導(dǎo)學(xué)案025平面向量的概念及線性運(yùn)算

1、濟(jì)寧學(xué)院附屬高中高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案編號(hào)024班級(jí)：高三()姓名:平面向量的概念及線性運(yùn)算考綱要求1. 了解向量的實(shí)際背景.2. 理解平面向量的概念，理解兩個(gè)向量相等的含義.3. 理解向量的幾何表示.4. 掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義.5. 掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義.6. 了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義. 考情分析1. 平面向量的線性運(yùn)算是考查重點(diǎn).2. 共線向量定理的理解和應(yīng)用是重點(diǎn)，也是難點(diǎn).3. 題型以選擇題、填空題為主，常與解析幾何相聯(lián)系 教學(xué)過(guò)程基礎(chǔ)梳理1.向量的有關(guān)概念(1)向量：既有_又有的量叫向量；向量的大小叫做向量的相同的向

2、量. 相反的向量.(2) 零向量：長(zhǎng)度等于 的向量，其方向是任意的.(3) 單位向量：長(zhǎng)度等于 的向量.(4) 平行向量：方向 或 的非零向量，又叫共線向量,規(guī)定：0與任一向量共線.(5) 相等向量：長(zhǎng)度相等且(6) 相反向量：長(zhǎng)度相等且(1) 定義：實(shí)數(shù) 入與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫向量的數(shù)乘，記作，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下： I入aU |入|a|;；當(dāng)入V 0時(shí)，入a與a的方向 當(dāng)入0時(shí)，入a與a的方向當(dāng)入=0時(shí)，入a = 0.(2) 運(yùn)算律：設(shè)入，卩是兩個(gè)實(shí)數(shù)，則入(卩a)=(入卩)a :(入+卩)a =入a+卩a； 入(a + b)=入a+入b.4. 共線向量定理向量a(a豐0)

3、與b共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)入，使得雙基自測(cè)1. 下列給出的命題正確的是A. 零向量是唯一沒(méi)有方向的向量B. 平面內(nèi)的單位向量有且僅有一個(gè)則a與c是方向相同的向量C. a與b是共線向量，b與c是平行向量,D.相等的向量必是共線向量2. 如右圖所示，向量a b等于A.B.4e1 2e22e1 4e2CD.3.e1 3e23e1 e2（教材習(xí)題改編）設(shè)a， b為不共線向量，AB= a+ 2b， BC= 4a b,CD= 5a 3b,則下列關(guān)系式中正確的是（）B. AD= 2BC.AD=-2BCA . AD= BCC . AD=-BCD4. 化簡(jiǎn)：AB+ DA CD= _5. 已知a與b是兩

4、個(gè)不共線向量，且向量 a+入b與一（b 3a）共線，貝U入=典例分析考點(diǎn)一、平面向量的基本概念例1給出下列命題： 兩個(gè)具有共同終點(diǎn)的向量，一定是共線向量； 若A，B，C, D是不共線的四點(diǎn)，貝U AB= DC是四邊形ABCD為平行四邊形的充 要條件； 若a與b同向，且|a|>|b| ，則a>b； 入，卩為實(shí)數(shù)，若入a=卩b,則a與b共線.其中假命題的個(gè)數(shù)為（）A. 1B. 2C. 3D. 4 變式1設(shè)a0為單位向量，若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則a=假命題的個(gè)數(shù)是（）B. 1D. 3|a|a0 ；若a與a0平行，則a= |a|a0 ；若a與a0平行且|a| = 1,則a= a0. 上述

5、命題中，A. 0C. 2方法總第涉及平面向量有關(guān)概念的命題的真假判斷， 準(zhǔn)確把握概念是關(guān)鍵；掌握向量與數(shù)的區(qū)別,充分利用反例進(jìn)行否定也是行之有效的方法考點(diǎn)二、例2BA+ CM EF=平面向量的線性運(yùn)算（2011 四川高考）如圖，正六邊形ABCDEI中, （ ）£> f.A. 0B. BECifC . ADD. CF變式1本例條件不變，求AC AF.變式2. （2012 杭州五校聯(lián)考）設(shè)點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在直線BC外, BC2 = 16,|AB + AC匸 |AB AC|，J則|AM| =(B. 4D. 1方法總結(jié)1. 進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí)，要盡可能地將它們轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三

