中學(xué)數(shù)學(xué)研究

1、大慶師范學(xué)院本科畢業(yè)論文大慶師范學(xué)院現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀點(diǎn)下的中學(xué)數(shù)學(xué)論文淺析中學(xué)解析幾何學(xué) 院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 研 究 方 向 基礎(chǔ)數(shù)學(xué) 學(xué) 生 姓 名 魏雪瑩 學(xué) 號(hào) 201101051357 指導(dǎo)教師姓名 張玲 2014年6月25日16摘要解析幾何，既是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，又是一種重要的數(shù)學(xué)方法.本文介紹了解析幾何產(chǎn)生的背景及其建立,解析幾何的建立主要以費(fèi)爾馬的坐標(biāo)幾何和笛卡爾的幾何學(xué)最為代表. 并通過(guò)舉例說(shuō)明的方式簡(jiǎn)述了解析幾何思想.隨著解析幾何的發(fā)展，它的很多思想也漸漸被世人所接受和采納，其中最基本的思想是數(shù)行結(jié)合思想.在不斷學(xué)習(xí)和完善解析幾何的過(guò)程中，人們還對(duì)它進(jìn)行了分類，

2、分為平面解析幾何和空間解析幾何，并在生產(chǎn)和生活中被廣泛應(yīng)用.文中通過(guò)兩個(gè)例子簡(jiǎn)述了解析幾何的應(yīng)用.在中學(xué)解析幾何的學(xué)習(xí)過(guò)程中，也得到了很多啟示. 解析幾何的核心不是研究對(duì)象，而是方法關(guān)鍵詞：解析幾何，產(chǎn)生及其建立，基本思想，應(yīng)用，啟示Abstract Analytic geometry is a branch of mathematics, and is a kind of important mathematics method too. This paper introduces the background of analytic geometry and established, th

3、e establishment of analytic geometry mainly is to Fermat coordinate geometry and Descartes the geometry as the most representative. And by the way, for example briefly analytic geometry thought. Along with the development of analytic geometry and many of its idea became known to the world accepted a

4、nd adopted, one of the most basic thoughts is the few lines combining idea. In the continuous learning and perfect the process of analytic geometry, people put it into two classes, they are plane analytic geometry and space analytic geometry, and it has been widely used and in production and life. T

5、his paper describes the application of this analytic geometry mainly through two examples. In the learning process of middle school analytic geometry, getting a lot of the enlightenment. Analytic geometry is not the core of the research object, but method.Key words：Analytic geometry, Generation and

6、establish, basic idea, application, enlightenment目錄第一章 前言.21.1解析幾何產(chǎn)生的背景.31.2費(fèi)爾馬的坐標(biāo)幾何.4第二章 解析幾何的基本思想.5 2.1解析幾何的基本內(nèi)容.72.2解析幾何要解決的問(wèn)題.82.3解析幾何的思想，方法和基本觀念.8第三章 中學(xué)解析幾何的分類及其應(yīng)用.93.1 中學(xué)解析幾何的分類.93.2 中學(xué)解析幾何的應(yīng)用.10第四章 解析幾何帶來(lái)的啟示.11總結(jié).12參考文獻(xiàn).13第一章 前言十六世紀(jì)以后，由于生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，天文、力學(xué)、航海等方面都對(duì)幾何學(xué)提出了新的需要.德國(guó)天文學(xué)家開(kāi)普勒發(fā)現(xiàn)行星是繞著太陽(yáng)沿著橢

7、圓軌道運(yùn)行的，太陽(yáng)處在這個(gè)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上；意大利科學(xué)家伽利略發(fā)現(xiàn)投擲物體試驗(yàn)著拋物線運(yùn)動(dòng)的.這些發(fā)現(xiàn)都涉及到圓錐曲線，要研究這些比較復(fù)雜的曲線，原先的一套方法顯然已經(jīng)不適應(yīng)了，這就需要提出新的解決方法. 其次，雖然歐式幾何提供了一種理性的思維方式，給出了一種數(shù)學(xué)模式，但它也有一定的局限性，過(guò)于抽象，過(guò)多的依耐圖形；同樣，當(dāng)時(shí)的代數(shù)過(guò)多地受法則和公式的約束，比較抽象，不利于思維的發(fā)展.笛卡爾與費(fèi)爾馬都認(rèn)識(shí)到，如果把代數(shù)與幾何學(xué)中一切精華的東西結(jié)合起來(lái)，幾何學(xué)就可以為代數(shù)提供直觀的圖形，而代數(shù)又能對(duì)抽象的未知量進(jìn)行推理，互相取長(zhǎng)補(bǔ)短.由此，一門(mén)新的學(xué)科解析幾何誕生了.17世紀(jì)的前半葉，在數(shù)學(xué)中產(chǎn)

