因式分解拓展題及解答

1、因式分解拓展題及解答（必考題型）因式分解拓展題解板塊一：換元法例1分解因式：(X2 +4x +8)2 +3x(x2 +4x +8) +2X2【解析】將x2 4x u看成一個字母，可利用十字相乘得原式=u 3xu 2x =(u x)(u 2x) = (x 4x 8 x)(x 4x 82x)2 2 2=(x 5x 8)(x 6x 8) = (x 2)(x4)(x 5x 8)例2分解因式：(X2 +5x +2)(X2 +5x +3) 12【解析】方法1：將x2 5x看作一個整體，設(shè)X25x=t，則 原式 2 2=(t 2)(t 3) -12 二t5t -6 = (t -1)(t 6) =(x 2)(

2、x 3)(x 5x -1)方法2 :將X2 5x 2看作一個整體，設(shè)x2 +5x +2 =t，貝y原式 2 2= t(t 1) -12 =tt -12 =(t -3)(t 4) =(x 2)(x 3)(x5x -1)方法3 :將x2 5x 3看作一個整體，過程 略.如果學(xué)生的能力到一定的程度，甚 至連換元都不用，直接把x2 5x看作一個 整體，將原式展開，分組分解即可，則原式=(x2 +5x)2 +5(x2+5x) 6 =(x2+5x1)(x2+5x+6) =(x+2)(x+3) (x2+5x1).【鞏固】分解因式 :(x 1)(x 3)(x 5)(x 7) 152【解析】(x 2)(x 6)

3、(x 8x 10)【鞏固】 分解因式：(x2224 =(x5xy 4y )(x 5xy 6y ) y令 x2 5xy 4y2 =u x 1)(x2 x 2) 12【解析】(x -1)(x 2)(x2 x 5)例3證明：四個連續(xù)整數(shù)的乘積加1是整數(shù)的平方.【解析】設(shè)這四個連續(xù)整數(shù)為 :x1、 x 2、x 3、x 42 2(x 1)(x 2)( x 3)(x 4) 1 二(x 1)(x 4)( x 2)(x 3) 1 =(x 5x 4)(x 5x 6)1246u =x 5x2原式 =(x2+5x*5) _1(x2+5x+5)+1+1 =(x2+5x+5)2_1+1 =(x2+5x+5)2【鞏固】若

4、x，y是整數(shù)，求證 :x y x 2y x 3y x 4y y上 式U(u 2y2) y4 =(u y2)2 =(x2 5xy 5y2)2艮卩 x y x 2y x 3y x 4y y4 = (x2 5xy 5y2)2例4分解因式 (2a+5)(a2 _9)(2a_7) -91【解析】原式 =(2a +5)(a _3)(a +3)(2a _7) _91 =(2a2 _a _15)(2a2 _a_21)_91設(shè) 2a2 -a T5 =x , 是 一個完全平方數(shù)【解析】x y x 2y x 3y x 4y |亠y4 = x y x 4y i x 2y x 3y ： y4原式 = x(x _6) _

5、91 =x2 _6x _91 =(x_13)(x+7) =(2a2 _a _28)(2a2 _a_8)=(a _4)(2a 7)(2a2 _a -8)【鞏固】分解因式 (x2 3x 2)(3 8x 4x2) 90【解析】 原式 =(x 1)(x 2)(2x 1)(2x 3) -90 =(2x2 5x 3)(2x2 5x 2) -902y =2x2 5x原式 =(y 3)(y 2) -90 =y2 5y -84 =(y 12)(y -7) =(2x2 5x 12)(2x 7)(x-1)例5分解因式：4(3x2 x1)(x2 十2x3)(4x2+x4)2【解析】咋一看，很不好下手，仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)：(

