線性代數(shù)-向量空間

1、精品文檔第四章向量的線性相關(guān)性n維向量一個含有 0, 1 的數(shù)集P， 如果對于P中任意兩個數(shù)的四則運算結(jié)果仍在這 個數(shù)集中(除數(shù)不為 0)，則稱該數(shù)集P為一數(shù)域。容易驗證整數(shù)集不是數(shù)域；有理數(shù)集 Q、實數(shù)集 R、復(fù)數(shù)集 C 均為數(shù)域，以后分別稱之為有理數(shù)域、實數(shù)域和復(fù)數(shù)域。對于任一數(shù)域P，有 Q P C。定義 1：數(shù)域 P 中 n 個數(shù)構(gòu)成的有序數(shù)組(642,11(4稱為數(shù)域 P 上的 n 維向量，向量常用希臘字母 二一等表示。其中 ai稱為向量的第 i 個分量。若n維向量=(ai,a2,|l(,an)和：=(db,11(,bj 的對應(yīng)分量相等，即 ai二 b(i =1,2, n)，稱向量J與

2、：相等，記為。向量=(a-),a2| ,an)也稱為n維行向量。n維行向量可視為 1 n 矩陣來定義加法與數(shù)乘。矩陣中關(guān)于加法與數(shù)乘的性 質(zhì)也適合向量的加法與數(shù)乘。向量有時為了方便也寫成列的形式a2屮:=佝82,川玄)。*an丿稱為n維列向量。作為列向量時可視為 n 1 矩陣來定義加法與數(shù)乘。數(shù)域 P 上全體n維向量的集合對于線性運算稱為數(shù)域 P 上的n維向量空間,記為 Pn。線性相關(guān)性一、線性表示定義 2:設(shè)：-1,：-2l2，稱3可由1,：2線性表示。1歡迎下載精品文檔注意：線性方程組AX二B的增廣矩陣可寫成分塊矩陣形式 (：1,：2,11|宀| ：)。其中A=(：1,：2,I|,：S)，

3、:i(i =1,2,|,s)為A的第i列元 素構(gòu)成的列向量。定理 1:n維向量一：可由向量組線性表示的充要條件是線性方程 組i：2,川,sI1有解(這里每個： i及均為 n 維列向量)。證明：記：=(冇忌，|佝)(i=1,2 川),S)，一 (bi,b2,|l(,bn)。若2 kvi- k | ks： s，即(ki,k2,ll|,ks)滿足aiiki禰2 Igsks p。anikian2k2lllansks=bn亦即 ki,k2,川,ks是線性方程組12,川,：丄的解。反之亦然。例 1:設(shè)：1=(1,0,0)，：2=(1,1,0)，-3=(1,1,1);=(2,3, 4)，J=(a,b,c)。

4、問M,：2能否由-1, -2/3線性表示？若能線性表示，求出具體的表達(dá)式。11+2n00 :-r解:因為(12311)=0 11+t3T010 :-1 01+4所以% =-1_C(2+ 4S111+、a100a_b、又(12,叫|駡)=011+bT010b c101+c101c丿故：2=(a -b)S (b -c)2c3從題中可以看出，上述兩個線性方程組的系數(shù)矩陣完全相同，解這兩個線性方程組均需要把它們通過初等行變換化為簡化階梯形。而在進(jìn)行初等行變換時，不同列的元素之間沒有影響。因此，上述兩個方程組的增廣矩陣可合并為 (12,312)，通過初等行變換把系數(shù)矩陣化為簡化階梯形，就可同時求出 這兩

5、個線性方程組的解。一般地，對系數(shù)矩陣相同的若干個線性方程組AX 二 Bi(i =1,2,m,s)，可以通過“擴(kuò)充”增廣矩陣(A|Bjl(,Bs)的初等行變換來求解。2歡迎下載、線性相關(guān)性定義 3:設(shè):川，亠是一組n維向量，如果存在一組不全為0 的數(shù) ki,k2,|l（,ks，使得 ki匕二k 0成立。則稱向量組r,2H,s線性 相關(guān)，否則稱它們線性無關(guān)。由定理 1 可得下列結(jié)果：推論 1:向量組宀，：2川，宀線性相關(guān)的充分必要條件是齊次線性方程組（1,2川|,s|0）有非 0 解；向量組：1,2H，：S線性無關(guān)的充分必要條件是齊次 線性方程組（1,2川 1,亠|0）僅有 0 解?？紤]到齊次線性