8、生了一個(gè)全新的分支解析幾何. 笛卡爾和費(fèi)爾馬創(chuàng)立解析幾何，在數(shù)學(xué)史上具有劃時(shí)代的意義.解析幾何溝通了數(shù)學(xué)中以數(shù)與行、代數(shù)與幾何等最基本對(duì)象之間的聯(lián)系.解析幾何用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題為最基本的思想，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和科研中被廣泛地應(yīng)用，同時(shí)，解析幾何也給人們展示了很多所蘊(yùn)含的美學(xué)成分和啟示. （解析幾何）一種包含代數(shù)和幾何兩門(mén)學(xué)科的好處，而沒(méi)有它們的缺點(diǎn)的方法. -笛卡爾 1.1解析幾何產(chǎn)生的背景16世紀(jì)后，文藝復(fù)新后的歐洲進(jìn)入了一個(gè)生產(chǎn)迅速發(fā)展、思想活躍的時(shí)代.機(jī)械的廣泛使用，促使人們對(duì)機(jī)械性能開(kāi)始研究，而這需要用到運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)和相應(yīng)的數(shù)學(xué)理論；建筑的興盛、河道和堤壩的修建，又提出了有關(guān)固體力學(xué)和流

9、體學(xué)的問(wèn)題，而這些問(wèn)題的解決需要精確的數(shù)學(xué)計(jì)算；航海事業(yè)的發(fā)展，像天文學(xué)，實(shí)際上也是向數(shù)學(xué)提出了如何精確測(cè)定經(jīng)緯度，計(jì)算各種不同形狀物體的面積、體積以及確定重心的方法；望遠(yuǎn)鏡與顯微鏡的發(fā)明，提出了研究凹凸鏡的曲面形狀問(wèn)題.德國(guó)天文學(xué)家開(kāi)普勒發(fā)現(xiàn)行星是繞著太陽(yáng)沿著橢圓軌道運(yùn)行的，太陽(yáng)處在這個(gè)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上；意大利科學(xué)家伽利略發(fā)現(xiàn)投擲物體是作拋物線運(yùn)動(dòng)的.要研究這些比較復(fù)雜的曲線和解決在天文、力學(xué)、建筑、河道、航海等方面的數(shù)學(xué)問(wèn)題，顯然已有的初級(jí)幾何和初級(jí)代數(shù)是無(wú)能為力、難以解決的.于是人們迫切地尋找新的數(shù)學(xué)方法，這就導(dǎo)致了解析幾何的產(chǎn)生.12費(fèi)爾馬的坐標(biāo)幾何費(fèi)爾馬，出身于商人家庭，是一位律師，

10、作為業(yè)余愛(ài)好，他對(duì)數(shù)學(xué)做出了巨大貢獻(xiàn).費(fèi)爾馬關(guān)于曲線的研究是從研究阿波羅尼奧斯的圓錐曲線論開(kāi)始的.1692年他寫(xiě)了一本平面和立體的軌跡引論，書(shū)中說(shuō)他找到了一個(gè)研究曲線問(wèn)題的普遍方法.費(fèi)爾馬的坐標(biāo)能把阿波羅尼奧斯的結(jié)果直接譯成代數(shù)形式.費(fèi)爾馬把他的一般原理敘述為：“只要在最后的結(jié)果里出現(xiàn)兩個(gè)未知數(shù)，我們就可以得到一個(gè)軌跡，用這兩個(gè)量可描繪出一條直線或曲線.”費(fèi)爾馬還領(lǐng)悟到坐標(biāo)軸可以平移和旋轉(zhuǎn)，因?yàn)榭梢园岩粋€(gè)復(fù)雜的二次方程，簡(jiǎn)化到簡(jiǎn)單形式，并且還知道了一次方程表示直線，二次方程代表圓錐曲線等.笛卡爾的幾何學(xué)笛卡爾，首先是一位杰出的近代哲學(xué)家.他是近代生物學(xué)的奠基人、第一流的物理學(xué)家，同時(shí)也是一位數(shù)

