波函數(shù)統(tǒng)計(jì)解釋

1、第二章第二章 波函數(shù)波函數(shù)和和 Schrodinger Schrodinger 方程方程l1 1 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋 l2 2 態(tài)疊加原理態(tài)疊加原理 l3 3 力學(xué)量的平均值和算符的引進(jìn)力學(xué)量的平均值和算符的引進(jìn) l4 Schrodinger 4 Schrodinger 方程方程 l5 5 粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律 l6 6 定態(tài)定態(tài)SchrodingerSchrodinger方程方程 1 1 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋（一）波函數(shù)（一）波函數(shù) （二）波函數(shù)的解釋（二）波函數(shù)的解釋 （三）波函數(shù)的性質(zhì)（三）波函數(shù)的性質(zhì) )(expEtrpiA 3

2、 3個(gè)問題？個(gè)問題？ 描寫自由粒子的描寫自由粒子的平平 面面 波波),(tr 如果粒子處于如果粒子處于隨時(shí)間和位置變化的力場(chǎng)隨時(shí)間和位置變化的力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，他的動(dòng)量和能中運(yùn)動(dòng)，他的動(dòng)量和能量不再是常量（或不同時(shí)為常量）粒子的狀態(tài)就不能用平面波量不再是常量（或不同時(shí)為常量）粒子的狀態(tài)就不能用平面波描寫，而必須用較復(fù)雜的波描寫，一般記為：描寫，而必須用較復(fù)雜的波描寫，一般記為：描寫粒子狀態(tài)的描寫粒子狀態(tài)的波函數(shù)，它通常波函數(shù)，它通常是一個(gè)是一個(gè)復(fù)函數(shù)復(fù)函數(shù)。稱為稱為 dedeBroglie Broglie 波。此式稱為自由粒子的波函數(shù)。波。此式稱為自由粒子的波函數(shù)。(1) (1) 是怎樣描述粒子的狀

3、態(tài)呢？是怎樣描述粒子的狀態(tài)呢？(2) (2) 如何體現(xiàn)波粒二象性的？如何體現(xiàn)波粒二象性的？(3) (3) 描寫的是什么樣的波呢？描寫的是什么樣的波呢？（一）波函數(shù)（一）波函數(shù)電子源電子源感感光光屏屏（1 1）兩種錯(cuò)誤的看法）兩種錯(cuò)誤的看法1. 1. 物質(zhì)波由粒子組成物質(zhì)波由粒子組成如如水波，聲波水波，聲波，由分子密度疏密變化而形成的一種分布由分子密度疏密變化而形成的一種分布。這種看法是與實(shí)驗(yàn)矛盾的，它這種看法是與實(shí)驗(yàn)矛盾的，它不能解釋長時(shí)間單個(gè)電子衍射實(shí)驗(yàn)不能解釋長時(shí)間單個(gè)電子衍射實(shí)驗(yàn)。 電子一個(gè)一個(gè)的通過小孔，但只要時(shí)間足夠長，底片上電子增電子一個(gè)一個(gè)的通過小孔，但只要時(shí)間足夠長，底片上電子

4、增加呈現(xiàn)出衍射花紋。這說明電子的波動(dòng)性并不是許多電子在空間聚加呈現(xiàn)出衍射花紋。這說明電子的波動(dòng)性并不是許多電子在空間聚集在一起時(shí)才有的現(xiàn)象，集在一起時(shí)才有的現(xiàn)象，單個(gè)電子就具有波動(dòng)性單個(gè)電子就具有波動(dòng)性。 物質(zhì)波物質(zhì)波由粒子組成的看法由粒子組成的看法夸大了粒子性的一面，而夸大了粒子性的一面，而抹殺了粒子的波動(dòng)性的一面，具有片面性。抹殺了粒子的波動(dòng)性的一面，具有片面性。PPOQQO 事實(shí)上，正是由于單個(gè)電子具有波動(dòng)性，事實(shí)上，正是由于單個(gè)電子具有波動(dòng)性，才能理解氫原子才能理解氫原子（只含一個(gè)電子！）中電子運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性以及能量量子化這樣一（只含一個(gè)電子?。┲须娮舆\(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性以及能量量子化這樣一些量

