;2a+c>O4a+c<O2a-b+1>O,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為() A 1 個(gè)B. 2 個(gè)C. 3 個(gè)D.4個(gè)答案：D會(huì)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式例3.已知：關(guān)于x的一元二次方程 ax2+bx+c=3的一個(gè)根為x=-2 ,且二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸是直線x=2,則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ()A(2, -3) B.(2,1) C(2,3) D .(3,2)答案：C例4、(2006年煙臺(tái)市)如圖(單位：m),等腰三角形 ABC以2米/秒的速

19、度沿直線 L向正方形移動(dòng)，直到AB與CD重合.設(shè)x秒時(shí)，三角形與正方形重疊部分的面積為ym2.(1)寫出y與x的關(guān)系式；(2)當(dāng)x=2, 3.5時(shí)，y分別是多少？(3)當(dāng)重疊部分的面積是正方形面積的一半時(shí)， 三角形移動(dòng)了多長(zhǎng)時(shí)間？求拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)、 對(duì)稱軸.例5、已知拋物線y= x2+x- 5 . 22(1)用配方法求它的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸.(2)若該拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為 A、B,求線段AB的長(zhǎng).【點(diǎn)評(píng)】本題(1)是對(duì)二次函數(shù)的“基本方法”的考查，第(2)問主要考查二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系.例6.已知：二次函數(shù)y=ax2-(b+1)x-3a 的圖象經(jīng)過點(diǎn) P(4,10)，交x軸于A(x1

20、,0) , B(x2,0)兩點(diǎn)(x x2),交y軸負(fù)半軸于C點(diǎn)，且滿足3AO=OBM 使銳角/ MCO>A CO若存在，請(qǐng)你求出(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)在二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn) M點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)你說明理由.(1)解：如圖二拋物線交 x軸于點(diǎn)A(x1, 0), B(x2, O)貝U x1 - x2=3<0,又 < x1<x2,x2>O, x1<0, .30A=OBx2=-3x1. .x1 - x2=-3x 12=-3 .x12=1.x 1<0, 1. x1=-1 .x2=3.點(diǎn)A(-1 , O), P(4, 10)代入解析

21、式得解得 a=2 b=3.二次函數(shù)的解析式為 y-2x 2-4x-6 .(2)存在點(diǎn)M使/ MC0空ACO(2)解：點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A' (1 , O),直線A, C解析式為y=6x-6直線A'C與拋物線交點(diǎn)為(0 , ，符合題意的x的范圍為-1<x<0或O<x<5.當(dāng)點(diǎn) M的橫坐標(biāo)滿足-1<x<O或O<x<5時(shí)，/ MCO> ACO1 2 ,一一八,一、一例7、已知函數(shù) y -x bx c的圖象經(jīng)過點(diǎn) A (c, 2), I I2求證：這個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是x=3?！鳖}目中的矩形框部分是一段被墨水污染了無法辨認(rèn)的文

22、字。(1)根據(jù)已知和結(jié)論中現(xiàn)有的信息，你能否求出題中的二次函數(shù)解析式？若能，請(qǐng)寫出求解過程，并畫出二次函數(shù)圖象；若不能，請(qǐng)說明理由。(2)請(qǐng)你根據(jù)已有的信息，在原題中的矩形框中，填加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，把原題補(bǔ)充完整。點(diǎn)評(píng)：對(duì)于第(1)小題，要根據(jù)已知和結(jié)論中現(xiàn)有信息求出題中的二次函數(shù)解析式，就要把原來的結(jié)論“函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是 x=3”當(dāng)作已知來用，再結(jié)合條件“圖象經(jīng)過點(diǎn) A (c, 2)”，就可以列出兩個(gè)方程了，而解析式中只有兩個(gè)未知數(shù)，所以能夠求出題中的二次函數(shù)解析式。對(duì)于第(2)小題，只要給出的條件能夠使求出的二次函數(shù)解析式是第(1)小題中的解析式就可以了。而從不同的角度考慮可以添加出不同

23、的條件，可以考慮再給圖象上的一個(gè)任意點(diǎn)的坐標(biāo)，可以給出頂點(diǎn)的坐標(biāo)或與坐標(biāo)軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)等。1解答(1)根據(jù)y _X2 21 2 c 2 得 bnbc c2,3,-mb解得c3,2.所以所求二次函數(shù)解析式為1 2-x 3x 2.圖象如圖所示。2（2）在解析式中令y=0,/曰1得一x22 3x 2 0,解得 x1 3 V5,x2 3 V5.bx c的圖象經(jīng)過點(diǎn) A （c, 2）,圖象的對(duì)稱軸是x=3,所以可以填“拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是（3+'5,0）”或"拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是（35,0）.5令x=3代入解析式，得y 5,21 25所以拋物線y x 3x 2的

