電力生產(chǎn)的數(shù)學建模問題(共30頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上電力生產(chǎn)問題的數(shù)學模型摘要 本文針對發(fā)電機廠每天在不同時間段用電需求量不同的情況下，根據(jù)給定不同型號不同數(shù)量的發(fā)電機，合理分配各臺發(fā)電機在不同時間段的開啟數(shù)量和運行功率，使得一天內總發(fā)電成本最小的問題，采用單目標非線性規(guī)劃方法，建立所求問題的最優(yōu)化模型，借助Lingo軟件對模型進行求解，得到每日最小發(fā)電總成本。對于問題：由已知條件可知發(fā)電總成本由固定成本、邊際成本、啟動成本組成，據(jù)此，我們確定了三個指標：即固定成本總和、邊際成本總和、啟動成本總和?？偝杀炯礊檫@三項成本總和。每天分為七個時段，發(fā)電機共有四種型號，方案結果應該包括每個時段每種型號平均功率及該時段該型號發(fā)電

2、機的數(shù)量，通過分析未知數(shù)與所給數(shù)據(jù)之間的關系來列出相應的約束條件，寫出成本函數(shù)表達式，然后通過LINGO求出個時段各種型號發(fā)電機的實際發(fā)出的功率及所需要運行的臺數(shù)，從而求出最小總成本元。對于問題二：題目要求在任何時刻，正在工作的發(fā)電機組必須留出20%的發(fā)電能力余量，以防用電量突然上升。其他條件與第一問相同，因此，只需增加一個約束條件，即發(fā)電機機組所能發(fā)出的最大功率之和乘以80%后大于用電需求，所以可以按照問題建立的模型，將其約束條件中每個時間段用電量的需求量提高25%，最終得出此情況下每天的最小成本為：元。關鍵詞：單機輸出功率 使用數(shù)量 總成本1問題重述1.1 問題背景為滿足每日電力需求（單位

3、為兆瓦（MW），可以選用四種不同類型的發(fā)電機。每日電力需求如下表1。 表1：每日用電需求（兆瓦）時段（0-24）0-66-99-1212-1414-1818-2222-24需求11000330002500036000250003000018000為了便于觀察每天的用量需求，將數(shù)據(jù)重新整理，轉化為圖1所示的圖表。圖1 各時間段的用電需求量從圖表中可以清晰的觀察到每天用電需求變化，在第一階段用電量需求處于低谷時段，第四階段處于峰值時段，且用電量需求變化最大。每種發(fā)電機都有一個最大發(fā)電能力，當接入電網(wǎng)時，其輸出功率不應低于某一最小輸出功率。所有發(fā)電機都存在一個啟動成本，以及工作于最小功率狀態(tài)時的固定

4、的每小時成本，并且如果功率高于最小功率，則超出部分的功率每兆瓦每小時還存在一個成本，即邊際成本。這些數(shù)據(jù)均列于表2中。表2：發(fā)電機情況 項目型號可用數(shù)量最小輸出功率（MW）最大輸出功率（MW）固定成本（元/小時）每兆瓦邊際成本（元/小時）啟動成本型號110800180022002.75000型號251000150018002.21600型號381200200038001.82400型號441800350048003.81200只有在每個時段開始時才允許啟動或關閉發(fā)電機。與啟動發(fā)電機不同，關閉發(fā)電機不需要付出任何代價。1.2需要解決的問題問題（1） 在每個時段應分別使用哪些發(fā)電機才能使每天的總成

5、本最小，最小總成本為多少？問題（2） 如果在任何時刻，正在工作的發(fā)電機組必須留出20%的發(fā)電能力余量，以防用電量突然上升。那么每個時段又應分別使用哪些發(fā)電機才能使每天的總成本最小，此時最小總成本又為多少？2模型假設假設1：發(fā)電機工作期間不發(fā)生任何故障。假設2：關閉和啟動發(fā)電機時均是瞬時完成，不記相應使用的時間。假設3：發(fā)電機自身功率沒有損耗。假設4：調整發(fā)電機功率沒有成本 。 假設5：發(fā)電機生產(chǎn)的電量在傳輸過程中沒有損耗。 3符號說明符號符號說明時段，取1、2、3、4、5、6、7發(fā)電機型號，取1、2、3、4第i時段型號j發(fā)電機使用數(shù)量第i時段單個型號j的功率發(fā)電機在第i時段的工作時間型號j發(fā)電