11、學(xué)家.1637年,笛卡爾寫(xiě)的更好地指導(dǎo)推理和尋求科學(xué)真理的方法論一書(shū)出版，這是一本文學(xué)和哲學(xué)的經(jīng)典著作，包括三個(gè)著名的附錄：幾何學(xué)、折光和隕星.幾何學(xué)是他所寫(xiě)的唯一一本數(shù)學(xué)書(shū)，他關(guān)于坐標(biāo)幾何的思想，就包括在它的這本幾何學(xué)中.在幾何學(xué)一書(shū)中，他開(kāi)始仿照韋達(dá)(Vjeta)的方法，用代數(shù)解決幾何作圖題，后來(lái)才逐漸出現(xiàn)了用方程表示曲線的思想.笛卡爾的幾何學(xué)雖然不像現(xiàn)在的解析幾何那樣，給讀者展現(xiàn)出一個(gè)從建立坐標(biāo)系和方程到研究方程的循序過(guò)程，但是他通過(guò)具體的實(shí)例，確實(shí)表達(dá)了他的新思想和新方法.盡管這在形式上沒(méi)有現(xiàn)在的解析幾何那樣完整，但它在本質(zhì)上卻是地道的解析幾何. 解析幾何的基本思想是用代數(shù)的方法研究幾

12、何問(wèn)題，形成數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，使幾何圖形的直觀性與代數(shù)式子的抽象性得到更好的融和. 笛卡爾的理論以兩個(gè)概念為基礎(chǔ)：坐標(biāo)概念和利用坐標(biāo)方法把兩個(gè)未知數(shù)的任意代數(shù)方程看成平面上的一條曲線的概念.因此，解析幾何就是在采用坐標(biāo)方法的同時(shí)，運(yùn)用代數(shù)方法研究幾何.第二章 解析幾何的基本思想21解析幾何的基本內(nèi)容在解析幾何中，首先是建立坐標(biāo)系.取定兩條相互垂直的、具有一定方向和度量單位的直線，叫做平面上的一個(gè)直角坐標(biāo)系oxy.利用坐標(biāo)系可以把平面內(nèi)的點(diǎn)和一對(duì)實(shí)數(shù)(x ,y)建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.除了直角坐標(biāo)系外，還有斜坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系、空間直角坐標(biāo)系等等.在空間坐標(biāo)系中還有球坐標(biāo)和柱面坐標(biāo).坐標(biāo)系將幾何對(duì)

13、象和數(shù)、幾何關(guān)系和函數(shù)之間建立了密切的聯(lián)系，這樣就可以把空間形式的研究歸結(jié)成比較成熟的數(shù)量關(guān)系的研究了.用這種方法研究幾何學(xué)，通常就叫做解析法.這種解析法不但對(duì)于解析幾何是重要的，就是對(duì)于幾何學(xué)的各個(gè)分支的研究也是十分重要的.解析幾何的創(chuàng)立，引入了一系列新的數(shù)學(xué)概念，特別是將變量引入數(shù)學(xué)，使數(shù)學(xué)進(jìn)入了一個(gè)新的發(fā)展時(shí)期，這就是數(shù)學(xué)變量的時(shí)期.解析幾何在數(shù)學(xué)發(fā)展中起了推動(dòng)作用.恩格斯對(duì)此曾經(jīng)作過(guò)評(píng)價(jià)：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡爾的變數(shù)， 有了變數(shù)，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，辯證法就進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成了必要.”2.2解析幾何要解決的問(wèn)題解析幾何為解決幾何問(wèn)題和代數(shù)問(wèn)題提供了一種新

14、的方法.它可以把一個(gè)幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)代數(shù)問(wèn)題，求解之后再還原成一個(gè)幾何問(wèn)題；也可以將一個(gè)代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)幾何問(wèn)題，求解之后再轉(zhuǎn)化成一個(gè)幾何問(wèn)題.其要解決的主要問(wèn)題有：1） 通過(guò)計(jì)算來(lái)解決作圖問(wèn)題，如：分線段成已知比例.2） 求具體某種幾何性質(zhì)的曲線的方程，如：到一定點(diǎn)和一一定直線距離相等的點(diǎn)的軌跡拋物線.3） 用代數(shù)方法證明新的幾何定理，如：三角形的三條高線相交與一點(diǎn).4） 用幾何方法解代數(shù)方程，如：用拋物線與圓的交點(diǎn)解三次和四次方程.23 解析幾何的思想，方法和基本觀念解析幾何的基本思想是用代數(shù)的方法研究幾何問(wèn)題.但是要用代數(shù)的方法研究幾何問(wèn)題，就必須溝通代數(shù)與幾何之間的聯(lián)系，而代數(shù)與幾

