遞推數(shù)列求通項的幾種常見方法

1、遞推數(shù)列求通項的幾種常見方法一般地，若數(shù)列a n的連續(xù)若干項之間滿足遞推關系an= f( a n-1 , an-2，an-k)由這個遞推關系及k個初始值確定的數(shù)列，叫做遞推數(shù)列。遞推數(shù)列的重點、難點問題是求通項。求遞推數(shù) 列通項的方法較多、也比較靈活，基本方法如：迭加法；迭乘法；轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求通項 法；歸納一一猜想一一證明法等，其中主要的思路是通過轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列來解決問題。一、型如an+i=an+f(n)可用迭加法求通項例1已知數(shù)列a n滿足ai=1 , an+i=an+2n，求通項an。解：由遞推公式得an- an-i=2(n-1)an-i- an-2=2(n - 2) a

2、3- a2=2 2 a2- ai=2 1以上(n-1)個等式相加得 an-a1=2(n-1)+(n-2)+2+1=2 疏；1)= n(n-1)2又 a1=1- - an=1+ n(n-1)=n -n+112+22+32+ +注：一般地，f(n)可分解成等差數(shù)列、等比數(shù)列求和(或常用的數(shù)列和公式，如2 1 n2= n(n 1)(2n 1)等)。6二、型如an+1=f(n)a n(f(n)不是常數(shù))可用迭乘法求通項1 2例2已知數(shù)列an中，a1=, Sn= n2an，求通項冇。2解：當 n>2 時 an=Sn- Sn-1= n2an- (n- 1)2an-1ana3a24a43a35= 4a

3、46an n _ 2 an/na*n-1an 4n 1以上(n-1)個等式相乘得3|3 4 5 62n(n 1)1an=n(n 1)(n > 2)1an =n(n 1)1/ a 1=1適合上式2注：一般地，數(shù)列 an+1=f(n)an, f(n)是分式的形式，且是n的關系式。三、型如an+1=pan+f(n) (p為常數(shù)且pz 0, pz 1)可用轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列等(1) f(n)= q (q為常數(shù))，可轉(zhuǎn)化為an+1+k=p(an+k)，得 an+k 是以a1+k為首項，p為公比的等比數(shù) 列。例3已知數(shù)列a n中，a1=1, an+1=3an+2，求通項an。a +1an+i+1=3(a

4、n+1) n+=3 二a n+1是一個以a什仁2為首項，以3為公比的等比數(shù)an +1列 an+ 仁2 3n-1 a n=2 3n-1-1。注：一般地，對遞推關系式an+1=pan+q (p、q為常數(shù)且，pz 0, p豐1)可等價地改寫成an 1 = p(an)則 an 成等比數(shù)列，實際上，這里的 是特征方程1 - p1 - p1 - p1 - px=px+q 的根。aaaf(n)為等比數(shù)列，如f(n )= q n (q為常數(shù))，兩邊同除以qn,得 q =p ' 1，令bn= nnqqq可轉(zhuǎn)化為bn+1=pbn+q的形式。511例4已知數(shù)列a n中，a1=, a n+1= an+ ()

5、n+1，求an的通項公式。6321解：an+1=an+(1 ) n+1 乘以 2n+1 得 2n+1an+1=2(2nan)+1 令 bn=2nan貝U b n+1 =bn+13233(解法同例3)易得 bn=_4(2)2 亠 3即 2 nan =-(2)nJ 33 33 33n(3) f(n)為等差數(shù)列n, n是奇數(shù)an=。、n十2, n是偶數(shù)例5已知已知數(shù)列an中，a1=1, an+1+an=3+2 n,求an的通項公式。 解： an+1 + an=3+2 n , an+2 +an+1=3+2(n+1)，兩式相減得 an+2- an=2因此得，a2n+1=1+2( n-1), a2n=4+

6、2( n-1).注：一般地，這類數(shù)列是遞推數(shù)列的重點與難點內(nèi)容，要理解掌握。ra + s四、型如an+1=- (p、q、r、s為常數(shù))可構造為an+1=pan+q類型pan q3a +2例6已知數(shù)列a n中，a1=4，且an+1=n ，求通項a*。an +4解:-1=2an -2an 4an+1+23J® 10an+4an+4a* 1 T 2 an T是 = an 125an2從而有色一1成等比數(shù)列。k+2故有里匸1 =仝二（2）an +2 印 +25a1 -1n-11(5)n.5nl -2nJ a5nl-2nj(門N)。注：一般地，設a、3是遞推關系的an+1 =ran s(P、q

7、q、r、s為常數(shù)）的特征方程panrx sx=( Ppx q豐O,rq-ps豐0）的兩根。（1 ）若久豐3，可令bn=色ana'，則b n成等比數(shù)列；（2） a =3 ,可P1令bn=，則 bn成等差數(shù)列。a - a五、型如an+2=pan+1+qan（p、q為常數(shù)）變形為an+2- a an+1= 3 （a n+1- a an）可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列12 ,例7已知an中，a1=1, a2=2, an+2= an+什一 an，求an的通項公式。3解軍：設an+2- a an+1= 3 (a n+1- aan），變形得21、/an+2= ( a + 3 ) an+1- a 3 an,與 an

8、+2=an+1+an 比較得33或仃=131 、 1 1-an+2- a n+1=-(an+1- a n) 或 an+2+an+1=an+1+an33311-的等比數(shù)列，（或得數(shù)列為+ a n-1是以一為首項，-331 .為首項，公比為3即 an- a n-1 = （- ） n-13（解法同例1或例2）易得an=- 91）n44391 n（- ）n443注：一般地，若apn+2+bpn=1 + Cpn=0可等價地改寫 兩種形式，則 P n+1- a Pn 以及 P n+1- 3 5 都成等比數(shù)列，分別求通項后再聯(lián)立解出 這里a、3是方程 ax2+bx+c=0的兩個不等實根。也可用下法求2apn+2+bpn=1+cpn=0 的特征方程 ax +bx+c=0 （ a* 0）的兩根。（1 ）當當a =3時，Pn=（An+B） an。其中常數(shù)A, B由初始值用待定系數(shù)法決定。得數(shù)列an- an-1是以公比為1的等比數(shù)列）1an +3a n