6、機的數(shù)量上限第i時段所需要功率第i時段所輸出的最大功率，即1，25倍需求功率第i時段所輸出的實際功率型號j發(fā)電機的最小輸出功率型號j發(fā)電機的最大輸出功率型號j發(fā)電機的固定成本型號j發(fā)電機工作時的每兆瓦邊際成本每臺型號j的啟動成本4.問題分析此題研究的是電力生產(chǎn)中在滿足每日電力需求的條件下，使每日的總成本達到最小的數(shù)學建模問題。針對問題一：從以下三方面來分析（1） 對已知條件的分析：從已知的條件來看，本題將一天分為了七個時間段，在每一個時間段都有對應的電力需求量。為了滿足每日的電力需求，有四種型號的發(fā)電機可供使用，每種型號的發(fā)電機都已知其可用數(shù)量、最小輸出功率、最大輸出功率、固定成本、每兆瓦邊際

7、成本、啟用成本。要使總成本達到最小，則問題的目標函數(shù)就是總成本函數(shù)。（2） 對目標函數(shù)的分析：總成本由三個指標組成，即每天四種型號發(fā)電機的固定總成本、每天四種型號發(fā)電機邊際總成本、每天四種型號發(fā)電機啟動總成本。分別對每個指標進行分析。每天四種型號發(fā)電機固定總成本為第i個時間段的時間、型號j發(fā)電機在第i個時間段的數(shù)量、型號j發(fā)電機每小時的固定成本這三者之積的總和。每天四種型號發(fā)電機邊際總成本為第i個時間段的時間、型號j發(fā)電機在第i個時間段超出此時間段最小總功率的功率、型號j發(fā)電機每兆瓦邊際成本這三者之積的總和。每天四種型號發(fā)電機啟動總成本為型號j發(fā)電機啟動數(shù)量和型號j發(fā)電機的啟動成本之積的總和。

8、（3）對約束條件的分析：對機型j發(fā)電機在第i個時間段總功率的約束有兩個。一是若機型j發(fā)電機在第i個時間段不使用，則機型j發(fā)電機在第i個時間段的總功率為零；若機型j發(fā)電機在第i個時間段使用，則機型j發(fā)電機在第i個時間段的總功率要滿足大于等于單個機型j發(fā)電機的最小輸出功率且小于等于全部機型j發(fā)電機最大輸出功率之和；二是四種機型的發(fā)電機在第i個時間段生產(chǎn)的總功率要滿足大于等于第i個時間段的用電量需求。針對問題二：題目要求在任何時刻，正在工作的發(fā)電機組必須留出20%的發(fā)電能力余量，以防用電量突然上升，即發(fā)電機組在第i個時間段所能發(fā)出的最大總功率的要大于等于該時段的用電需求的1.25倍。5.模型建立與求

9、解5.1問題一模型的建立與求解5.1.1確定目標函數(shù)該模型是為了解決電力生產(chǎn)中，在滿足每日電力需求的條件下，用四類不同型號的發(fā)電機在一天的七個時段進行電力生產(chǎn)，使總成本達到最小的問題?？偝杀居梢韵氯椫笜私M成：每天四種型號發(fā)電機固定總成本：每天四種型號發(fā)電機邊際總成本：每天四種型號發(fā)電機啟用總成本：由于第1時段與后6時段開機情況不同，故要分開計算。 為了使總成本達到最小，我們建立了如下的目標函數(shù)：5.1.2確定約束條件 （1）第i時段j型發(fā)電機投入的數(shù)量必須滿足數(shù)量范圍 其中=1,2，···，7 ，=1,2,3,4 （2）第i時段j型發(fā)電機單機功率必須在所產(chǎn)生功率

