高中數(shù)學(xué)平面向量知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及常見題型x

1、平面向量一.向量的基本概念與基本運(yùn)算1向量的概念： 向量：既有大小又有方向的量 向量一般用a,b,c來表示，或用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)的大寫字母表示，如：AB幾何表示法 AB , a ；坐標(biāo)表示法a =xi ? yj (x, y). 向量的大小即向量的模(長(zhǎng)度)，記作| AB |即向量的大小，記作I向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^ 大小.零向量：長(zhǎng)度為0的向量，記為0,其方向是任意的，0與任意向量平行 零向量a = 0 =I a I = 0”由于0的方向是任意的，且規(guī)定 0平行于任何向量，故在有關(guān)向量平行 (共線)的問題中 務(wù)必看清楚是否有“非零向量”這個(gè)條件 .(注意與0的區(qū)別) 單位向量

2、：模為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量 向量a。為單位向量二I a。I = 1 平行向量(共線向量)：方向相同或相反的非零向量任意一組平行向量都可以移到同一直線上方向相同或相反的向量，稱為平行向量.記作a b 由于向量可以進(jìn)行任意的平移(即自由向量)，平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量相等向量經(jīng)過平移后總可以重合，記為% =X2小相等,方向相同(xyj = (x 2, y 2)二y22向量加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量的加法t 4 4設(shè) AB 二 a, BC =b,貝 y a + b =AB BC = AC(1) 0 a a , 0二a ； ( 2)向

3、量加法滿足交換律與結(jié)合律；向量加法有“三角形法則”與“平行四邊形法則”：(1)用平行四邊形法則時(shí)，兩個(gè)已知向量是要共始點(diǎn)的，和向量是始點(diǎn)與已知向量的始點(diǎn)重合的那條對(duì)角線，而差向量是另一條對(duì)角線，方向是從減向量指向被減向量(2)三角形法則的特點(diǎn)是“首尾相接”，由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)當(dāng)兩個(gè)向量的起點(diǎn)公共時(shí)，用平行四邊形法則；當(dāng)兩向量是首尾連接時(shí)，用三角形法則？向 量加法的三角形法則可推廣至多個(gè)向量相加：AB BC CD PQ ? QR二AR但這時(shí)必須“首尾相連” ?3向量的減法相反向量：與a長(zhǎng)度相等、方向相反的

4、向量，叫做 a的相反向量記作-a,零向量的相反向量仍是零向量關(guān)于相反向量有：(i) -(-a) =a ； (ii) a+( -a )= ( - a)+ a = 0 ； (iii)若a、b是互為相反向量，則 a=-b, b = -a, a + b=0向量減法：向量a加上b的相反向量叫做a與b的差，記作：a - b 二a ? ( -b)求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法作圖法：a -b可以表示為從b的終點(diǎn)指向a的終點(diǎn)的向量(a、b有共同起點(diǎn))4實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)入與向量a的積是一個(gè)向量，記作 入a,它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：(I) a a(n)當(dāng)1* 0時(shí)，入a的方向與a的方向相同；當(dāng).0時(shí)，入a

5、的方向與a的方向相反；當(dāng) -0時(shí)，=0 ,方向是任意的數(shù)乘向量滿足交換律、結(jié)合律與分配律5兩個(gè)向量共線定理：向量b與非零向量a共線二有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得b = a6平面向量的基本定理：如果a, e是一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)r, , 2使：a r e2e2,其中不共線的向量 e ,e 2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底7特別注意：(1 )向量的加法與減法是互逆運(yùn)算(2)相等向量與平行向量有區(qū)別，向量平行是向量相等的必要條件(3) 向量平行與直線平行有區(qū)別,直線平行不包括共線(即重合)，而向量平行則包括共線 (重合)的情況(4 )向量的坐標(biāo)與