24、頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3,-）,225所以也可以填拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3, 5）等等。2函數(shù)主要關(guān)注：通過不同的途徑（圖象、解析式等）了解函數(shù)的具體特征；借助多種現(xiàn)實(shí)背景理解函數(shù); 將函數(shù)視為“變化過程中變量之間關(guān)系”的數(shù)學(xué)模型；滲透函數(shù)的思想；關(guān)注函數(shù)與相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系。用二次函數(shù)解決最值問題例1已知邊長(zhǎng)為4的正方形截去一個(gè)角后成為五邊形ABCDE（如圖），其中AF=2, BF=1.試在AB上求一點(diǎn)P,使矩形PNDMt最大面積.【評(píng)析】本題是一道代數(shù)幾何綜合題，把相似三角形與二次函數(shù)的知識(shí)有機(jī)的結(jié)合在一起，能很好考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.同時(shí)，也給學(xué)生探索解題思路留下了思維空間.例2某產(chǎn)品每件成本10元，

25、試銷階段每件產(chǎn)品的銷售價(jià) x （元）？與產(chǎn)品的日銷售量y （件）之間的關(guān)系 如下表：x （元）152030y （件）252010若日銷售量y是銷售價(jià)x的一次函數(shù).（1）求出日銷售量y （件）與銷售價(jià)x （元）的函數(shù)關(guān)系式；（2）要使每日的銷售利潤(rùn)最大，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為多少元？此時(shí)每日銷售利潤(rùn)是多少元？ 15kb 25【解析】（1）設(shè)此一次函數(shù)表達(dá)式為 y=kx+b .則解得k=-1 , b=40, ?即一次函數(shù)表達(dá)2k b 20式為 y=-x+40 .（2）設(shè)每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為x元，所獲銷售利潤(rùn)為 w元w= （x-10 ） （40-x） =-x 2+50x-400=- （x-25 ）

26、 2+225.產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為 25元，此時(shí)每日獲得最大銷售利潤(rùn)為225元.【點(diǎn)評(píng)】解決最值問題應(yīng)用題的思路與一般應(yīng)用題類似，也有區(qū)別，主要有兩點(diǎn)：（1）設(shè)未知數(shù)在“當(dāng)某某為何值時(shí)，什么最大（或最小、最?。钡脑O(shè)問中，？ “某某”要設(shè)為自變量，“什么”要設(shè)為函數(shù)；（2） ?問的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程.例 3.你知道嗎？平時(shí)我們?cè)谔罄K時(shí)，繩甩到最高處的形狀可近似地看為拋物線.如圖所示，正在甩繩的甲、乙兩名學(xué)生拿繩的手間距為4 m,距地面均為2. 5 m處.繩子在甩到最高處時(shí)剛好通過他們的頭頂.立的平面直角坐標(biāo)系如右圖所示）（）A. 1.5 mB, 1. 625 mC. 1 .

27、 66 m D . 1. 67 m分析：本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用答案：B1m,學(xué)生丙、丁分別站在距甲拿繩的手水平距離1m已知學(xué)生丙的身高是1. 5 m,則學(xué)生丁的身高為（建.二次函數(shù)部分2.1.如圖所不是二次函數(shù) y ax bx給出四個(gè)結(jié)論： b2 4ac ； bc 0 ； 2a bA. B. C.1,c圖象的一部分，圖象過A點(diǎn)（3, 0）,二次函數(shù)圖象對(duì)稱軸為 x.一2.一. _、 一.一， 2 .已知二次函數(shù) y ax bx c的圖象與x軸交于點(diǎn)（2,0）、（x1,0）,且1刈 2 ,與y軸的正半軸的交點(diǎn)在（0,2）的下方.下列結(jié)論： 4a 2b c 0；a b 0；2ac 0;2ab1 0

28、;4a+c<0其中的正確結(jié)論是 3 .在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù) y=mx+m和丫=mx2 + 2x+2 （m是常數(shù)，且 mO）的圖象可能是（）4.把拋物線A. yC. y (x 1)2 32-D. y (x 1)35.把拋物線y=ax2+bx+c的圖象先向右平移3個(gè)單位，再向下平移 2個(gè)單位，所得的圖象的解析式是=x2 3x+5 ,貝U a+b+c=6.圖6 （1）是一個(gè)橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂（拱橋洞的最高點(diǎn)）離水面 2m,水面寬4m.如圖6 (2)建立平面直角坐標(biāo)系，則拋物線的關(guān)系式是()A. y 2x2B. y 2x1 2C. y -x21 2D. y -x2-