10、范圍內 其中=1,2，···，7 ，=1,2,3,4（3）第i時段j型發(fā)電機個數(shù)必須是整數(shù) 其中=1,2，···，7 ，=1,2,3,4（4）發(fā)電機產(chǎn)生的功率必須等于實際總功率其中=1,2，···，7 ，=1,2,3,45.1.3綜上所述，得到問題一的最優(yōu)化模型 其中=1,2，···，7 ，=1,2,3,45.1.4模型一的求解 我們用Lingo軟件求解這個模型，所得到的單機輸出功率介于最小功率和最大功率之間，尋優(yōu)后得到滿足約束條件的最低總成本為元。根據(jù)Lingo軟件計算得到

11、的第i時段型號為j的幾個發(fā)電機發(fā)出的總功率和第i時段型號為j的發(fā)電機的數(shù)量。各個時段各種型號幾個發(fā)電機發(fā)出的總功率及對應的發(fā)電機數(shù)量如下表一所示：表3 問題一最優(yōu)化方案段時量數(shù)號型型號1型號2型號3型號4單臺輸出功率數(shù)量單臺輸出功率數(shù)量單臺輸出功率數(shù)量單臺輸出功率數(shù)量0-6001440520001180016-9180011500520008192549-121500115005200080012-141800115005200082675414-18800112805200081800118-22 1100115005200081800322-2490011500520003180025.1

12、問題二模型的建立與求解5.1.1問題二模型的建立根據(jù)問題一的模型，我們已經(jīng)求出了在滿足每日電力需求的條件下，用四類不同型號的發(fā)電機在一天的七個時段進行電力生產(chǎn)，使總成本達到最小，而問題二要求在任何時刻，正在工作的發(fā)電機組必須留出20%的發(fā)電能力余量，以防用電量突然上升。故在第一問的目標函數(shù)和約束條件保持不變的情況下，應再增加一個約束條件，即第i個時段發(fā)電機組所能輸出地最大功率應大于第i個時段的用電需求量的1.25倍。列出問題二的最優(yōu)化模型如下：其中=1,2，···，7 ，=1,2,3,45.1.2問題二模型的求解將目標函數(shù)和約束條件用矩陣的形式表示出來，然后用LI

13、NGO軟件求解，求解后得到滿足約束條件的最小總成本為每天元。各個時段各種型號的發(fā)電機發(fā)出的平均功率和對應的數(shù)量見下表：表4各時段各型號發(fā)電機輸出功率及數(shù)量段時量數(shù)號型型號1型號2型號3型號4單臺輸出功率數(shù)量單臺輸出功率數(shù)量單臺輸出功率數(shù)量單臺輸出功率數(shù)量0-6112521500520002350006-9175861800520008180049-12800613705200081800212-141800615005200082675414-18830518005200081800218-221720515005200081800322-24100011500520007180006. 結果

14、分析將表一、表二中的數(shù)據(jù)導入EXCLE中，利用EXCLE繪制兩個問題的結果中發(fā)電機在每個時段的臺數(shù)和功率的變化圖。圖1、圖2為在任何時刻，正在工作的發(fā)電機組正常運行情況下，某型發(fā)電機所需臺數(shù)、發(fā)電總功率與時段的函數(shù)圖。圖3、圖4為在任何時刻，正在工作的發(fā)電機組必須留出20%的發(fā)電能力余量時的情況下，某型發(fā)電機所需臺數(shù)、發(fā)電總功率與時段的函數(shù)圖。圖1 各時段各型號發(fā)電機臺數(shù)安排圖2圖3圖4結論一：在模型一中，型號2和型號3的用量和工作時間段比較多，可以增加型號2和型號3的數(shù)量。相較模型一，模型二中的小型號發(fā)電機的數(shù)量有所下降，而中型發(fā)電機的數(shù)量有所上升。無論是在模型一，還是在模型二中，型號2的數(shù)

