數列綜合練習

1、數列綜合練習(一)1 .等比數列前n項和公式：a1 1 qa1 anq1 q1 qq=1(2)注意：應用該公式時，一定不要忽略(1)公式：s=qMlnaiq= 1的情況.則前 n 項和 S = 7(1 qn) = A(qn 1).其中：A=-.1 一 qq一 13. 推導等比數列前n項和的方法叫錯位相減法.一般適用于求一個等差數列與一個等比數列對應項積的前4. 拆項成差求和經常用到下列拆項公式：1= 1一 丄()n n+1= n n+ 1 ；2.若an是等比數列，且公比 qz 1,n項和.作業(yè)a計、選擇題1.設S為等比數列an的前n項和，8a2 + a5= 0，則昔等于()A.C.11 8.5

2、.112.記等比數列 an的前n項和為S10S,若 S3= 2, S= 18,則S等于()A.C.-3-31.5.333.設等比數列 an的公比q= 2,前n項和為S,則一等于()a2A.4.設an是由正數組成的等比數列， S為其前n項和，已知a2a4= 1, S= 7,貝U S等于(5 . A.6 . A.在數列an中，an+1= can(c為非零常數)，且前n項和為& = 3n +k,則實數k的值為( 0 B . 1 C . 在等比數列an中，公比514 B . 513 C1 D . 2q是整數，ai+ a4= 18, a?+ a3= 12,則此數列的前 8項和為( .512 D . 51

3、0二、填空題7.若an是等比數列，且前 &設等比數列an的前n項和為S,若a1 = 1, S= 4&,貝U a4=.9.若等比數列an中，a1= 1, an= 512,前n項和為S= 341,則n的值是10 .如果數列an的前n項和S = 2an 1，則此數列的通項公式 a =.三、解答題11.在等比數列an中，a1+ an= 66, asan2= 128, Sn= 126，求 n 和 q.n項和為S = 3 +1,貝U t =12.已知 S為等比數列an的前n項和，S= 54, Sn= 60,求S3n.13 .已知數列an的前n項和S = 2n 4.(1)求數列an的通項公式；設bn= an

4、 log 2an,求數列bn的前n項和Tn.14.已知等差數列a.滿足：a3= 7, a5+ a7= 26, an的前n項和為S. (1)求 an及 S;1 *令bn= a(n N)，求數列bn的前n項和Tn.15 .設數列an滿足 a1 = 2, an+1 an = 3 -2 (1)求數列an的通項公式；令bn= na,求數列 bn的前n項和S.16.在數列an中，ai= 2, an+1= an+ In 1 +1 ,A. 2+ln n B . 2+ (n- 1)ln n C .則an等于()2+ nin n D . 1 + n + In n117.已知正項數列 的前n項和1)2，求3的通項公

5、式.18. (12 分)在數列an中，a1 = 1, an+1= 2an+ 2.(1)設bn= 2.證明：數列 bn是等差數列；求數列an的前n項和.19. (12分)已知數列an的前n項和為S,且a1= 1, an+1=扌事n= 1,2,3，).(1)求數列an的通項公式；31n 當bn= log 2(3 an+1)時，求證：數列的前n項和Tn = 市bnbn + 1.習題解答:1. D 解析 由 8a2 + a5= 0 得 8a1q + a1q4= 0,q= 2,則 S2. 答案 DSo311 + 2ai2 111 22解析由題意知公比31 1 q6S61 qqM1, S3= 311 q3

6、1q=1 + q3= 9,So q=2, sT31 q101q 1,5311-q5= 1 + q1q=1 + 25= 33.3.答案 C解析方法322由等比數列的定義， S4= 31+ 32+ 33+ 34= + 32+ 32q+ 32q ,q2 15得=7 +1 + q+ q =可.32 q2.4、亠31 1 一 q萬法一 S4=, 32= 31q,1 一 qS41 一 q41532=1 q q= 2 .4.答案 B解析/ 3n是由正數組成的等比數列，且3234= 1,設3n的公比為q,則q0,且33= 1,1卩33= 1.C11-S3= 7,. 31 +32+ 33= + + 1 = 7

7、,q q即 6q2 q 1= 0.故q = 2或q= 3（舍去），1 31 =4.14 1 歹S5 =5.答案解析當311= 8(1 0 =亍12Cn= 1 時，31 = S= 3+ k,當 n2 時，3n= Sn Sn 1= (3“ + k) (3 1+ k) =3 3 1 = 2-3由題意知 3n為等比數列，所以 31 = 3 + k= 2, k = 1.6.答案 D解析 由 ai + au = 18 和 32 + a3= 12,331 + ag = 18 得方程組2ay + aq = 1231 = 2，解得q=2ai = 16/ q 為整數， q= 2, ai = 2, S8 =228-

8、 12 19=2 2 = 51017. 答案 1解析 顯然qM 1,此時應有 Sn= A(qn 1),1n1又 Sn= 33 + t , t = 3.1解析S6= 483?1 q3a4= a1 q = 1 x 3= 3.9.答案 10解析Sn=,- 341a11 q64 a11 q3331 qq? q3=3( q3 = 1不合題意，舍去).=1 + 512q1 q-q = 一 2,又-an = a q - n= 10.答案2n 1 解析當n= 1時，S = 2a1 1, 當 n時，an= Sn Sn 1 = (2 an 1) (2 an 1 1) - an= 2an- 1,. an是等比數列，