29、9 t I I t I 1 1 t I-圖 6 (1)圖 6 (2)2為直線x = 1,若其與x軸一交點(diǎn)為 B (3, 0),則由圖象可知，不等式 ax2bx c>0的解集是8.根據(jù)下表中的二次函數(shù)2 .ax bxc的自變量x與函數(shù)y的對(duì)應(yīng)值，可判斷該二次函數(shù)的圖象與( ).x1y1A.只有一個(gè)交點(diǎn)C.有兩個(gè)交點(diǎn)，且它們均在 y軸同側(cè)017-24B.有兩個(gè)交點(diǎn)，且它們分別在 y軸兩側(cè)D.無交點(diǎn)7、如圖是拋物線 y ax bx c的一部分，其對(duì)稱軸9.如圖，拋物線y ax2 bx c與x軸的一個(gè)交點(diǎn) a在點(diǎn)(-2, 0)和(-1, 0)之間(包括這兩點(diǎn))，頂 點(diǎn)C是矩形DEFG上(包括邊界

30、和內(nèi)部)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則 (1)abc # . 0(填“ ”或“ ”)； (1)a的取值范圍是# .10 (本小題滿分6分)如圖二次函數(shù)y x2 bx c的圖象經(jīng)過 A 1, 0和B 3,0兩點(diǎn)，且交y軸于點(diǎn)C .(1)試確定b、c的值；(2)過點(diǎn)C作CD / x軸交拋物線于點(diǎn) D,點(diǎn)M為此拋物線的頂點(diǎn)，試確定 4MCD的形狀.參考公式：頂點(diǎn)坐標(biāo)b 4ac b一，2a 4a23 -11如圖，拋物線y ax x 與x軸正半軸父于點(diǎn) A (3, 0).以O(shè)A為邊在x軸上萬作正萬形 OABC , 2延長(zhǎng)CB交拋物線于點(diǎn) D,再以BD為邊向上作正方形 BDEF.(1)求a的值.(2分)(2)求點(diǎn)F的坐標(biāo)

31、.(5分)12.(本題滿分10分)OB OA,且OB 2OA,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,2).如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)求過點(diǎn) A O、B的拋物線的表達(dá)式；p，使得 Saabp13.(本小題滿分10分)2已知一兀一次方程 x px(1)求q關(guān)于p的關(guān)系式;2(2)求證：拋物線 y xq 1 0的一根為2.px q與x軸恒有兩個(gè)交點(diǎn);(3)連接AB ,在(2)中的拋物線上求出點(diǎn)14 . (10分)鞋子的“鞋碼”和鞋長(zhǎng)(cm)存在一種換算關(guān)系，下表是幾組“鞋碼”與鞋長(zhǎng)換算的對(duì)應(yīng)數(shù) 值：注：“鞋碼”是表示鞋子大小的一種號(hào)碼鞋長(zhǎng)(cm)16192124鞋碼(號(hào))22283238(1)

32、設(shè)鞋長(zhǎng)為x, “鞋碼”為y,試判斷點(diǎn)(x, y)在你學(xué)過的哪種函數(shù)的圖象上？(2)求x、y之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)如果某人穿44號(hào)“鞋碼”的鞋，那么他的鞋長(zhǎng)是多少？15 .(滿分8分)閱讀材料，解答問題.例 用圖象法解一元二次不等式：x2 2x 3 0 .解：設(shè)y x2 2x 3,則y是x的二次函數(shù).Qa 1 0, 拋物線開口向上.又Q 當(dāng) y 0 時(shí)，x2 2x 3 0,解得 x11, x? 3.由此得拋物線y x2 2x 3的大致圖象如圖所示.觀察函數(shù)圖象可知：當(dāng) x1或x 3時(shí)，y 0.2(1)觀察圖象，直接寫出一元二次不等式:x2 2x 3 0的解集是(2)仿照上例，用圖象法解一元二次

33、不等式:x2 10 .(大致圖象畫在答題卡.上)x 2x 3 0的解集是：x 1或x 3.以下是二次函數(shù)和相似結(jié)合的幾道經(jīng)典題:16、(9分)如圖11,拋物線y a(x 3)(x 1)與x軸相交于a、b兩點(diǎn)(點(diǎn)a在點(diǎn)B右側(cè))，過點(diǎn)A的 直線交拋物線于另一點(diǎn) C,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-2, 6).(1)求a的值及直線AC的函數(shù)關(guān)系式；(2)P是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn) P作y軸 的平行線，交拋物線于點(diǎn)M ,交x軸于點(diǎn)N.求線段PM長(zhǎng)度的最大值；在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)M,使得 CMP與4APN相似？如果存在，請(qǐng)直接寫出 一個(gè)M的坐標(biāo)(不必寫解答過程)；如果不存在， 請(qǐng)說明理由.|17 .如圖，二次函數(shù)