6、方程組常數(shù)項為零，對于方程組的初等行變換常數(shù)項仍為 零。故以后齊次線性方程組只用系數(shù)矩陣（1,2l（,s）表示。例 2：當(dāng) t 為何值時，向量組=（t,1,1），:- 2=（1,t,1），:3=（1,1,t）線性相關(guān)。t解：當(dāng)系數(shù)矩陣行列式 11（1廠2,3）有非零解。即 t =1 或 2 時，向量組線性相關(guān)。由定乂 1 及推論 1 谷易推出下列結(jié)果：1） 向量組中含有 0 向量，則向量組線性相關(guān)2） 若向量組：1,： 2,1 山：s線性相關(guān)，則向量組1,2,|1|宀，亠.1,Ct線性相關(guān)；反之，向量組1,2,111,s,亠1川 ht線性無關(guān)，則向量組1,2，川Is線 性無關(guān)。3）向量組12,

7、川，亠線性無關(guān)，則將12, Illis 添加任意有限個相同個數(shù) 的分量后所得到的新向量組也線性無關(guān)。反之，若向量組 12,川s線性相關(guān), 則截去12,川s的若干個分量后所得到的新向量組一定線性相關(guān)。事實上，線性相關(guān)和線性無關(guān)定義還有下列一個等價的說法。定理 2：向量組：2,川s線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)存在組中某一向量可由其余向 量線性表示；向量組12，川s線性無關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)組中任一向量均不能由其余3歡迎下載精品文檔向量線性表示。證明：這里證定理的前一部分，后一部分讀者自行練習(xí)。設(shè)向量組山亠線性相關(guān)，則存在不全為 0 的數(shù)ki,k2,ll|,ks（不妨設(shè)精品文檔1 1t 1 =(t -1)2(t+2) =

8、 0 時，齊次線性方程組1 t某一ki式0），使得kg + kzg +| + ksg = 0。從而1r（心丨|ki“ iKi訂III ks：s）。即-i可由其余向量線性表示。ki反之，設(shè)向量二可由其余向量線性表示r * 1 ll二K.1i 1川kss，即一1：iiT| kiKi： i i川ks： s=0。所以向量組1,2ll,s線性相關(guān)。例 3：1） 設(shè)向量組：1/2/3線性無關(guān)，證明：向量組1心2，2怦工3，3匕1也線性無關(guān)。2） 設(shè)1,2,34為任一向量組，證明：向量組1*2，2*3，3*4，4 *1一定線性相關(guān)。證明：1）設(shè)有k1,k2,k3，使得 k1（1 *2） k2（2 *3） k

9、3（3 *1）=0，整理得（kj+k3）1 （k1+k2P2（k2+k3） 0 因為-1 23線性無關(guān)，所以（kj+ks） （K+kz） =（k2+k3） =0。解得 k1=kk0。從而:J%，2也3，?3”為也線性無關(guān)。2） 因（1 *2） （T）（2 3） G 2*3，： 3*4， 4 *1線性相關(guān)。3 等價向量組、等價向量組4歡迎下載精品文檔設(shè)有向量組(I):宀宀,川宀和向量組(II)。如果向量組(II) 中每一個向量均可由 九2,川，亠線性表示，稱向量組(II)可由向量組(I)線性表 示。由定理 1 及擴(kuò)充方程組的概念，可知(II)由(I)線性表示二擴(kuò)充的線性方程組C12dH ：s|-

10、1, -21,-t)有解=秩 ( A)=秩(A| B)，這里 A = (1,2,|1( ,：s)，定義 4:如果向量組(I)與(II)可以相互線性表示，稱(I)與(II)等價。易知，(I)與(II)等價二擴(kuò)充線性方程組(A|B)與(B| A)均有解二 秩(A)= 秩(A|B)=秩(B)。例 4:設(shè)有兩向量組a =(1,021)了 =(120,1)=(2,1,3,0)旳=(2,5,1,4)證明上述兩向量組等價。因為 秩(A)=秩(A|B)=秩(B)，所以兩向量組等價。、極大線性無關(guān)組定義 5： 一個向量組中如果存在r個向量 r, ，滿足:(1)12,川r線性無關(guān)；(2)向量組中任一向量均可由：,

11、線性表示。稱1,2ll,r為向量組的一個 極大線性無關(guān)組5歡迎下載(1 廠 1,3,1)j =(0,1,-1,3).(0,-1,1,4)證明：112 2+100 A打)0215+-11-1(%02,3,。42031b+3-1110 4+134*1122+100 1122100 02151+-11_1021511_1亠T0-2_1-5+b11 100-2203400-221+0342,所以:1，- 2是一個極大線性無關(guān)組；同理可得1,3與2, 3均為該向量組的極大線性無關(guān)組。此例說明向量組的極大線性無關(guān)組不唯- 盡管一個向量組的極大線性無關(guān)組不一定唯一，但有下列結(jié)果： 定理 3:向量組的任意兩個