5、子現(xiàn)象。些量子現(xiàn)象。2. 2. 粒子由波組成粒子由波組成l電子是波包電子是波包。把電子波看成是電子的某種實(shí)際結(jié)構(gòu)，是三維空間中連。把電子波看成是電子的某種實(shí)際結(jié)構(gòu)，是三維空間中連續(xù)分布的某種物質(zhì)波包。因此呈現(xiàn)出干涉和衍射等波動(dòng)現(xiàn)象。波包的續(xù)分布的某種物質(zhì)波包。因此呈現(xiàn)出干涉和衍射等波動(dòng)現(xiàn)象。波包的大小即電子的大小，波包的群速度即電子的運(yùn)動(dòng)速度。大小即電子的大小，波包的群速度即電子的運(yùn)動(dòng)速度。 l什么是波包？什么是波包？波包是各種波數(shù)（長）平面波的迭加。波包是各種波數(shù)（長）平面波的迭加。 平面波描寫自由粒子，其特點(diǎn)是充滿整個(gè)空間，這是因?yàn)槠矫娌ㄕ穹矫娌鑼懽杂闪Ｗ?，其特點(diǎn)是充滿整個(gè)空間，這是因

6、為平面波振幅與位置無關(guān)。如果粒子由波組成，那么自由粒子將充滿整個(gè)空間，這與位置無關(guān)。如果粒子由波組成，那么自由粒子將充滿整個(gè)空間，這是沒有意義的，是沒有意義的，與實(shí)驗(yàn)事實(shí)相矛盾。與實(shí)驗(yàn)事實(shí)相矛盾。 l實(shí)驗(yàn)上觀測(cè)到的電子，總是處于一個(gè)小區(qū)域內(nèi)。例如在一個(gè)原子內(nèi)，實(shí)驗(yàn)上觀測(cè)到的電子，總是處于一個(gè)小區(qū)域內(nèi)。例如在一個(gè)原子內(nèi)，其廣延不會(huì)超過原子大小其廣延不會(huì)超過原子大小1 1 。 l電子究竟是什么東西呢？是粒子？還是波？電子究竟是什么東西呢？是粒子？還是波？ “ 電子既不是粒電子既不是粒子也不是波子也不是波 ”，既不是經(jīng)典的粒子也不是經(jīng)典的波，既不是經(jīng)典的粒子也不是經(jīng)典的波，但是我們但是我們也可以說，

7、也可以說，“ 電子既是粒子也是波，它是粒子和波動(dòng)二重性矛盾的統(tǒng)電子既是粒子也是波，它是粒子和波動(dòng)二重性矛盾的統(tǒng)一一?！?這個(gè)波不再是經(jīng)典概念的波，粒子也不是經(jīng)典概念中的粒子。這個(gè)波不再是經(jīng)典概念的波，粒子也不是經(jīng)典概念中的粒子。經(jīng)典概念中經(jīng)典概念中 1.1.有一定質(zhì)量、電荷等有一定質(zhì)量、電荷等“顆粒性顆粒性”的屬性的屬性; ; 粒子意味著粒子意味著 2 2有確定的運(yùn)動(dòng)有確定的運(yùn)動(dòng)軌道軌道，每一時(shí)刻有一定，每一時(shí)刻有一定 位置和速度。位置和速度。經(jīng)典概念中經(jīng)典概念中 1.1.實(shí)在的物理量的空間分布作周期性的變化實(shí)在的物理量的空間分布作周期性的變化; ; 波意味著波意味著 2 2干涉、衍射現(xiàn)象，即