6、表示該向量的有向線條的始點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無關(guān)，只與其相對(duì)位置有關(guān)二.平面向量的坐標(biāo)表示1平面向量的坐標(biāo)表示：科彳在直角坐標(biāo)系中，分別取與P軸、P軸方向相同的兩個(gè)單位向量？, j作為基底 由平面向量的基本定理知，該平面內(nèi)的任一向量a可表示成a = xi ? I，由于a與數(shù)對(duì)(P,P)是一一對(duì)應(yīng)的，因此把(P,P)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a=(P,P),其中P叫作a在P軸上的坐標(biāo)，P叫做在P 軸上的坐標(biāo)(1)相等的向量坐標(biāo)相同，坐標(biāo)相同的向量是相等的向量(2)向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的始點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無關(guān)，只與其相對(duì)位置有關(guān)2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：(1)若 a 二 xjyi ,b = X

7、 2,y2J a b = Xi X2,yi -y?若 A Xi, y i , B X 2, y 2 ,則 AB 二 x? -y? - y 若 a=(P,P),貝 a=( p, P)(4)若 a =： 1 % ,b =： i. x2,y 2,則 a/b= %y 2 - x 2% =0 若 a = F % ,b 二 X2,y 2,則 a b 二 X X2 5 y若 a _ b ,貝 v x x2 yi y2 二 03向量的運(yùn)算向量的加減法，數(shù)與向量的乘積，向量的數(shù)量 (內(nèi)積)及其各 運(yùn)算的坐標(biāo)表示和性質(zhì)運(yùn)算類 型幾何方法坐標(biāo)方法運(yùn)算性質(zhì)向量的 加法i平行四邊形法則2三角形法則a M=b + a.

8、(Ab) A=aAB+BC = AC向量的 減法三角形法則a*=(x-xA-粉向量的 乘法Xa是一個(gè)向量, 滿足：九0時(shí)，入a與a同向；-九v0時(shí)，入a與a異 向；扎=0 時(shí),ha = 0 *九 a =(人 x,hy)J向量的數(shù)量積a *b是一個(gè)數(shù)a = 0或bq寸，a*b=0a式0且b式0時(shí)，a *b 4a|b|coAa,b>4 4a? b=X禺+須a _ b = a +( _b)t T一OB-九岸a)=(九邑)a(X + P)a = Aa + Pa 丸 Q + b)=丸 a +丸 b a b = a =Zb三.平面向量的數(shù)量積a? b = b ? aQa) *b =a ? (Ab)

9、=k(a ?b) (a +b) ?6 = a*6 + b *c2 | _|2|:2 _L2a = a| , |a?x +ya-1兩個(gè)向量的數(shù)量積：斗斗斗已知兩個(gè)非零向量 a與，它們的夾角為 二，則a ? b = I a I ? I b I cos邛”故a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)規(guī)定0以=0 La b2向量的投影：I b I cos*驢？ R,稱為向量b在a方向上的投影 投影的絕對(duì)值稱|a|為射影斗斗3數(shù)量積的幾何意義：a ? b等于a的長(zhǎng)度與b在a方向上的投影的乘積4向量的模與平方的關(guān)系：a :舄2描|25乘法公式成立：耳 =酉-| 2a b j 法-b i= a2 - b2IT :2 2 2a

10、2a _b i ; =a2 =2a b b 21 2 -2a b b6平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律： 交換律成立：a b =b a 對(duì)實(shí)數(shù)的結(jié)合律成立： a b a b =a ? 'b 。匚R 分配律成立：a二b c 二ac二bC二c, a二b特別注意：(1)結(jié)合律不成立：a b c V ' | a b c44 4呻呻(2) 消去律不成立 a b = a c 不能得到b = c ?呻呻* F 呻中(3) a b =0不能得到a=0或b =07 兩個(gè)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算：已知兩個(gè)向量 a =(x i,y i),八(x 2, y 2),則 a ? b = X1X28,向量的夾角：已知兩