15、量一直維持在比較穩(wěn)定的狀態(tài)。為了保留一定的發(fā)電能力，同時又使電機的啟動成本減小。因此可以適當增加型號2的數(shù)量。結論二：在各個時段，型號3的輸出功率一直處于最大輸出功率狀態(tài)。在不同時段的用電需求越大，所需要的大功率型號的發(fā)電機的數(shù)量就越多，因為這樣可以降低總成本。 7. 模型的評價、改進及推廣7.1模型評價優(yōu)點: （1）根據(jù)題目的要求我們確立了三個指標，即固定總成本、邊際總 成本、啟用總成本，以上三項總成本之和即為總成本，通過對 三項總成本的逐項分析，建立了最優(yōu)的目標函數(shù)。 （2）簡練直觀,能以較少的語句較直觀的方式對較大規(guī)模的數(shù)據(jù)進行描述,運行速度快,計算能力強.對于約束條件的建立，我們綜合考

16、慮了各種情況，達到了具體化. （3）此模型中,整數(shù)約束和整數(shù)變量的個數(shù)少,非光滑約束的個數(shù)少.變量上下界的設定清晰,有利于程序的運行和計算。 （4） 根據(jù)所建立的模型不僅能求解出最小總成本,還能求解出每一種機型在每日發(fā)電過程中所花費的成本,可以通過結果比較來對各種機型進行相應的調整和改進,對常用機型進行保養(yǎng)和準備更多的備用設備,有利于長遠的規(guī)劃.缺點：實際生活中,用電需求是呈現(xiàn)正態(tài)分布的,并且在該問題中沒有考慮爬坡速率約束,發(fā)電機啟停約束,傳輸容量限制,不同燃料成本等諸多其他因素,故得到的結果與實際情況存在一定的誤差. 7.2模型改進(1)考慮到設備長時間運行發(fā)熱等會影響設備正常穩(wěn)定工作,數(shù)據(jù)

17、中還應列出發(fā)電機功率隨時間變化曲線。（2）本模型只給出了某一天供電需求,建議給出每日需求隨季節(jié)和天氣的變化規(guī)律,并求出更具普遍性結果。7.3模型推廣（1）考慮到設備長時間運行發(fā)熱等會影響設備正常穩(wěn)定工作,數(shù)據(jù)中還應列出發(fā)電機功率隨時間變化曲線和一直處于高功率運行的發(fā)電機的維修問題。（2）本模型只給出了某一天供電需求,建議給出每日需求隨季節(jié)和天氣的變化規(guī)律,并求出更具普遍性結果。（3）本模型只是單純的解決了這一天發(fā)電的最小成本，沒有考慮到第二天的發(fā)電機數(shù)量是在前一天最后一個時間段的基礎上增加或減少某種機型的數(shù)量，往后以此循環(huán)，啟動成本也將跟著以此循環(huán)，在此后成為穩(wěn)定狀態(tài)。8.參考文獻1 趙靜，但

18、琦，數(shù)學建模與數(shù)學實驗，高等教育出版社，2008.2 朱得通.最優(yōu)化模型與實驗M.上海：同濟大學出版社，20033 謝金星.優(yōu)化建模與LINDO/LINGO軟件.北京：清華大學出版社，20034 劉來福，楊淳，黃海洋譯.數(shù)學建模方法與分析.北京：械工業(yè)出版社，2007，4389. 5 吳禮斌，李柏年.數(shù)學實驗與建模.北京：國防工業(yè)出版社，2007. 附錄：模型一所用程序model:sets:time/1.7/:need_p,t;type/1.4/:max_num,max_p,min_p,cost_f,cost_m,cost_s;links(time,type):p_type,type_num;

19、endsetsdata:need_p=11000 33000 25000 36000 25000 30000 18000; t=6 3 3 2 4 4 2; max_num=10 5 8 4; min_p=800 1000 1200 1800; max_p=1800 1500 2000 3500; cost_f=2200 1800 3800 4800; cost_m=2.7 2.2 1.8 3.8; cost_s=5000 1600 2400 1200; enddatafor(links(i,j):type_num(i,j)>=0); for(links(i,j):type_num(i,

20、j)<=max_num(j);for(links(i,j):p_type(i,j)>=min_p(j); for(links(i,j):p_type(i,j)<=max_p(j);for(links(i,j):gin(type_num(i,j); for(time(i):need_p(i)=sum(type(j):p_type(i,j)*type_num(i,j); min=sum(time(i):sum(type(j):(cost_f(j)+(p_type(i,j)-min_p(j)*cost_m(j)*type_num(i,j)*t(i)+sum(time(i):if(i