8、相干疊加性。干涉、衍射現(xiàn)象，即相干疊加性。1.1.入射電子流強(qiáng)度小，開始顯示電子的微粒性，長時(shí)間亦顯示衍射圖樣入射電子流強(qiáng)度小，開始顯示電子的微粒性，長時(shí)間亦顯示衍射圖樣; ;電子源電子源感感光光屏屏QQOPP我們?cè)倏匆幌码娮拥难苌鋵?shí)驗(yàn)我們?cè)倏匆幌码娮拥难苌鋵?shí)驗(yàn)2.2. 入射電子流強(qiáng)度大，很快顯示衍射圖樣入射電子流強(qiáng)度大，很快顯示衍射圖樣. .l結(jié)論：結(jié)論：衍射實(shí)驗(yàn)所揭示的電子的波動(dòng)性是：衍射實(shí)驗(yàn)所揭示的電子的波動(dòng)性是： 許多電子在同一個(gè)實(shí)驗(yàn)中的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，或者是一個(gè)許多電子在同一個(gè)實(shí)驗(yàn)中的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，或者是一個(gè)電子在許多次相同實(shí)驗(yàn)中的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。電子在許多次相同實(shí)驗(yàn)中的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。 l波函數(shù)波函數(shù)正

9、是為了描述粒子的這種行為而引進(jìn)的，在此基正是為了描述粒子的這種行為而引進(jìn)的，在此基礎(chǔ)上，礎(chǔ)上，Born Born 提出了波函數(shù)意義的統(tǒng)計(jì)解釋。提出了波函數(shù)意義的統(tǒng)計(jì)解釋。 r r 點(diǎn)附近衍射花樣的強(qiáng)度點(diǎn)附近衍射花樣的強(qiáng)度 正比于該點(diǎn)附近感光點(diǎn)的數(shù)目，正比于該點(diǎn)附近感光點(diǎn)的數(shù)目， 正比于該點(diǎn)附近出現(xiàn)的電子數(shù)目，正比于該點(diǎn)附近出現(xiàn)的電子數(shù)目， 正比于電子出現(xiàn)在正比于電子出現(xiàn)在 r r 點(diǎn)附近的幾點(diǎn)附近的幾率。率。在電子衍射實(shí)驗(yàn)中，在電子衍射實(shí)驗(yàn)中，照相底片上照相底片上 據(jù)此，據(jù)此，描寫粒子的波可以認(rèn)為是幾率波，反映微觀客體運(yùn)描寫粒子的波可以認(rèn)為是幾率波，反映微觀客體運(yùn)動(dòng)的一動(dòng)的一 種統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，波

10、函數(shù)種統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，波函數(shù) (r) (r)有時(shí)也稱為幾率幅。有時(shí)也稱為幾率幅。 這就是首先由這就是首先由 BornBorn 提出的提出的波函數(shù)的幾率解釋波函數(shù)的幾率解釋，它是，它是量子量子力學(xué)的基本原理力學(xué)的基本原理。假設(shè)衍射波波幅用假設(shè)衍射波波幅用 (r) (r) 描述，與光學(xué)相似，描述，與光學(xué)相似， 衍射花紋的強(qiáng)度則用衍射花紋的強(qiáng)度則用 | (r)| (r)|2 2 描述，但意義與經(jīng)典波不同。描述，但意義與經(jīng)典波不同。| (r)| (r)|2 2 的意義是代表電子出現(xiàn)在的意義是代表電子出現(xiàn)在 r r 點(diǎn)附近幾率的大小，點(diǎn)附近幾率的大小， 確切的說，確切的說， | (r)| (r)|2 2 x

11、 y z x y z 表示在表示在 r r 點(diǎn)處，體積元點(diǎn)處，體積元x y x y zz中找到粒子的幾率。波函數(shù)在空間某點(diǎn)的強(qiáng)度（振幅中找到粒子的幾率。波函數(shù)在空間某點(diǎn)的強(qiáng)度（振幅絕對(duì)值的平方）和在這點(diǎn)找到粒子的幾率成比例，絕對(duì)值的平方）和在這點(diǎn)找到粒子的幾率成比例，（三）波函數(shù)的性質(zhì)（三）波函數(shù)的性質(zhì) 在在 t t 時(shí)刻，時(shí)刻， r r 點(diǎn)，點(diǎn)，d = dx dy dz d = dx dy dz 體積內(nèi)，找到由波體積內(nèi)，找到由波函數(shù)函數(shù) (r,t) (r,t)描寫的粒子的幾率是：描寫的粒子的幾率是： d W( r, t) = C| (r,t)|d W( r, t) = C| (r,t)|2

