工程數(shù)學(xué)(復(fù)變分析) 在自動(dòng)控制的應(yīng)用

1、工 程 數(shù) 學(xué)(複變分析) 在 自 動(dòng) 控 制 的 應(yīng) 用 陳念祖生機(jī)三乙 0914416摘 要利用由圖書館以及網(wǎng)路再加上大二所修習(xí)工程數(shù)學(xué)這門學(xué)科所找尋到的資料，探討工程數(shù)學(xué)在自動(dòng)控制上的應(yīng)用以及自動(dòng)控制一些的計(jì)算。由其數(shù)學(xué)運(yùn)算式我們更可以加以推算實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，利用工程數(shù)學(xué)我們並可以做出一些座標(biāo)圖,以便觀察討論物理意義。而此份報(bào)告乃是利用複變分析一. 前言二. 方法 利用修習(xí)工程數(shù)學(xué)的先修概念再配合查閱學(xué)校的圖書館以及internet來找尋與自動(dòng)控制相關(guān)書籍跟資料，在閱讀後，點(diǎn)出加以討論。三. 資料分析(一)複變分析 1. 共軛( Conjugate ) : 設(shè) z = a + bi 擇其共軛複

2、數(shù)為 z = a bi 基本性質(zhì)有(i) z + = 2a a = Rez = z + / 2(ii) z = 2bi b = Imz = z / 2i (iii) 若 z = 則 z 實(shí)數(shù) 。若 z = 則 z 為純虛數(shù)或零2. 絕對(duì)直 : 設(shè) z = a + bi 則 |z| = (a2 + b2) 表示z的大小(i) |z1 z2 zn| = |z1| |z2| |zn|(ii) |z1| |z2| |z1 z2| |z1| + |z2|(iii) |z1 z2 zn| |z1| + |z2| + + |zn|(iv) z = (a + bi)(a bi) = a2+ b2= |z|23

3、. 複數(shù)座標(biāo)(1) 直角座標(biāo) ( Rectangular coordinate)若水平的x軸表示實(shí)軸, 鉛直的 y 軸的表示虛軸 , 則 z = x + iy 表示複數(shù)平面上的一點(diǎn) P(x, y) 。(2) 向量座標(biāo) ( Vector coordinate)複數(shù)平面上的一點(diǎn)P(x, y) , 則 z = x + iy 表示P 點(diǎn)與原點(diǎn)所構(gòu)成的向量(a) 內(nèi)積( Dot product )設(shè) z1 = x1 + iy1 z2 = x2 + iy2 則 z1 z2 = |z1| |z2| cos = x1x2 + y1y2 = Rez1 z2 = 1 z2 + z12 /2其中 0 為z1 與 z

4、2 的夾角(b) 外積( Cross product )設(shè)z1 = x1 + iy1 z2 = x2 + iy2 則z1 z2 = |z1| |z2| sin = x1y2 y1x2 = Imz1 z2 = 1 z2 - z12/2i其中 0 為 z1 與 z2 之夾角(3) 極座標(biāo) ( Polar coordinate )設(shè) x = r cos y = r sin 0 2 r 0則 z = x + iy = r (cos + i sin ) = 其中 r = |z| = x2 + y2 稱為z 的模數(shù) ( modulus ) 或 z 的大小 ,而 = arg(z) = x/y x 0 = a

5、rg(z) =+x x 0而言，根軌跡的段落位於由右側(cè)開始之偶數(shù)段落上；反之，就K0而言，根軌跡方向始於開迴路轉(zhuǎn)移函數(shù) 極點(diǎn)，終於開迴路轉(zhuǎn)移函數(shù) 零點(diǎn)。而K0之漸近線角度為，而K0) (iiii)軌跡方向：由極點(diǎn)開始，K0終於零點(diǎn)(V)漸近線角度：就K0所以 (Vi)漸近線交點(diǎn)：位於實(shí)軸上， (Vii)分叉點(diǎn)：由上圖可知分叉點(diǎn)於0,-1間以及-5,-6間，共有兩點(diǎn)。而由 ，可得其根為：因此，分叉點(diǎn)分別為-0.4216及-5.5360。完整根軌跡圖則如下所示 而由根軌跡圖形可以瞭解閉迴路系統(tǒng)之穩(wěn)定特性，以做為設(shè)計(jì)系統(tǒng)響應(yīng)特性之參考。另外，因根軌跡會(huì)落於s-平面的右半平面，而與虛軸相交點(diǎn)即為臨界穩(wěn)定點(diǎn)，該點(diǎn)之K值增益可由Routh-Hurwitz穩(wěn)定準(zhǔn)則來獲得。 由系統(tǒng)方塊圖可知系統(tǒng)特徵方程式為Routh-Hurwit表如下 16560+K141123K5703K0003K00 由於系統(tǒng)穩(wěn)定，需滿足(1) (2) (3) 故5.03K0閉迴路系統(tǒng)才會(huì)穩(wěn)定，而當(dāng)K=5.03時(shí)系統(tǒng)呈現(xiàn)震盪現(xiàn)象，其震盪頻率為 。四. 結(jié)論由工數(shù)的一些定義知，工程數(shù)學(xué)是自動(dòng)控制極為重要