淺談三角函數(shù)的證明及應(yīng)用

1、 新 余 學(xué)院 XINYU UNIVERSITY畢業(yè)設(shè)計(論文( 2012 屆題 目淺談三角函數(shù)的證明方法及應(yīng)用二級學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院專 業(yè) 數(shù) 學(xué) 教 育班 級 09 數(shù) 教 2 班學(xué) 號學(xué)生姓名 胡 潤 香指導(dǎo)教師 江 訓(xùn) 艷目 錄摘 要 . . 1abstract . . 1一、三角函數(shù)的起源與發(fā)展 . . 2二、三角函數(shù)的三種證明方法 . . 21、化角 . . 22、化函數(shù) . . 33、化冪 . . 4三、利用“1”在三角函數(shù)中的作用 . . 5四、三角函數(shù)的應(yīng)用 . . 61、三角函數(shù)在三角形邊角關(guān)系中的應(yīng)用 . . 62、三角函數(shù)在求物理問題中的應(yīng)用 . . 7結(jié)束語

2、. . 8參考文獻(xiàn) . . 9致謝 . . 10摘 要三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個重要的內(nèi)容，也是高考中一個考試要點，證明三角恒等式是三角函數(shù)中的一個重要內(nèi)容，也是難點之一，有的時候證明起來感到不知從何處下手，因此我們需要掌握一些基本的證明三角恒等式的方法，以便我們在實際應(yīng)用時能快速的找出解決問題的方法。本文分四個方面展開論述。第一部分，主要介紹了三角函數(shù)的起源與發(fā)展；第二部分，通過化角、化函數(shù)、化冪三種方法證明三角恒等式，并對各種方法進(jìn)行例題展示和總結(jié)；第三部分，介紹了“1”在三角函數(shù)中的作用；第四部分，通過介紹三角函數(shù)在三角形邊角關(guān)系、物理問題中的應(yīng)用，突出三角函數(shù)的重要性。關(guān)鍵詞：三角

3、函數(shù) 證明方法 觀察能力 分析能力abstractTrigonometric functions is a high school mathematics teaching important content, is also an entrance examination points to prove trigonometric identities trigonometric functions are an important part, is one of the difficulties, sometimes it feels that I do not know where to

4、 start, so we need to know some basic ways to prove trigonometric identities, so that in practical applications we can quickly find a solution to the problem.This paper discusses four fronts. The first part introduces the origins and development of trigonometric functions; the second part, through t

5、he of the angle, of the function of the power of three methods to prove trigonometric identities, and show examples of various methods and summary; third part describes the "1" in the role of trigonometric functions; fourth part, by introducing the trigonometric relations in triangle corne

6、rs, physical problems in the application, highlighting the importance of trigonometric functions.Keywords: trigonometric functions proved observation analysis淺談三角函數(shù)的證明及應(yīng)用一、 三角函數(shù)的起源與發(fā)展三角學(xué)形成于公元1600年，主要是為了解決三角形的測量問題，在研究平面三角形和球面三角形的邊和角的關(guān)系的基礎(chǔ)之上，將其應(yīng)用到測量上的一門學(xué)科。早期的三角學(xué)萌芽于天文學(xué)，古希臘、印度和阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)中有三角學(xué)內(nèi)容，可大都是天文觀測的副產(chǎn)品。

7、直到納西爾丁的橫截線原理書才開始使三角學(xué)脫離天文學(xué)，隨后在解決實際問題的過程中逐漸發(fā)展起來，后來研究范圍不斷擴(kuò)大，成為以三角函數(shù)為主要研究對象的數(shù)學(xué)科目。現(xiàn)在，三角學(xué)的研究范圍已不僅僅限于三角形，已經(jīng)發(fā)展成為數(shù)理分析的基礎(chǔ)，并成為研究應(yīng)用科學(xué)一個常用工具。二、 三角函數(shù)的三種證明方法1、化角在觀察所要證明的三角函數(shù)恒等式中我們常常會發(fā)現(xiàn)等式的左右兩邊含有不同角的三角函數(shù)，因此我們要從角的簡化入手，來消除角間存在的差異，從而以便我們在證明時可以利用公式進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化。例1 求證 ：tan 3tan 2tan tan 3tan 2tan -=分析：觀察題目可知，本題的關(guān)鍵是角的關(guān)系：32=+，然后

8、在利用兩角和的三角函數(shù)公式，便可做出以下證明：證明：左邊=tan 2tan tan 2tan 1tan 2tan +- =(tan 2tan tan 2tan 1tan 2tan +-=tan 3tan 2tan =右邊因此，原等式得證?？偨Y(jié)：我們在證明含有不同角的恒等式時，要對三角函數(shù)中的角進(jìn)行認(rèn)真的分析，找出角與角之間的關(guān)系，同時也應(yīng)掌握好三角函數(shù)中公式的運用。 例2 求證：cos(1 cos cos sin(1 sin n x x nx n x x -=-分析：由題目可知，在等式的左邊有(1 n x -、x 、nx ，而在等式的右邊只有(1 n x -和x ，因此我們需把nx 轉(zhuǎn)化成(1