12、2 d d， 其中，其中，C C是比例系數(shù)。是比例系數(shù)。根據(jù)波函數(shù)的幾率解釋，波函數(shù)有如下重要性質(zhì)：根據(jù)波函數(shù)的幾率解釋，波函數(shù)有如下重要性質(zhì)：（1 1）幾率和幾率密度）幾率和幾率密度 在在 t t 時(shí)刻時(shí)刻 r r 點(diǎn)，單位體積內(nèi)找到粒子的幾率是：點(diǎn)，單位體積內(nèi)找到粒子的幾率是： ( r, t ) = dW(r, t )/ d = C | (r,t)|( r, t ) = dW(r, t )/ d = C | (r,t)|2 2 稱為幾率密度。稱為幾率密度。在體積在體積 V V 內(nèi)，內(nèi)，t t 時(shí)刻找到粒子的幾率為：時(shí)刻找到粒子的幾率為： W(t) = W(t) = V V dW = dW

13、= V V( r, t ) d= C( r, t ) d= CV V | (r,t)| | (r,t)|2 2 d d（2 2）平方可積平方可積由于粒子在空間總要出現(xiàn)（不討論粒子產(chǎn)生和湮滅情況），由于粒子在空間總要出現(xiàn)（不討論粒子產(chǎn)生和湮滅情況），所以在全空間找到粒子的幾率應(yīng)為一，即：所以在全空間找到粒子的幾率應(yīng)為一，即： CC | (r , t)| | (r , t)|2 2 d= 1 d= 1, , 從而得常數(shù)從而得常數(shù) C C 之值為：之值為： C = 1/ C = 1/ | (r , t)| | (r , t)|2 2 d d這即是要求描寫粒子量子這即是要求描寫粒子量子狀態(tài)的波函數(shù)狀態(tài)

14、的波函數(shù) 必須是絕必須是絕對(duì)值平方可積的函數(shù)。對(duì)值平方可積的函數(shù)。若若 | (r , t)| | (r , t)|2 2 d d , , 則則 C C 0 0, , 這是沒有意義的。這是沒有意義的。 )(exp),(EtrpiAtr注意：自由粒子波函數(shù)注意：自由粒子波函數(shù) 不滿足這一要求。關(guān)于自由粒子波函數(shù)如何歸一化問不滿足這一要求。關(guān)于自由粒子波函數(shù)如何歸一化問題，以后再予以討論。題，以后再予以討論。 （3 3）歸一化波函數(shù)）歸一化波函數(shù) 這與經(jīng)典波不同。經(jīng)典波波幅增大一倍（原來的這與經(jīng)典波不同。經(jīng)典波波幅增大一倍（原來的 2 2 倍），則相應(yīng)的倍），則相應(yīng)的波動(dòng)能量將為原來的波動(dòng)能量將為原

15、來的 4 4 倍，因而代表完全不同的波動(dòng)狀態(tài)。經(jīng)典波無歸倍，因而代表完全不同的波動(dòng)狀態(tài)。經(jīng)典波無歸一化問題。一化問題。 (r , t ) (r , t ) 和和 C (r , t ) C (r , t ) 所描寫狀態(tài)的相對(duì)幾率是相同的，這里的所描寫狀態(tài)的相對(duì)幾率是相同的，這里的 C C 是常數(shù)。是常數(shù)。 因?yàn)樵谝驗(yàn)樵?t t 時(shí)刻，空間任意兩點(diǎn)時(shí)刻，空間任意兩點(diǎn) r r1 1 和和 r r2 2 處找到粒子的相對(duì)處找到粒子的相對(duì)幾率之比是：幾率之比是： 由于粒子在全空間出現(xiàn)的幾率等于一，所以粒子在空間各點(diǎn)出現(xiàn)的幾率由于粒子在全空間出現(xiàn)的幾率等于一，所以粒子在空間各點(diǎn)出現(xiàn)的幾率只取決于波函數(shù)在空