34、的圖象經(jīng)過點(diǎn)D(0, <J3),且頂點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4,該圖象在x軸上截得的線段 AB9，的長(zhǎng)為6.求二次函數(shù)的解析式；在該拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)巳 使PA+PDt小，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；在拋物線上是否存在點(diǎn) Q,使QA* ABC相似？如果存在，求出點(diǎn) Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由.18 .(本題滿分10分)如圖，拋物線的頂點(diǎn)為 A (2, 1),且經(jīng)過原點(diǎn) O,與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為 B.(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線上求點(diǎn) M,使 MOB的面積是 AOB面積的3倍；(3)連結(jié)OA, AB,在x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)N,使 OBN與 OAB相似？若存在，求出N點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在

35、，說明理由.19 .(本題滿分10分)如圖，已知拋物線y= 3x2+bx + c與坐標(biāo)軸交于 A、 B、C三點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為(一 1, 0),4過點(diǎn)C的直線y= x- 3與x軸交于點(diǎn)Q,點(diǎn)P是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過 P作PHLOB于點(diǎn)H.若 4tPB=5t,且 0vtv1 .(1)填空：點(diǎn) C的坐標(biāo)是 , b=c=(2)求線段QH的長(zhǎng)(用含t的式子表示)；(3)依點(diǎn)P的變化，是否存在t的值，使以P、H、Q為頂點(diǎn)的三角形與 4COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，說明理由.20.(本題滿分12分)如圖，已知二次函數(shù) y1 2x bx c (c 0)的圖象與x軸的正半軸相父于點(diǎn) 22相交

36、于點(diǎn)C,且OC OA OB .(1)求c的值；(2)若 ABC的面積為3,求該二次函數(shù)的解析式；設(shè)D是(2)中所確定的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)，試問在直線AC上是否存在一點(diǎn) P使 PBD的周長(zhǎng)最?。咳舸嬖?，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.4 y22.如圖，已知直線 y11 2x 1與y軸父于點(diǎn) A,與x軸父于點(diǎn) d,拋物線y x2221 .(本小題滿分15分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中放置一直角三角板，其頂點(diǎn)為A( 1,0), B(0,J3)，0(0,0)，將此三角板繞原 點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到 A B 0 .(1)如圖，一拋物線經(jīng)過點(diǎn) A B、B ,求該拋物線解析式；(2)設(shè)點(diǎn)P

37、是在第一象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，求使四邊形PBAB的面積達(dá)到最大時(shí)點(diǎn) P的坐標(biāo)及面積的最大值.A、E兩點(diǎn)，與x軸交于B、C兩點(diǎn)，且B點(diǎn)坐標(biāo)為(1, 0)。求該拋物線的解析式；動(dòng)點(diǎn)P在軸上移動(dòng)，當(dāng)4PAE是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)P。在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)M,使| AM MC |的值最大，求出bx c與直線交于點(diǎn)M的坐標(biāo)23.(本小題滿分12分)如圖，已知拋物線 y x2 4x 3交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C, ?拋物線的對(duì)稱軸交 x軸于點(diǎn) 巳 點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0).(1)求拋物線的對(duì)稱軸及點(diǎn) A的坐標(biāo)；(2)在平面直角坐標(biāo)系 xoy中是否存在點(diǎn)P,與A、B、C三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)平行四邊形？若存在，請(qǐng)寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)連結(jié)CA與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn) D,在拋物線上是否存在點(diǎn) M,使得直線CM把四邊形DEOC 分成面積相等的兩部分？若存在，請(qǐng)求出直線CM的解析式；若不存在，請(qǐng)說明理由.(2)若點(diǎn)P是x軸上任意一點(diǎn)，求證:(3)當(dāng)PA PB最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).24.(本題滿分10分)1 9如圖，拋物線y-x2 x 2的頂點(diǎn)為4(1)求點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo).25. (13分)如圖，等腰梯形花圃 ABCD勺底邊AD靠墻，另三 邊用長(zhǎng)為40米的鐵欄桿圍成，設(shè)該花圃的腰 AB的長(zhǎng)為x米.(1)請(qǐng)求出底邊BC的長(zhǎng)(用含x的