9、n x -的形式，同時我們也可以發(fā)現(xiàn)左邊是余弦而右邊是正弦，所以可以考慮運用余弦的兩角和公式，從而使得等式的左右兩邊相等。證明：左邊=cos(1 cos cos(1 n x x n x x -+=cos(1 cos cos(1 cos sin(1 sin n x x n x x n x x -+-=sin(1 sin n x x -=右邊因此，原等式得證?？偨Y(jié)：在證明三角函數(shù)時，我們應(yīng)該觀察左右兩邊的變化，從而逆著去思考，從相反方向去推導(dǎo)?；堑淖C明方法可以總結(jié)出以下步驟：(1觀察等式左右兩邊三角函數(shù)的角，找出角與角之間的關(guān)系，減少不同角，配出和差角。(2展開兩角和差公式，靈活運用三角函數(shù)公式

10、。(3化簡得證。2、 化函數(shù)在證明三角函數(shù)時，我們常常會遇到等式中只含有同角三角函數(shù)，則可以從函數(shù)名入手，抓住函數(shù)名稱的變化，找出規(guī)律和證明方法。這也是證明三角函數(shù)恒等式的一種基本技巧。例3 求證：222222tan cot 11sin cos cos sin a-=+- 分析：觀察題目可知，在所給的三角函數(shù)中有正弦、余弦、正切、余切等三角函數(shù)，而且等式左右兩邊都是同角三角函數(shù)，在這種情況下我們通常都是將切化弦，即將等式化成只含有正弦和余弦的三角函數(shù)。證明：左邊=224422222222sin cos sin cos sin cos cos sin sin cos -=- =2222sin c

11、os cos sin a + =2211cos sin +=右邊 因此，原等式得證?？偨Y(jié)：由證明可知，在含有切和弦的三角證明中，我們要靈活的運用切化弦的公式，在通過簡化來使等式成立。例4 求證：1sin 2cos 2tan 1sin 2cos 2+-=+ 分析：觀察題目可知，等式的左邊函數(shù)是正、余弦，而右邊是正切函數(shù)；同時我們也可以發(fā)現(xiàn)左邊是復(fù)角2，右邊是單角，所以我們須將2化為。因此我們應(yīng)從左邊證到右邊，即要將正、余弦化為正切。證明：左邊=(22222222sin cos 2sin cos cos sin sin cos 2sin cos cos sin +-+- =(2sin sin co

12、s 2cos sin cos +=tan =右邊因此，原等式得證?？偨Y(jié)：通過上述的證明，我們可以發(fā)現(xiàn)在證明時首先要仔細(xì)分析題目，不能拿到題目就盲目的證明，在有切和弦的函數(shù)中并不是所有的都是將切化為弦。從上述的例題中可以知道，在遇到含有切和弦時，把切化為弦不一定是最好的方法，我們應(yīng)該先觀察等式，如果在所要證明等式中切是比較簡單的函數(shù)，我們可以考慮把弦化為切，如果在等式中弦比較簡單或兩個都差不多，我們就應(yīng)該將切化弦。因此我們遇到這種題型時我們應(yīng)該從繁到簡。3、化冪在許多的三角函數(shù)恒等式中，有等式的一端比另一端次數(shù)高，因此我們應(yīng)用升、降冪公式作冪的轉(zhuǎn)化，以便更好地選用對公式面臨的問題實行變換，這也是

13、三角函數(shù)恒等式證明的一種技巧。例5 求證：4cos 44cos 238sin -+=分析：由題目可知，等式左邊的每一項的次數(shù)都是1，而等式右邊的次數(shù)為4；應(yīng)用降冪公式從右證到左。證明：右邊=(221cos 28212cos 2cos 22-=-+ =1cos 4212cos 22-+ =cos 44cos 23-+=左邊因此，原等式得證?？偨Y(jié)：從上式證明中，我們可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)我們碰到等式中的次數(shù)不一致時，可以利用升降公式使等式成立。例6 求證：(424232sin sin 25cos cos3cos 21cos 4x x x x x x +-=+ 分析：從等式中我們可以看到等式的左邊最高為4次，而

14、右邊最高為2次，若從左證到右，須將4次降為2次。同時我們發(fā)現(xiàn)在等式中有復(fù)角3x 、2x 和單角x ，因此還要將3x 和2x 化為x 。證明：左邊=(42244232sin 4sin cos 5cos 4cos 3cos 4x x x x x x +- =422422sin 3sin cos cos 3cos x x x x x +=(222222sin cos sin cos 3cos x x x x x +=222sin 4cos x x +(221cos x =+=右邊因此，原等式得證?？偨Y(jié)：通過上述的證明，告訴我們在證明時首先要仔細(xì)觀察等式中次數(shù)、角、項數(shù)的變化，然后通過利用三角函數(shù)公式