12、極大線性無關(guān)組中所含向量的個數(shù)相同證明：設(shè)1,2,川，一與2,川，飛是某向量組的兩個極大線性無關(guān)組，下因為向量組：12 Jl|, : r1線性無關(guān)，齊次線性方程組 C1,2,|l|，r）僅有零解，記A=（1,2,山，），所以 秩（A）=r；同理，記 B =（4 2山，工），則秩（B）=2。由于極大線性無關(guān)組是等價的，所以秩（A）=秩（B）o從而R = r2。向量組的極大線性無關(guān)組中所含向量的個數(shù)稱為 向量組的秩。定理4:矩陣的秩二行向量組的秩（也稱為矩陣的行秩）=列向量組的秩（也 稱為矩陣的列秩）。證明省略。例 5 :已知 向量組 冷=(1,- 2, 2,3) 2 =(-2,4,-1,3)，

13、J =(-1,2,0,3)，：4 =（0,6, 2,3），:（2, -6,3,4）。求該向量組的一個極大線性無關(guān)組，并用它來所以124線性無關(guān);表示其余向量。解：因為廣 1-2-242-133000 6-2TT032 2-100031-1 02、1-2-1 022 6-600 0 6-2T0230322-13340963-2/ 116 10 039c,210 1 039 。0 0 0 1_13.00 0 00 丿6歡迎下載從而 冷，24是一個極大線性無關(guān)組。且有由例 5 的計算可以看出：只要把向量組中的向量按列的形式所構(gòu)成的矩陣用 初等行變換化為簡化階梯形，則極大線性無關(guān)組以及其余向量用極大線

14、性無關(guān)組 的線性表示，均可直接從簡化階梯形中得到，讀者自已找出其中規(guī)律。三、有關(guān)秩的一些結(jié)果由于初等變換不改變矩陣的秩，即初等矩陣左(右)乘矩陣不改變矩陣的秩, 從而可得下列性質(zhì) 1:性質(zhì) 1：若 P,Q 為可逆矩陣，則秩(A)=秩(PA)= 秩(AQ)= 秩(PAQ)性質(zhì) 2：習(xí)秩( AB)乞 min秩(A)，秩( B)。證明：設(shè)則有:i=ai1J| ais:s，即：1,2,山，：韋可由-1,-21,-s線性表示。秩 (：1,2lm)乞 秩 (-1, -2Ls)，即秩(AB)乞秩(B)同理可證：秩(AB)乞秩(A)。從而性質(zhì) 2 得證性質(zhì) 3:秩(A B)乞秩(A)+秩(B)。證明留給讀者4

15、 線性方程組解的結(jié)構(gòu)、解的結(jié)構(gòu)設(shè)有線性方程組 AX 二 B 山和對應(yīng)的齊次線性方程組 AX=0 Hl (2)，則7歡迎下載精品文檔它們的解有下列性質(zhì):精品文檔16又 C1,：2,43,二5)一、1 2:-3 1 2,33132：5161 132一 34。A二(aj)B - (bjk)s n，記AB=嚴(yán)11!B =rr。Ctp m 7mxnI s丿性質(zhì) 4：設(shè) Xi,X2是 的解，則對任意數(shù)ki*2,kiXi 2X2也是 的解。 證明：因 X1,X2是 的解，所以 AXO, AX2=0。從而A（kiX1k2X2kiAX1k2AX2=0。即kiX1k2X2是的解。此結(jié)果可推廣到一般情形：設(shè)Xi,I

16、II,Xs是（2）的解，則對任意數(shù)ki,川，ks， kiXiIII k2Xs也是（2）的解。性質(zhì) 5：設(shè)Yi,Y是的解，則Y-Y2是的解。性質(zhì) 6：設(shè) Xi是的解，Yi是的解，則 Xi+Y是的解。仿照性質(zhì) 4 可驗證性質(zhì) 5 和性質(zhì) 6。由以上性質(zhì)可得：若已知非齊次線性方程組的某一特解和它對應(yīng)的齊次線性方程組的通解X，則非齊次線性方程組的通解為X 。二、基礎(chǔ)解系定義 6：設(shè)i,2,川，s是齊次線性方程組 AX=O 的解，且滿足：1）i,2，川，s線性無關(guān)，2） AX =0 的任一解可由i,2,川，s線性表示。則稱i,川，s是 AX =0 的一個基礎(chǔ)解系。例 6：求齊次線性方程組% + x2+