6、3x2 -X -1) (x2 2x -3) =4x2 x - 4，故可設(shè)3x2 - x 1 = A, x2 +2x3 = B，則 4x2 +x4 = A+B .故原式=4AB -(A B)2 A2 -B2 2ABTA-B)2=x2 x1)(x2 +2x3)了 =(2x2 3x+2)2.【鞏固】 分解因式：(a b -2ab)(a b -2) (1 -ab)2【解析】由于題中以整體形式出現(xiàn)的式子有兩個，共4個地方，故采取換元法后會大大簡化計(jì)算 過程，不妨設(shè)a b二x,ab二y，【解析】則原式 =(x -2y)(x -2)(1 -y)2 =x2 2xyy2 2y -2x1 =(x - y)2 -

7、2(x - y)1 =(x - y -1)2 = (ab- ab -1)2 =(1 - a)2(1- b)2例 6 分解因式：(x 1)4 (x 3)4 -272【解析】設(shè) y=x ；x 3”邊 ， 貝V 原 式= (y_1)4 (y 1)4_272 =2(y4 6y2 1)_272=2(y4 6y2 _135) =2(y2 _9)( y2 15) =2( y 3)(y_3)(y2 15)2= 2(x 5)(x -1)(x 4x 19)【鞏固】分解因式 : a4 44 (a 4)4【解析】為方便運(yùn)算，更加對稱起見，我們令x = a_2a444 (a 4)4 =(x2)4 (x 2)444 =(

8、x2 4x 4)2 (x-4x4)244=2(x424x216)256 =2(x424x2 144) =2(x2 12)2 =2(a 2)2122=2(a2 4a16)2板塊二：因式定理因式定理：如果-a時(shí)，多項(xiàng)式 anXn anxn .ao 的 值為0，那么x-a是該多項(xiàng)式的一個因式 有理根：有理根cUP的分子p是常數(shù)項(xiàng)ao2x2 3x2I 32x 1 2x -x -5x-2322x 2x3x2 5x-3x2 - 3x-2x - 22x 20-1，-2（分q的因數(shù)，分母q是首項(xiàng)系數(shù)an的因數(shù)例7分解因式：【鞏固】a。一2的因數(shù)是.1，2， an =2的因數(shù)是1，2因此，原式的有理根只可能是母

9、為1),2因?yàn)?f (1)=2 1 5 2 =-6 , f (1) = 21+52 =0 ,于是-1是f(x)的一個根，從而X 1是f(x)的因式，這里 我們可以利用豎式除法，此時(shí)一般將被除式按未 知數(shù)的降冪排列，沒有的補(bǔ)0：可得原式 = (2x2 -3x-2)(x+1) =(x-2)(2x+1)(x+1)19點(diǎn)評：觀察，如果多項(xiàng)式f(x)的奇數(shù)次項(xiàng)與偶數(shù)次 項(xiàng)的系數(shù)和互為相反數(shù)，則說明f(1)=0;如果多項(xiàng)式的奇數(shù)次項(xiàng)與偶數(shù)次項(xiàng)的 系數(shù)和相等，則說明f【鞏固】分解因式：x +2X5 +3X4 +4X3 +3X2 +2x+1解析：本題有理根只可能為1當(dāng)然不可能為根 (因?yàn)槎囗?xiàng)式的系數(shù)全是正的)

10、，經(jīng)檢驗(yàn)-1是根， 所以原式有因式X 1，原式=(X 1)(x5 X4 2x3 2x2 x 1)容易驗(yàn)證-1也是x5 x4 2x3 2x2 x 1的根，X5 X4 2x3 2x2 x 1 =(x 1)(x4 2x2 1) = (x 1)(x2 1)2， 所以 x6 2x5 3x4 +4x3 +3x2 +2x+1 =(x+1)2(x2+1)2【鞏固】 分解 因式：x3 - 9x2 y 26xy2 -24 y3解析： x3 -9x2y 26xy2-24y3 = (x-2y)(x-3y)(x-4y)例8分解因式：x3 -(a +b +c)x2 +(ab +bc +ca)x -abc【解析】常數(shù)項(xiàng)-a