15、將其升、降冪，轉(zhuǎn)化角，加減項使得等式得證。三、 利用“1”在三角函數(shù)中的作用在證明三角函數(shù)等式中，“1”出現(xiàn)的頻率很高，在證明時，則可把“1”代換為22sin cos x x +或tan 45 以及cot 45 等，像這種題目有明確的“1”時，容易就對“1”進(jìn)行思考，但很多問題中潛在的“1”仍是解題的關(guān)鍵所在，對一個代數(shù)式進(jìn)行“加1減1”或“乘1除1”是培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的重要途徑。例7 求證：(2sin cos 1sin 2+=+分析：由題目可知，三角函數(shù)的等式兩邊只含有正弦與余弦，而等式右邊含有“1”，觀察等式左邊可知，我們可以將“1”代替“22sin cos +”。證明：左邊=22sin

16、cos 2sin cos +=1sin 2+=右邊因此，原等式得證?？偨Y(jié)：三角函數(shù)中巧用“1”代換三角函數(shù)。例8 求證：(2222tan cot 1tan tan 1cot cot 1+=+-+分析：此題給人的第一感覺便是利用tan cot 1=，而在等式中又含有2tan 和2cot ，因此我們很容易想到完全平方公式。而潛在的“1”便是解決此題的關(guān)鍵。證明：左邊=22tan cot 211+-22tan cot 2tan cot 1=+-(2t a nc o t 1=+- (tan cot 1tan cot 11=+- (t a n c o t 1t a n c o t 1t a nc o t

17、 =+- (22tan tan 1cot cot 1=+-+=右邊因此，原等式得證?？偨Y(jié)：在三角函數(shù)等式中，“1”有著特殊的地位和作用，但是在許多的證明中“1”常常是潛在題目中，需要我們仔細(xì)觀察，認(rèn)真分析。四、 三角函數(shù)的應(yīng)用1、三角函數(shù)在三角形邊角關(guān)系中的應(yīng)用三角函數(shù)在三角形邊角關(guān)系的應(yīng)用主要體現(xiàn)在邊角等式中，而證明邊角等式的常用的方法：一種是通過正弦定理，余弦定理等來代換原等式中的三角函數(shù)為便元素，使原等式變形為全含邊元素組成的代數(shù)恒等式之后，再使用代數(shù)等式證明的方式解決；另一種是把原等式中的邊元素用邊角關(guān)系式代換為三角函數(shù)，使原等式中邊元素全部消去而得到一新的三角函數(shù)等式，再依靠證明三角

18、恒等式的方法解決。例9 在ABC 中，a ，b ，c 分別是角A 、B 、C 的對邊，設(shè)2a c b +=，3A C -=,求證：sin B = 分析：由題意可知，欲求證B 的正弦，可利用題中的條件消去A 、C 而得證。 證明：設(shè)A B x +=，又3A C -=，得：26x A =+，26x C =-， 則 (s i n s i n s i n B A C x =+=因為 2a c b +=，由正弦定理得 s i n s i n 2s i n A C B +=，即 s i n s i 2s i n2626x x x +-= ， 所以 2s i c s i n c o s 2622x x =，

19、 即c o 2x = ，則sin 2x =所以sin sin 2sin cos 228 x x B x = 因此，原等式得證?？偨Y(jié)：本題中的三角函數(shù)變換是道只給出三角形中邊角之間的關(guān)系以及給角之間的關(guān)系的求證題目，已知的邊角都為非特殊的邊角，從表面看比較難，但仔細(xì)觀察所給邊角之間的關(guān)系，很容易可以得出其余特殊邊角之間會有一定的關(guān)系，從而可以得證。2、 三角函數(shù)在求物理問題中的應(yīng)用因正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都有最大值(為1 ，如果我們整理出來的物理量的表達(dá)式為正弦函數(shù)或余弦函數(shù)，我們可直接求其極值；若物理量的表達(dá)式不是正弦(或余弦 函數(shù)的基本形式，那么我們可以通過三角函數(shù)公式整理出正弦(或余弦 函數(shù)的

20、基本形式，然后在確定極值?，F(xiàn)將利用二倍角公式求極值如下：正弦函數(shù)二倍角公式：cos sin 22sin =如果所求物理量的表達(dá)式可以化成：cos sin A y = 則根據(jù)二倍角公式，有：2sin 2A y = 當(dāng) 045=時，y 有最大值：2max A y =例題10一間新房即將建成時要封頂，考慮到下雨時落至房頂?shù)挠甑文鼙M快地流離房頂，要設(shè)計好房頂?shù)钠露?，設(shè)雨滴沿房頂下淌時做無初速度無摩擦地運動，那么圖1所示四種情況中符合要求的是( 解析：雨滴沿房頂做初速度為零的勻加速直線運動，設(shè)房頂?shù)走呴L為L ，斜面長為S ，傾角為，根據(jù)運動學(xué)公式2at 21S =有sin gt 21cos 2L 2=，解得2sin gL 2cos sin gL t =，當(dāng)045=時，t 有最小值 答案：C 。 總結(jié)：三角函數(shù)在我們所學(xué)的各門學(xué)科都有攝入，我們在教授中學(xué)生學(xué)習(xí)三角函數(shù)時，要讓他們清楚三角函