15、何各自壓縮到最基本的概念，分別是數(shù)與點(diǎn).于是，這種聯(lián)系的首要問(wèn)題是建立點(diǎn)與數(shù)之間的關(guān)系.坐標(biāo)系就是實(shí)現(xiàn)這一聯(lián)系的橋梁.有了坐標(biāo)系這種特定的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，就可以把點(diǎn)與數(shù)結(jié)合、統(tǒng)一起來(lái)，實(shí)現(xiàn)了數(shù)與點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng).這種以坐標(biāo)法為基礎(chǔ)，把數(shù)看成點(diǎn)，反之也能把點(diǎn)看成數(shù)的觀念是解析幾何的第一個(gè)基本觀念；此外，以坐標(biāo)法為基礎(chǔ)，把方程和曲線結(jié)合、統(tǒng)一起來(lái)，把方程看成曲線，反之把曲線看做是方程的觀念是解析幾何的第二基本觀念，從而實(shí)現(xiàn)了用代數(shù)方法研究幾何圖形的性質(zhì)和形狀，實(shí)現(xiàn)了幾何的“算術(shù)化”與“數(shù)字化”.同時(shí)，根據(jù)這兩個(gè)觀念，又能使數(shù)與方程得到直觀的幾何解釋，促進(jìn)了代數(shù)的發(fā)展.第三章中學(xué)解析幾何的分類及其應(yīng)用31 中

16、學(xué)解析幾何的分類中學(xué)解析幾何可以分為平面解析幾何和空間解析幾何.在平面解析幾何中，除了研究直線的有關(guān)直線的性質(zhì)外，主要是研究圓錐曲線（圓、橢圓、拋物線、雙曲線）的有關(guān)性質(zhì).在空間解析幾何中，除了研究平面、直線有關(guān)性質(zhì)外，主要研究柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面.如圓錐曲線橢圓雙曲線拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程(x/a)+(y/b)=1(x/a)-(y/b)=1=2pxa>b>0a>0,b>0p>0范圍x-a , ax(-,-aa,+)x0,+)y-b , byRyR關(guān)于x軸，y軸，原點(diǎn)對(duì)稱-關(guān)于x軸，y軸，原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于x軸對(duì)稱頂點(diǎn)(a,0),(-a,0),(0,b), (0,-b)(a,0

17、),(-a,0)(0,0)焦點(diǎn)(c,0),(-c,0)(c,0),(-c,0)(p/2,0) 其中c=a-b其中c=a+b準(zhǔn)線x=±(a)/cx=±(a)/cx=-p/2漸近線y=(b/a)x離心率e=c/a, e(0,1)e=c/a, e(1,+)e=1焦半徑PF=a + exPF=ex +a PF=x+p/2PF=a - exPF=ex -a焦準(zhǔn)距p=( b)/c p=( b)/cp通徑(2 b)/a(2 b)/a2p參數(shù)方程x=a·cosx=a·secx=2pty=b·sin，為參數(shù)y=b·tan,為參數(shù)y=2pt,t為參數(shù)過(guò)圓

18、錐曲線上一點(diǎn)(x·x/ a)+( y·y/ b)=1(xx/ a)-( y·y/ b)=1y·y=p(x+ x) (x,y)的切線方程斜率為k的切線方程y= kx ±y=kx±y=kx+p/2k32中學(xué)解析幾何的應(yīng)用橢圓、雙曲線、拋物線的有些性質(zhì)，在生產(chǎn)或生活中也被廣泛應(yīng)用.比如在電影放映機(jī)的聚光燈泡的反射面（橢圓面）上，燈絲在一個(gè)焦點(diǎn)上，影片門(mén)則在另一個(gè)焦點(diǎn)上；探照燈、聚光燈、太陽(yáng)灶、雷達(dá)天線、衛(wèi)星的天線、射電望遠(yuǎn)鏡等都是利用拋物線的原理制成的.例1：電影放映機(jī)上聚光燈泡的反射鏡的軸截面是橢圓的一部分，燈泡在焦點(diǎn)F2處，且與反射鏡的

