數(shù)值分析試驗一

1、v1.0可編輯可修改數(shù)值分析第一次實驗報告姓名：學(xué)號：實驗1:1 .實驗項目的性質(zhì)和任務(wù)通過上機實驗，使學(xué)生對病態(tài)問題、線性方程組求解和函數(shù)的數(shù)值逼近方法 有一個初步理解。2 .教學(xué)內(nèi)容和要求1)對高階多多項式20p(x) (x 1)(x 2)(x 20) (x k) k 1編程求下面方程的解p(x) x19 0并繪圖演示方程的解與擾動量的關(guān)系。(實驗)2)對n 220,生成對應(yīng)的Hilbert矩陣，計算矩陣的條件數(shù)；通過先確定解獲得常向量b的方法，確定方程組H nx b最后，用矩陣分解方法求解方程組，并分析計算結(jié)果。(第三章，實驗題4)3)對函數(shù)1f(x) -x 1,11 25x的 Cheb

2、yshev點(2k 1)xk cos() k 1,2,., n 12(n 1)編程進行Lagrange插值，并分析插值結(jié)果。(第四章 實驗1)項目涉及核心知識點病態(tài)方程求解、矩陣分解和方程組求解、Lagrange插值。重點與難點算法設(shè)計和matlab編程。1) a.實驗方案：先創(chuàng)建一個20*50的零矩陣X,然后利用Matlab中的roots () 和poly ()函數(shù)將50個不同的ess擾動值所產(chǎn)生的50個解向量分 別存入X矩陣中。然后再將ess向量分別和X的20個行向量繪圖。 即可直觀的看出充分小的擾動值會產(chǎn)生非常大的偏差。即證明了這個問題的病態(tài)性。b.編寫程序：> > X=ze

3、ros(20,50);> > ve=zeros(1,21);> > ess=linspace(0,50);k=1;> > while k<=50ve(2)=ess(k);X(1:20,k)=roots(poly(1:20)+ve);k=k+1;end> > m=1;> > while m<=20figure(m),plot(ess,X(m,:);23m=m+1;endC.實驗結(jié)果分析和拓展由上面的實驗結(jié)果可以看出一個充分小的擾動值可以讓方程的解產(chǎn)生非常大的偏差，而且這個偏差隨著ess的變大偏差也隨即變大。但 可以看出在相對

4、小的根處根比較穩(wěn)定，也就是說這些根關(guān)于ess并不 敏感，而在較大根處時，根很不穩(wěn)定，即這些解關(guān)于 ess的變化是敏 感的。這就說明了這個問題本身就是一個病態(tài)問題，與算法好壞無關(guān)。若擾動在x78處，只要把程序中的ve (2)改為ve (3)即可，其圖 形和此類似。d.實驗結(jié)論：高次多項式擾動求方程解問題是一個病態(tài)問題。2) a.實驗方案：先創(chuàng)建一個20*20的零矩陣A,再通過給定解x和Hilbert矩陣求出 列向量b,然后通過LU分解法求出方程HX=b的解X,然后將x-X' 這一行向量存入A矩陣中，形成一循環(huán)，最后，如果Hilbert矩陣非 病態(tài)的話，則可輸出一個20*20的對角矩陣。b

5、.編寫程序：> > n=2;> > A=zeros(20,20);> > while n<=20x=1:n;H=hilb(n);b=H*x'L U=lu(H);y=Lb;X=Uy;A(n,1:n)=x-X'n=n+1;endWarning: Matrix is close to singular or badly scaled.Results may be inaccurate. RCOND =.Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.Results may be ina

6、ccurate. RCOND =.Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.Results may be inaccurate. RCOND =.Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.Results may be inaccurate. RCOND =.Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.Results may be inaccurate. RCOND =.Warning: Matrix is

7、close to singular or badly scaled.Results may be inaccurate. RCOND =.> > A+003 *Columns 1 through 100000000000000000000000000000000000000000000000Columns 11 through 200000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

8、000000000000C.實驗結(jié)果分析和拓展：當(dāng)Hilbert矩陣的階數(shù)比較小時，其解X和給定解x偏差不大；但當(dāng) Hilbert矩陣的階數(shù)變大時，偏差就會變大。這就說明了Hilbert矩陣是一組病態(tài)矩陣，從 Matlab運行中的Warning可以看出，其條件 數(shù)相當(dāng)大。d.實驗結(jié)論：Hilbert矩陣是一組病態(tài)矩陣，用它來做線性方程的系數(shù)矩陣時，往 往會得出與精確解相差較大的解。3) a.實驗方案：在區(qū)間【-1,1】上取點，先按Chebyshev取點,即xk=cos (2k-1 ) pi/2/(n+1)取點，然后再進行拉格朗日插值，繪出圖和插值點。而后再進行均勻取點再拉格朗日插值。將兩種插值

9、結(jié)果進行比較。b.編程實現(xiàn)：for a=1:10b=a+1;for c=1:bX(c)=cos(2*c-1)*pi/2/(a+1);丫(c)=1/(1+25*X(c/2);x=-1:1; endm=length(x);for i=1:m z=x(i);s=0; for k=1:bL=1;for j=1:b if j=k L=L*(z-X(j)/(X(k)-X(j);endend s=s+L*Y(k);endy(i)=s;endfigure(1)plot(x,y, 'r' );hold on;figure(2)plot(X,Y, 'b*')hold onend10

10、.90.80.70.60.50.40.30.20.10-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81for a=2:2:10b=a+1;X=linspace(-1,1,b);Y=1./(1+25*X.A2);x=-1:1;m=length(x);for i=1:mz=x(i);s=0;for k=1:bL=1;for j=1:bif j=kL=L*(z-X(j)/(X(k)-X(j);endends=s+L*Y(k);endy(i)=s;endfigure(1)plot(x,y, 'r' );hold on;figure(2)plot(X,Y, 'b*')hold onend21.5 1 0.50 -0.5-1-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.811 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.10 -1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81C.實驗結(jié)果分析及拓展：均勻插值時，當(dāng)n比較大時，就會出現(xiàn)多項式插值的Runge®象，即當(dāng)插值