11、bc 的因數(shù)為a，b，c，土ab，bc，+ca，二 abc把x=a代入原式，得a3 -(a b c)a2 (ab bc ca)a -abc 二a3 -a3 -ba2 -ca2 a2b abc a2c-abc =0所以a是原式的根，x-a是原式的因式， 并且x3 -(a b c)x2 (ab bc ca)x -abc3 2 2=(x ax ) (b c)x -a(b c)x (bcx-abc)2【鞏固】分解因式:= (x-a)x -(b c)x bc =(x _a)(x _b)(x_c).32(l 亠 m)x 亠(31 亠2m n)x 亠(21 m3n)x2(m 亠 n)【解析】如果多項(xiàng)式的系數(shù)

12、的和等于。，那么1 一定是它的根；如果多項(xiàng)式的偶次項(xiàng)系數(shù)的和減 去奇次項(xiàng)系數(shù)的和等于 0，那么-1 一定是它的根現(xiàn)在正是這樣：(I 亠 n)亠(31 亠 2 m n) (21 m 3n) 2(m 亠 n) = 0所以x 1是原式的因式，并且32(I m)x (3I 2m -n)x(2I -m -3n)x -2(m n)=(l m)x3 (I m)x2 (21 m n)x2 (21 m n)x -2(m n)x 2(m n)2=(x 1)(I m)x (2I m n)x 2(m n) =(x 1)(x 2)(Ix mx m n)板塊三：待定系數(shù)法如果兩個多項(xiàng)式恒等，則左右兩邊同類項(xiàng)的系數(shù) 相等.

13、即，如果anxn - an 1/2- anxn JiL &X1- ao =bnxn - bnxn 丄-bnxn J|l dx1 bo那么 an =bn , an=bn4，, 2=4 , ao =bo .例9用待定系數(shù)法分解因式：x5 x 1【解析】原式的有理根只可能為1，但是這2個數(shù)都不能使原式的值為0，所以原式?jīng)]有有理根，因而也沒有(有理系數(shù)的)一次因式.故x5 x +1 =(x2 +ax +1)(x3 +bx2 +cx +1) 1或 x5 +x +1 =(x2 +ax _1)(x3 +bx2 +cx _1)x5 x 1 =(x2 ax 1)(x3 bx2 cx 1) = x5 (a b)x

14、4 (ab c 1)x3 (ac b 1)x2 (a c)xF +b =0a =1故ad ,解得卜-1 ,所以a+c=1Lx5 X 1 =(x2 x 1)(x3 X21)事實(shí)上，分解式是惟一的，所以不用再考慮其它情況【鞏固】XX2 1是否能分解成兩個整系數(shù)的二次 因式的乘積？解析：我們知道 x4 x2 (x2 x 1)(xx 1).4 x不能分解成兩個整系數(shù)的二次因式的乘積.如果X4 -X2 1能夠分解，那么一定分解為(x2 ax 1)(x2 bx 1) 或 (x2 ax T)(x2 bx-1) 比較X3與X2的系數(shù)可得：；b b2二(2)由得b = -a，代入得a-21，即a2 =3或a2，

15、沒 有整數(shù)a能滿足這兩個方程.所以，xx21不能分解成兩個整系數(shù)的 二次因式的積(從而也不能分解成兩個有理系數(shù)的二 次因式的積).【鞏固】x6 X3 -1能否分解為兩個整系數(shù)的三次因式的積？解析:設(shè) x6 x3 _1 =(x3 ax2 bx 1)(x3 cx2 dx _1),la c = 0 比較x5 , x3及x的系數(shù)，得ad bc1bd =0由第一個方程與第三個方程可得 -,d=b,再把它們代入第二個方程中，得ab abi矛盾!所以，/ / -1不可能分解為兩個整系數(shù)的三次因式的積.例10分解因式： x4 x3 2x2 x 3【解析】原式的有理根只可能為-1，-3，但是這四個數(shù)都不能使原式