9、Q1- an= 2n N.1 q 512 = ( 2)n 1a1= 2a1 1,. a1= 1.11.解asa n 2a1a n,a1an= 128,aian= 128，解方程組a1 + an= 66,a1= 64,得an= 2,a1 anq將代入s=-，可得1 q由 an= a1qn 1 可解得 n= 6.將代入S =字弩，可得1 qa1 = 2,an= 64.1q=2q=2,由 an= a1qn 1 可解得 n= 6.故 n = 6, q= 2或 2由題意S, Sn Sn, S3n &成等比數列,2 1826 = 54( Sn 60) , . &=匚一.3a1 1 qn : = 54 1

10、q12.解方法方法二由題意得az 1,.Sn=a1S2n=.2n1 q-一=601 qn 10由十得1+ q=,9a9x 548.n 1-q= 9,n I 213.解(1)由題意，Sn= 2 4,n2 時，an = S-S1 = 2n+2 2n+1= 2n+1, 當n= 1時，a1= S = 23 4= 4，也適合上式， 數列an的通項公式為an= 2n+1, n N*./ bn= anlog2a.= (n+ 1) 2n+1, Tn= 2-2 + 3 23+ 4 2 4+ + n -2“ + ( n+ 1) 2n+1 2Tn= 2 -2 3+ 3 24 + 4 2 5 + n 2n+1+ (n

11、+ 1) -2 一得，Tn = 23 23 24 25一2n+ 1+(n+ 1) 2n+23n 1亠3 2 1 2八 c n+ 2亠3 亠3 一 n-1=2 12+( n+ 1).2= 2 2 (2-.、 _ n+ 2 _ 3 n 1.n+ 2 小門+ 2=(n+ 1) -2 2 2= (n+ 1) 2 21 qS3n =3na11 q1q9X 541182F1 ?)=.1) + (n+ 1) 2n+ 22n+2.14.解(1)設等差數列an的首項為a1，公差為a1 + 2d= 7,因為 a3= 7, a5 + a7= 26,所以2a1 + 10d = 26,d.a1 = 3,解得所以 an=

12、 3+2( n 1) = 2n+ 1,d= 2.2所以，an= 2n+ 1, Sn= n +2n.(2)由(1)知 an= 2n+ 1,3n +J x 2= n2+ 2n.所以所以1 1 1bn= an1 = 2n+1 2 1=41 1n n+ 1 ，1 11114223nri+11 、 nn + ?) = 4 n+ 1，1=4- (1 -即數列bn的前n項和Tn= 4nn+1n n+115. 解 (1)由已知，當22( n+ 1) 1 而a1 = 2，符合上式，所以數列(2)由 bn= nan = n 2 知35S = 1 - 2+ 2 -2 + 3 -2 +時，an+1 = (an+1 a

13、n) + (an an-1) + (a2 a1) + a1 = 3(2 2n 1 + 22n 3 *+ 2) + 2=an的通項公式為an= 22n 1c 2n 1 n -22n+ 1從而 22 - Sn= 1 -2 3+ 2 -2 5+ 3 27 + n T21-得(1 22)Sn= 2 + 23+ 25+ 22n 1 n -2 1即 Sn= 9(3 n- 1)22n+1 + 2.16. 答案 A1解析T an+1 = an+ In 1 + n ,1n+1- an+1 an = In 1 + z = In = ln( n+ 1) In n. nn/又 a1 = 2,an= a1 + (a2

14、a) + ( a3 a2)+ (a4 a3)+ (an an-1) = 2 + In 2 In 1 + In 3 In 2 + In 4 In 3 + In nIn( n 1) = 2+ In n In 1 = 2+ In n.I217.解 當 n = 1 時，a = S,所以 a1 = ；( a + 1),4解得ai= 1.1 2 1 2 12 2當 n2 時，an= Sn Sn- 1 = 4( an+ 1) 4( an- 1 + 1) = 4( an an-1 + 2an 2an-1),22an an1 2( an+ an -1) = 0,- (an+ an1)( an一 an 1 一 2

15、) = 0.an+ an-1 0, an an 1 2= 0.an an1 = 2. an是首項為1，公差為2的等差數列. an= 1 + 2(n 1) = 2n 1.18解：(1)證明 由已知an+1= 2an+ 2n,an+ 1 2 an + 2an得 bn+ 1 = 2n = 2 =1 + 1 = bn + 1.- bn+1 bn = 1，又 b1= a1= 1. bn是首項為1,公差為1的等差數列. 解 由(1)知，bn= n, 2 = bn= n. - an= n -21- S= 1+ 2-2 + 3-2 + n-2 “兩邊乘以 2 得：2Sn= 1 -2 + 2-2 + ( n 1) -2 + n-2, 兩式相減得：一 S = 1+ 2 + 2 + 2 一n 2“=2n