6、角形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線定理、相似多邊形對(duì)應(yīng)邊成比例等性質(zhì)， 把未知向量用已知向量表示出來(lái).實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號(hào)、移項(xiàng)、合并 提取公因式等變形手段在向量線性運(yùn)算中同樣適用.運(yùn)用上述法則可簡(jiǎn)2. 向量的線性運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算， 同類項(xiàng)、 化運(yùn)算考點(diǎn)三、共線向量例3（2012 南昌模擬）已知向量a，b不共線，c = ka+ b（k R）, d = a b. 如果c / d，那么（）A. k= 1且c與d同向 B . k = 1且c與d反向C. k= 1且c與d同向 D . k= 1且c與d反向變式2e3. （2012 南通月考）設(shè)ei, e2是兩個(gè)不共線向量，已知A

7、B=1 8e2，CB= e1 + 3e2， CD= 2e1 e2.求證：A、B、D三點(diǎn)共線；若BF= 3e1 ke2，且B、D F三點(diǎn)共線，求k的值.方法總結(jié)1. 向量b與非零向量a共線的充要條件是存在唯一實(shí)數(shù) 入使b=入a.要注意通常 只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，要注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn) 用.2. 證明三點(diǎn)共線問(wèn)題，可用向量共線來(lái)解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn) 共線.丄！一易錯(cuò)矯矯正帶略0的特殊性導(dǎo)致的錯(cuò)誤考題范例（2012 臨沂模擬）下列命題正確的是A.向量a、b共線的充要條件是有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)入，使b=入a；ABC中

8、, AB+ BC+ CA= 0;C不等式|a| |b| < |a + b| < |a| + |b|中兩個(gè)等號(hào)不可能同時(shí)成立;D.向量a、b不共線，則向量a+ b與向量a b必不共線失誤展板錯(cuò)解一：a、b共線，必然是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù) 入，使b=入a，故選A.錯(cuò)解二：首尾相連，始終如一.在 ABC中，AB BC CA圍成 了一個(gè)封閉圖形，故AB+ BC+ CA= 0,故選B.錯(cuò)解三：當(dāng)a與b同向時(shí)，式子中第一個(gè)等號(hào)不成立；當(dāng)a與b反向時(shí)，式子中 第二個(gè)等號(hào)不成立，當(dāng)兩個(gè)向量不共線時(shí)， 兩個(gè)等號(hào)都不成立，故兩個(gè)等號(hào)不可 能同時(shí)成立，故選C.錯(cuò)因：錯(cuò)解一，忽視了 aM0這一條件.錯(cuò)解二，忽

9、視了 0與0的區(qū)別，AB+ BC + CA= 0;錯(cuò)解三，忽視了零向量的特殊性，當(dāng) a= 0或b = 0時(shí)，兩個(gè)等號(hào)同時(shí) 成立.正確解答向量a與b不共線，b, a + b與a b均不為零向量.若a+ b與a b平行，則存在實(shí)數(shù)入，使a+ b=入（a b）,即（入一1）a = （1 +入）b，r 1二0 ，入無(wú)解，故假設(shè)不成立，即a+ b與a b不平行,11 + 入=0故選D.一條規(guī)律一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量 終點(diǎn)的向量.兩個(gè)防范（1）向量共線的充要條件中要注意“ aM0”，否則入可能不存在，也可能有無(wú)數(shù) 個(gè).證明三點(diǎn)共線問(wèn)題，可用向量共線來(lái)解決，但

10、應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的 區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線；另外，利用向量 平行證明向量所在直線平行，必須說(shuō)明這兩條直線不重合.本節(jié)檢測(cè)1. （2012 濰坊模擬）在四邊形ABCD中 AB = DC，且| AB | = | BC |，那么四 邊形ABC助（）A.平行四邊形C.長(zhǎng)方形2 設(shè)P是 ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),B.菱形D.正方形BC + BA = 2 BP，則(A.PA + PB = 0B.PC + PA = 0PB + PC = 0D.PA + PB + PC = 0（2012 揭陽(yáng)模擬）已知點(diǎn)0為 ABC外接圓的圓心，且3.則 ABC的內(nèi)角A等于（A.C.OA+OB+CO = 0,4.A.A.C.30°90°)B. 60°D. 120°（2012 銀川模擬）在 ABC中,D為AB邊上一點(diǎn),若 AD = 2 DB , CD X入CB，則入的值為（b-3C.已知向量,其中a、b均為非零向量,則Ipl的取值范圍是（）0，邊(0,2B