16、的值為o，所以原式?jīng)]有有 理根，因而也沒有 （有理系數(shù)的）一次因 式我們設(shè)想x4 x3 2xx 3可以分為兩個整系數(shù)的二次因式的乘積由于原式是首1的 （首項(xiàng)系數(shù)為1）,兩個二次因式也應(yīng)當(dāng)是首1 的.設(shè) x4 x3 2x2 -x 32 2=(x ax b)(x cx d)其中整系數(shù)a、b c、d有待我們?nèi)ゴ_定比 較式兩邊x3 , x2 , x的系數(shù)a c =1b d ac 2be ad = -1bd =3及常數(shù)項(xiàng)，得這樣的方程組，一般說來是不容易解的不過，別忘了 bd是整數(shù)!根據(jù)這一點(diǎn)，從(5)可以得出或北；，當(dāng)然也可能 是悄或Q在這個例子中由于因式的次序無關(guān)緊 要,我們可以認(rèn)為只有或b：i這兩

17、種情況.將 b=1， d=3，代入(4)，得 C 3a = -1 (6)將與相減得2a=-2，于是a = -1，再由 得c=2這一組數(shù)(a-1, b =1， c=2， d=3)不僅適合、 ，而且適合.因此 x4 x3 2x2 -x 3 =(xx 1)(x2 2x 3)(7)將b=T， d=-3，代人，得-3 = -1將與 相加得-2a=0.于是a=0，再由這一組數(shù)(0 , b1 , c=1 , d-3)，雖然 適合、，卻不適合,因而 x +x3 +2x22 222xyxzyzyxzxzy， xyz， -X +3 #(x2 _1)(x2 +x 一3).事實(shí)上，分解式是惟一的，找出一組滿 足方程組

18、的數(shù)，就可以寫出分解式，考慮有沒有其他的解純屬多余，毫無必 要.板塊四：輪換式與對稱式對稱式：X、y 的多項(xiàng)式 x y， xy，x2 y2，x3 y3，x2y xy2， 在字母x與y互換時(shí)，保持不變.這樣的 多項(xiàng)式稱為x、y的對稱式.類似地，關(guān)于x、y、z的多項(xiàng)式x y z，222333x y z ， xy yz zx， x y z ，在字母x、y、z中任意兩字互換時(shí)，保持不變.這樣的多項(xiàng)式稱為X、yz的對稱式.輪換式：關(guān)于X、y、z的多項(xiàng)式xyz，x2 y2 z2，xy yz zx， x3 +y3 +z3， x2y + y2z +z2x， xy2 +yz2 +zx2， xyz .在將字母X、

19、y、z輪換(即將x換成y，y換成 z，z換成x)時(shí)，保持不變.這樣的多項(xiàng)式稱為x、y、z的輪換式顯然，關(guān)于x、y、z的對稱式一定是x、y、z的輪換式.但是，關(guān)于X、y , z的輪換式不一定是對稱式.例 如，x2y y2z z2x就不是對稱式.次數(shù)低于3的輪換式同時(shí)也是對稱式. 兩個輪換式(對稱式)的和、差、積、商(假定被 除式能被除式整除)仍然是輪換式(對稱式) 例 11：分解因式:x2(yz) y2(zx) z2(x y) 解析：x2(y z) y2(z -x) z2(x y)是關(guān)于 x、y、z 的輪換式.如果把x2(y-z) y2(z-x) z2(x-y)看作關(guān)于x的多 項(xiàng)式，那么在x =