16、間各點(diǎn)強(qiáng)度的相對(duì)比例，而不取決于強(qiáng)度的絕對(duì)大只取決于波函數(shù)在空間各點(diǎn)強(qiáng)度的相對(duì)比例，而不取決于強(qiáng)度的絕對(duì)大小，因而，將波函數(shù)乘上一個(gè)常數(shù)后，所描寫的粒子狀態(tài)不變，即小，因而，將波函數(shù)乘上一個(gè)常數(shù)后，所描寫的粒子狀態(tài)不變，即 (r, t) (r, t) 和和 C (r, t) C (r, t) 描述同一狀態(tài)描述同一狀態(tài)221221),(),(),(),(trtrtrCtrC 可見，可見， (r , t ) (r , t ) 和和 C (r , t ) C (r , t ) 描述的是同一幾率波，描述的是同一幾率波，所以波函數(shù)有一常數(shù)因子不定性。所以波函數(shù)有一常數(shù)因子不定性。歸一化常數(shù)l若若 (r

17、, t ) (r , t ) 沒有歸一化，沒有歸一化， | (r , t )| (r , t )|2 2 d= A d= A （A A 是大于零的常數(shù)），則有是大于零的常數(shù)），則有 l | |(A)(A)-1/2-1/2 (r , t ) (r , t )| |2 2 d= 1 d= 1 也就是說，也就是說，(A)(A)-1/2-1/2 (r , t ) (r , t )是歸一化的波函數(shù)，是歸一化的波函數(shù)， 與與 (r , t ) (r , t )描寫同一幾率波，描寫同一幾率波， (A)(A)-1/2 -1/2 稱為歸一化因子稱為歸一化因子。 l注意：對(duì)歸一化波函數(shù)仍有一個(gè)注意：對(duì)歸一化波函數(shù)

18、仍有一個(gè)模為一的因子不定性模為一的因子不定性。 若若 (r , t ) (r , t )是歸一化波函數(shù)，那末，是歸一化波函數(shù)，那末，expiexpi (r , t ) (r , t ) 也是歸一化波函數(shù)（其也是歸一化波函數(shù)（其中中是實(shí)數(shù)），與前者描述同一幾率波。是實(shí)數(shù)），與前者描述同一幾率波。（4 4）平面波歸一化）平面波歸一化I Dirac 函數(shù)函數(shù) 定義：定義： 0000)(xxxxxx )0(1)()(0000 dxxxdxxxxx或等價(jià)的表示為：對(duì)在或等價(jià)的表示為：對(duì)在x=xx=x0 0 鄰域鄰域連續(xù)的任何函數(shù)連續(xù)的任何函數(shù) f f（x x）有：）有：)()()(00 xfdxxxxf

19、 函數(shù)函數(shù) 亦可寫成亦可寫成 Fourier Fourier 積分形式：積分形式：)(0021)(xxikedkxx 令令 k=pk=px x/ / , dk= dp, dk= dpx x/ / , , 則則xxxpidpexxx)(0021)( 性質(zhì)：性質(zhì)：)()()()(000 xxxfxxxf )(|1)(xaax )()(xx 0 x0 x)(0 xx dxeppxpxpxppixxxxxx)(021)( ，則，則，作代換：作代換：II II 平面波平面波 歸一化歸一化EtipEtrpiperAetr )(),(寫成分量形式寫成分量形式321)()()()(zpiypixpippprpipzyxzyxeAeAeAzyxAer t=0 t=0 時(shí)的平面波時(shí)的平面波)(),(),(22*22xxtppippppedxtxtxxxxx 考慮一維積分考慮一維積分dxxxexxxxpptEEi)()(* dxxxexxxxpptppi)()(*2222 dxxxxxpp)()(* )(221xxppA 若取若取 A A1 12 2 2 2 = 1 = 1，則，則 A A1 1= 2= 2 -1/2-1/2, , 于是于