11、個(gè)非零向量a與b,作(0。w < 1800 OA= a，OB =b，貝AOBW叫做向量a與b的夾角cos曲cos M, b X *xzyy | a| 卡叔2 +y十 22 + 土當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)非零向量 a與b同方向時(shí)，0 =0 ,當(dāng)且僅當(dāng)a與b反方向時(shí)0 =180 ,同時(shí)0與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題- -4 "fcP 呻H 呻9垂直：如果a與b的夾角為90則稱a與b垂直，記作a ± b 10兩個(gè)非零向量垂直的充 要條件：a _L b = a ? b = O= x X %y =0.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)題型1.基本概念判斷正誤：(1 )共線向量就是在同一條直線上

12、的向量(2)若兩個(gè)向量不相等，則它們的終點(diǎn)不可能是同一點(diǎn)與已知向量共線的單位向量是唯一的一四邊(3)形ABC優(yōu)平行四邊形的條件是 AB二CD?若AB =CD則A B、C D四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形(4) (6 )因?yàn)橄蛄烤褪怯邢蚓€段，所以數(shù)軸是向量.若a與b共線，b與c共線，則a與c共(5)線.(8) 若 ma ,則 a =b.(9)若 ma 'na,貝 m 二巳.4(10)若a與b不共線，則a與b都不是零向量.(11)若 a b =| a | | b | ，則 a/b .(12)若 | a ? b |=| a b | ,則 a _ b .題型2.向量的加減運(yùn)算彳T J1 .設(shè)a表示“向東走

13、 8krnf , b表示”向北走6km” ，則| a - b | 二2 .化簡(jiǎn)(AB MB)BO BCAOMt3 .已知£ |迄|OB '3 ,則| AB |的最大值和最小值分別為 立、ADBC.4 .已知AC為AB與AD的和向量，且 AC二a, BD =b，則AB -3_5 .已知點(diǎn)C在線段AB上，且AC AB ,則AC_ BC , AB -5題型3.向量的數(shù)乘運(yùn)算才彳1.計(jì)算：(1) 3(a b)-2(a b) =2(2a ? 5b - £ -3(-2a 3b -2*)=2.已知 a =(1, 一 4), ; =(一 3,8)，則 3a - ±:2題型

14、4.作圖法球向量的和已知向量a,b,如下圖，請(qǐng)做出向量13a b 和 2a b2題型5.根據(jù)圖形由已知向量求未知向量_1 .已知在ABC中,D是BC的中點(diǎn)，請(qǐng)用向量 AB,AC表示ABFn2 .在平行四邊形 ABCD中,已知尼=a，BD =b,求題型6.向量的坐標(biāo)運(yùn)算1 .已知 A (4,5) , A(2,3),則點(diǎn)B的坐標(biāo)是2 .已知 PQ =( -3,則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是3 .若物體受三個(gè)力Fi二(1,2) , F2 = (-2,3) , F3 = (-1,-4)，則合力的坐標(biāo)為4 .已知"=(343 ；4)b =b5=25,2)錄 ba S 色-3：-2b.5 .已知 A(1,2),

15、 B(3,2)，向量八(x 2,八3八2)與AB相等，求x, y的值.TI46 .已知 AB=(2,3) , BC =(m, n) , CD =(-卑則 DA =7 .已知0是坐標(biāo)原點(diǎn)，A(2, -1), B(_4,8),且AB 3BC = 0 ,求OC的坐標(biāo).題型7.判斷兩個(gè)向量能否作為一組基底j已知q,e2是平面內(nèi)的一組基底，判斷下列每組向量是否能構(gòu)成一組基底：i1?A. e + 僉和 e e? b. 3e) 2e?和 4e2 6e C. g +3e2和 e2 3G d. e2和 e2e叫護(hù)HCW)D.i £5 55 5題型8.結(jié)合三角函數(shù)求向量坐標(biāo)1.已知。是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) A在