20、 y時(shí)，它的值為 y2(y-z) y2(z y) z2(y y)=0.因此，x y是 x2(y z) y2(z-x) z2(xy)的因式.由于 x2(yz) y2(z x) z2(xy)是 x、y、z 的輪換式， 可知y-z與也是它的因式.從而它們 的積 (X -y)(y -z)(z -X) 是 x2(y-z)+y2(z-x)+z2(x-y)的因式.由于、都是x、y、z的三次多項(xiàng)式， 所以兩者至多相差一個常數(shù)因數(shù)k，即有2 2 2x (y _ z) y (z - .x) z (x _ y) = k(x _ y)(y _ z)(z _ x)現(xiàn)在我們來確定常數(shù)k的值為此，比較的兩邊x2y的系數(shù)：左

21、邊系數(shù)為1,于是 x2(y z)y2(右邊系數(shù)為-k因此，k2z x) z (xy) =_(xy)(y z)(zx)思路 2 :利用 y z= (y x) (z x).例 12 分解因式：xy(x2_y2) yz(y2_z2) zx(z2_xj【解析】此式是關(guān)于x , y , z的四次齊次輪換式，注 意到x = y時(shí)，原式=0，故x_y是原式的一個因 式同理，y-z , z-x均是原式的因式，而(x -y)(y -z)(z - x)是三次輪換式，故還應(yīng)有一 個一次輪換式，設(shè)其為k(x y z)， 故原式=k(x y z)(x-y)(y-z)(z-x)，展開并比較 系數(shù)可知，k=-1,故原式=

22、-(X +y+z)(x-y)(y -z)(z-x) 思路 2 :利用 x2y2= (x2 z2)+(z2y2).家庭作業(yè)練習(xí)1 分解因式： 4(x+5)(x+6)(x +10)(x+12) -3x2原式 =4(x217x60)(x216x60) -3x4 (x216x 60) x (x216x 60)-3x2= 4(x216x60)24x(x216x 60) -3x222二2(x 16x 60) - x2( x 16x 60) 3x=(2x231x 120)(2x235x 120) =(2x 15)(x 8)(2x2 35x 120)練習(xí)2 -要使x-1 x 3 x_4 x_8 m為完全平方式

23、，貝帰數(shù) m的值為【解析】 x-1 x 3 x -4 x-8)亠m =(x2 _5x+4)(x2 _5x _24)+m =(x2 _5x)2 _20(x2 _5x) _96+m，貝卩 m=196練習(xí)3. 分解因式 :(x2 6x 8)(x2 14x 48) 12【解析】 原式=(x 2)( x 4)(x 6)(x 8) 12 =(x2 10x 16)( x2 10x 24) 12設(shè) t =x2 10x 16，則原式 =t(t +8) +12 =(t +2)(t +6) =(x2 +10x+18)(x2 +10x +22)練習(xí)4. 分解因式 :(x2 +xy +y2)2 _4xy(x2 +y2)

24、【解析】設(shè) x2 +y2 =a , xy =b ,貝卩原式=(a +b)2 -4ab =(a -b)2 = (x2 + y2 -xy)2.練習(xí)5.因式：2x? - x -5x 一2【解析】2x3 x2 -5x -2 =(x -2)(2x 1)(x 1)練習(xí)6. 分解因式：x3 6x2 11x 6【解析】x3 6x211x 6 =(x 1)(x2 5x 6) =(x 1)(x 2)(x 3)練習(xí)7.用待定系數(shù)法分解：x5 x4 1【解析】原式的有理根只可能為1，但是這2個數(shù)都 不能使原式的值為o，所以原式?jīng)]有有理根， 因而也沒有(有理系數(shù)的)一次因式.故 x5x41 =(x2ax1)(x3 bx2 cx 1)或 x5 x41 =(x2 ax -1)(x3 bx2 ex -1)x5x41 =(x2 ax 1)(x3 bx2 ex 1) = x5 (a 亠 b)x4 (ab e 1)x3 (aeb 1)x2(a 亠 c)x門曰fa=1故|：e：；1：0，解得X ，所以a+e=0Tx5 x4 1 =(x2 X 1)(x3