21、#ge#2,sum(type(j):(cost_s(j)*if(type_num(i,j)#ge#type_num(i-1,j),type_num(i,j)-type_num(i-1,j),0),sum(type(j):type_num(1,j)*cost_s(j);模型一結果Local optimal solution found. Objective value: . Objective bound: . Infeasibilities: 0. Extended solver steps: 1 Total solver iterations: 70650 Variable Value NE

22、ED_P( 1) 11000.00 NEED_P( 2) 33000.00 NEED_P( 3) 25000.00 NEED_P( 4) 36000.00 NEED_P( 5) 25000.00 NEED_P( 6) 30000.00 NEED_P( 7) 18000.00 T( 1) 6. T( 2) 3. T( 3) 3. T( 4) 2. T( 5) 4. T( 6) 4. T( 7) 2. MAX_NUM( 1) 10.00000 MAX_NUM( 2) 5. MAX_NUM( 3) 8. MAX_NUM( 4) 4. MAX_P( 1) 1800.000 MAX_P( 2) 1500

23、.000 MAX_P( 3) 2000.000 MAX_P( 4) 3500.000 MIN_P( 1) 800.0000 MIN_P( 2) 1000.000 MIN_P( 3) 1200.000 MIN_P( 4) 1800.000 COST_F( 1) 2200.000 COST_F( 2) 1800.000 COST_F( 3) 3800.000 COST_F( 4) 4800.000 COST_M( 1) 2. COST_M( 2) 2. COST_M( 3) 1. COST_M( 4) 3. COST_S( 1) 5000.000 COST_S( 2) 1600.000 COST_

24、S( 3) 2400.000 COST_S( 4) 1200.000 P_TYPE( 1, 1) 856.5174 P_TYPE( 1, 2) 1440.000 P_TYPE( 1, 3) 2000.000 P_TYPE( 1, 4) 1800.000 P_TYPE( 2, 1) 1800.000 P_TYPE( 2, 2) 1500.000 P_TYPE( 2, 3) 2000.000 P_TYPE( 2, 4) 1925.000 P_TYPE( 3, 1) 1500.000 P_TYPE( 3, 2) 1500.000 P_TYPE( 3, 3) 2000.000 P_TYPE( 3, 4

25、) 1860.062 P_TYPE( 4, 1) 1800.000 P_TYPE( 4, 2) 1500.000 P_TYPE( 4, 3) 2000.000 P_TYPE( 4, 4) 2675.000 P_TYPE( 5, 1) 800.0000 P_TYPE( 5, 2) 1280.000 P_TYPE( 5, 3) 2000.000 P_TYPE( 5, 4) 1800.000 P_TYPE( 6, 1) 1100.000 P_TYPE( 6, 2) 1500.000 P_TYPE( 6, 3) 2000.000 P_TYPE( 6, 4) 1800.000 P_TYPE( 7, 1)

26、 900.0000 P_TYPE( 7, 2) 1500.000 P_TYPE( 7, 3) 2000.000 P_TYPE( 7, 4) 1800.000 TYPE_NUM( 1, 1) 0. TYPE_NUM( 1, 2) 5. TYPE_NUM( 1, 3) 1. TYPE_NUM( 1, 4) 1. TYPE_NUM( 2, 1) 1. TYPE_NUM( 2, 2) 5. TYPE_NUM( 2, 3) 8. TYPE_NUM( 2, 4) 4. TYPE_NUM( 3, 1) 1. TYPE_NUM( 3, 2) 5. TYPE_NUM( 3, 3) 8. TYPE_NUM( 3, 4) 0. TYPE_NUM( 4, 1) 1. TYPE_NUM( 4, 2) 5. TYPE_NUM( 4, 3) 8. TYPE_NUM( 4, 4) 4. TYPE_NUM( 5, 1) 1. TYPE_NUM( 5, 2) 5. TYPE_NUM( 5, 3) 8. TYPE_NUM( 5, 4) 1. TYPE_NUM( 6, 1) 1.