19、頂點(diǎn)A距離為1.5cm，橢圓的通徑|BC|為5.4cm，為了使電影機(jī)片門(mén)獲得最強(qiáng)的光線，片門(mén)應(yīng)安裝在另一焦點(diǎn)處，那么燈泡距離片門(mén)應(yīng)是多少？解：設(shè)焦距|F1F2|=2C，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（c，2.7），且點(diǎn)B在橢圓上，由橢圓定義知|BF1|+|BF2|=2|OA|，+2.7=2（c+1.5）解得2c=12cm因此,鏡頭應(yīng)安在距燈炮12cm處 解析幾何運(yùn)用坐標(biāo)法可以解決兩類基本問(wèn)題：一類是滿足給定條件點(diǎn)的軌跡，通過(guò)坐標(biāo)系建立它的方程；另一類是通過(guò)方程的討論，研究方程所表示的曲線性質(zhì).運(yùn)用坐標(biāo)法解決問(wèn)題的步驟是：首先在平面上建立坐標(biāo)系，把已知點(diǎn)的軌跡的幾何條件“翻譯”成代數(shù)方程；然后運(yùn)用代數(shù)工具對(duì)方程

20、進(jìn)行研究；最后把代數(shù)方程的性質(zhì)用幾何語(yǔ)言敘述，從而得到原先幾何問(wèn)題的答案.例2：已知，A是拋物線y22x上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)A作圓(x1)2y21的兩條切線分別切圓于EF兩點(diǎn)，交拋物線于M、N兩點(diǎn)，交y軸于B、C兩點(diǎn)（）當(dāng)A點(diǎn)坐標(biāo)為(8，4)時(shí)，求直線EF的方程；（）當(dāng)A點(diǎn)坐標(biāo)為(2，2)時(shí)，求直線MN的方程；（）當(dāng)A點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于2時(shí)，求ABC面積的最小值.解：（） DEFA四點(diǎn)共圓EF是圓（x1）2y21及(x1)(x8)y(y4)0的公共弦 EF的方程為7x4y80（）設(shè)AM的方程為y2k(x2)由kxy22k0與圓(x1)2+y21相切得1 k把y2（x2）代入y22x 得：M(，)，而N(

21、2，2) MN的方程為3x2y20（）設(shè)P(x0，y0)，B(0，b)，C(0，c)，不妨設(shè)bc，則有直線PB的方程為yb，即(y0b)xx0yx0b0又圓心（1，0）到PB的距離為1， 1，故（y0b）2x（y0b）22x0b(y0b)+ xb2 又x02，上式化簡(jiǎn)得 （x02）b22y0bx00 同理有 （x02）c22y0cx00故b，c是方程（x02）t22y0tx00的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 bc，b*c， 則有(bc)2 P(x0，y0)是拋物線上的點(diǎn)， 有y2x0， 則有(bc)2，bc，SPBC(bc)x0x024248當(dāng)（x02）24時(shí)，上式取等號(hào)，此時(shí)x04，y±2因此SPB

22、C的最小值為8第四章 解析幾何帶來(lái)的啟示解析幾何的重要性在于它的方法-建立坐標(biāo)系，用方程來(lái)表示曲線，通過(guò)研究方程來(lái)研究曲線.蘇聯(lián)著名幾何學(xué)家格列諾夫在他所編的解析幾何前言中說(shuō)：“解析幾何沒(méi)有嚴(yán)格確定的內(nèi)容，對(duì)它來(lái)說(shuō)，決定性的因素，不是研究對(duì)象，而是方法.”“這個(gè)方法的實(shí)質(zhì)，在于用某種標(biāo)準(zhǔn)的方式把方程（方程組）同幾何對(duì)象（即圖形）相對(duì)應(yīng)，使得圖形的幾何關(guān)系在其方程的性質(zhì)中表現(xiàn)出來(lái).” 由于解析幾何方法解決各類問(wèn)題的普遍性，它已成為幾何研究中的一個(gè)基本方法.不僅如此，它還被廣泛應(yīng)用于其他精確的自然科學(xué)領(lǐng)域，如力學(xué)和物理學(xué)之中，應(yīng)用解析幾何的方法，可以研究很多具體的對(duì)象.因此我們學(xué)習(xí)解析幾何，主要是掌握它的基本思想、基本方