17、X3+ x4+ 禺=03 為 + 2x2+ x3+ & -3x5= 0 x2+2x3+2x4+6x5= 0Q% + 4x2+ 3x3+ 3% - x5= 0的一個基礎(chǔ)解系解：iiiii、ri0_iT-532ii-30i226A =0i226T00000心433-ij000008歡迎下載精品文檔Xi = X3+X4+X5、，一宀“解為(X3,X4, X5為任意數(shù))。 X2- -2x3- 2X4- 6X5取X3=1，X4 = X5 =0，得解=(1,2,1,0,0)取X4=1，X3二=X =0，得解一=(1,一2,0,1,0)取X5，X3 =7入4 0得解 (1,-6,0,0,111、-2

18、-2-6(叩23)=；100它的秩=3。0100011,213線性無關(guān)。又方程組的任一解可表示為：XiX3X4X5111X22x3 2X4 6X5_2_2-6X =X3=X3=X31+ X400X4X4010K 一一X5一i0一0一1一即(XX2,X3, X4, Xs) X3 X4 2X53，也即任一解可由1,2,3線性表示。從而1,2,3是齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系。例 6 中的求法就是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的一種常見求法。線性方程組的初等變換，對應(yīng)于增廣矩陣的初等行變換。實際上，如果交換 兩個未知量在方程中的位置，也不改變方程組的解，這時對應(yīng)于增廣矩陣進(jìn)行了 對應(yīng)的一個初等列變換。因此

19、求解過程可對系數(shù)矩陣進(jìn)行列的交換， 只不過要調(diào) 整相應(yīng)未知量的次序。 具體用下面例子來說明。例 7：用基礎(chǔ)解系表示下列方程組的通解：X -2X2X3X = 0X!-2冷x3- 忑=0。X)_2x2+x3+ 5忑=0解：9歡迎下載則按（Xi,X4,X3, X2）順序的基礎(chǔ)解系為還原成（Xi,X2,X3, X4）順序的基礎(chǔ)解系為:SS0，n2 =110故方程組的通解為c1 c22（C|,C2為任意數(shù)）注：基礎(chǔ)解系可以直接從增廣矩陣的簡化階梯形中直接得到，讀者不妨自行找出規(guī)律。例 8：求線性方程組3X1X2X17X17X3_ 3X4= 3的通解（用基礎(chǔ)解系表示）解：2-14-3-410103_101

20、-1-301-20_8A =31101T00016707-33 TV，稱V為n維向量空間 Pn的子空間，也稱為線性空間。特殊地，n維向量空間本身是它自身的子空間，單個 o 向量構(gòu)成的子集也構(gòu)成子空間。集合V二X| AX =0,A為m r矩陣，X%i維列向量是線性空間，稱為齊 次線性方程組AX二0的解空間。定義 8:如果線性空間 V 中，存在 r 個向量宀,2,111r，滿足：1)1,2,111,r線性無關(guān)；2)V中任一向量可由：1,：2,ll|,：r線性表示。則稱1,2,ll|,r為V的一個基，r 稱為V的維數(shù)，記為dimV或維數(shù)(V)。由齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和線性空間的基定義可得線性方程

21、組AX二0的任一基礎(chǔ)解系均為其解空間的一個基。設(shè)：j, 2,1 IIr是線性空間V的一個基，對V中任一向量，則有=XV1- X2：2川Xr： r，且表達(dá)式是唯一的。事實上，若有 、=X1： 1 X2： 2丨1丨Xr： r二如：1 y2： 2山屮r，則(X1- )：1(X2-丫2)：2III (Xr- yr)：r=0。由：“2,川,：r線性無關(guān)，知X -yi=0，即Xi二yi( i =1,2,|,r)。由于表達(dá)式唯一，稱(X1,X2,ll|,Xr)為向量在基1,2,川，r下的坐標(biāo)。定義9：設(shè)12,lllr和l12,lllr是線性空間V的兩個基，且P1= a1 *a2 2+ 丨11 + 3r 1 r“:(3)巴=印宀心2亠2+|+3(3)式又可以寫成形式矩陣乘法：11歡迎下載精品文檔(1,：2,ll|,r)= (： 1,：2川1,：r)A。稱A =(a)徨為從基a1,口2,川,到基01,02,111,Br的過渡矩陣。關(guān)于形式矩陣乘法，易驗證有以下性質(zhì)：1)(：1, ：2, III,：r)(AB)=(：1, ：2,川，：r)A“2L r)B；2)(：1,：2, III, ：r)A)B=(：1,：2,ll|,：r)AB?？梢宰C明：上述的過