16、第二象限，10A|=2, xOA=150 :，求 .OA 的坐標(biāo).2.已知O是原點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，|OA|=4j3, xOA=60 ，求題型9.求數(shù)OA的坐標(biāo). 積1.已知|a |=3,|b |=4,且a與b的夾角為60,求(1)1(3) (a b) b , (4) (2a -b) (a 3b).22.已知 a 二6),b ； (d,10),求(1)|a|,|b|, ( 2)(4)(2a-b) (a 3b).題型10.求向量的夾角TT1 .已知 |； |=8,|b | = 3 , a b =12,求 a 與 b 的夾角.2 .已知 a =C: 3,1),b =(-2 J3,2),3 .已知

17、A(1,0) , B(0,1) , C(2,5),求 cos BAC .題型11.求向量的模1 .已知|a | = 3,|b | = 4 ,且a與b的夾角為60,求(1) |a-bl(2)2 .已知 a =(2, -6),b =(-8,10),求(1)|a|,|b|, (5)|a b |, (6)(a b),(2a b),|2a -3b | .1 |aAb |.3 .已知 |a|=1,|b 1=2 , |-2b R3 ,求 |3a b1. 4題型 12. 求單位向量【a 平行的單位向量：|a|±1. a =(12,5) 平行的單位向量是12. m=( - 1, ) 平行的單位向量是2

18、題型 13. 向量的平行垂直1 .已知 a =(6,2), I=(； ,m),當(dāng) m 為何值時(shí)，(1)八b ?( 2) I _b?2 .已知a =(1,2), b=( 3,2) , (1) k為何值時(shí)，向量ka b與1-35垂直？(2)k為何值時(shí)，向量ka b與1-3右平行？耳3 .已知a是非零向量， a b=a c，且b ,求證：a -L(& _c).題型14.三點(diǎn)共線問題1 .已知 A(0,-2) , B(2,2) , C(3,4),求證：A, B,C 三點(diǎn)共線.2 . 設(shè) AB 平 (a 5b), BC = 2a 8b,CD =3(a -b),求證:A B、 D 三點(diǎn)共線.3 .

19、已知ABb, BC - 5; 6b, CD = 7八2b ,則一定共線的三點(diǎn)是4 .已知A(1,-3) , B(8, -1),若點(diǎn)C(2a-1,a2)在直線AB上，求a的值.5 .已知四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo) 0(0,0) , A(3,4) , B(-1,2) , C(1,1),是否存在常數(shù)t,使T T TOA tOB= 0(成立？題型二判斷多邊形的形狀斗1 .若AB=3e CD - -5e ,且|AD|=|BC| ,則四邊形的形狀是二2 .已知 A(1,0) , B(4,3) , C(2,4) , D(0, 2),證明四邊形 ABCD梯形.3 .已知A(-2,1) , B(6, -3) - C(0,5)

20、,求證：ABC是直角三角形.4 .在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，OA =(_1,8),OB =(_4,1),OC =(1,3)，求證：ABC是等腰直角三角形.題型16.平面向量的綜合應(yīng)用呻呻1 .已知a =(1,0) , b =(2,1),當(dāng)k為何值時(shí)，向量ka -b與a 3b平行？2 .已知 a=(jj, j5),且 a,b,| b |=2 ，求 b 的坐標(biāo).4 444 493 .已知a與b同向，b =(1,2)，則a b =10,求a的坐標(biāo). T斗44444 .已知 a =(1,2) , b =(3,1) , c=(5,4),則 C 二 a _ b .5 .已知 a =(5,10)，: =: (-3,-4) , C=(5,0),請(qǐng)將用向量 a,b 表示向量 C6 .已知a=(m,3) , b=(2,-1) , ( 1)若a與b的夾角為鈍角，求m的范圍；(2)若a與b的夾角為銳角，求m的范圍.斗斗7 .已知a =(6,2) , b =(-3,m)的夾角為鈍角？ ( 2) a與b的夾角為銳角？8 .已知梯形ABCD勺頂點(diǎn)坐標(biāo)分另fJ為A(-1,2) , B(3,4) , D(2,1),