原點矩與中心矩

1、第10講 原點矩與中心矩 協(xié)方差與相關系數(shù)教學目的：掌握矩、協(xié)方差及相關系數(shù)的概念、性質及計算。教學重點：矩、協(xié)方差及相關系數(shù)的概念和性質。教學難點：矩、協(xié)方差及相關系數(shù)的概念。教學學時：2學時教學過程：第三章 隨機變量的數(shù)字特征§3.3 原點矩與中心矩隨機變量的數(shù)字特征除了數(shù)學期望和方差外，為了更好的描述隨機變量分布的特征，有時還要用到隨機變量的各階矩（原點矩與中心矩），它們在數(shù)理統(tǒng)計中有重要的應用。 定義1 設是隨機變量，若存在，則稱它為的階原點矩，記作，即，顯然，一階原點矩就是數(shù)學期望，即。定義2 設隨機變量的函數(shù)的數(shù)學期望存在，則稱為的階中心矩，記作，即，易知，一階中心矩恒等

2、于零，即；二階中心矩就是方差，即。不難證明，原點矩與中心矩之間有如下關系： 等。 定義3 設和是隨機變量，若存在，則稱它為和的階混合矩。若存在，則稱它為和的階混合中心矩。§3.4 協(xié)方差與相關系數(shù)1.協(xié)方差與相關系數(shù)的定義二維隨機變量的數(shù)字特征中最常用的就是協(xié)方差與相關系數(shù)。定義3 設有二維隨機變量，如果存在，則稱為隨機變量與的協(xié)方差，記作，即而稱為隨機變量與的相關系數(shù)，記作，即顯然，協(xié)方差是和的二階混合中心矩。當，通常稱隨機變量與是不相關的。 2.協(xié)方差的性質(1) ，由定義知性質（1）是顯然的。(2) 證 (3) 證 該性質可推廣到任意場合，即 (4) ，是常數(shù)。由定義知性質（4

3、）是顯然的。 (5) 由定義知性質（5）是顯然的。(6) 若與相互獨立，則，即與不相關。反之，若與不相關，與不一定相互獨立。3.相關系數(shù)的性質(1) (2) 若與相互獨立，則(3) 當且僅當與之間存在線性關系（為常數(shù)，）時，且。證 對于性質（1），我們考慮隨機變量，由協(xié)方差的性質（3）可得 故對于性質（2），由于與相互獨立，則有，由定義知。對于性質（3），若，則， 即，事實上相關系數(shù)只是隨機變量間線性關系強弱的一個度量，當時說明隨機變量與之間具有很強的線性關系，當時為正線性相關， 時為負線性相關。當時，隨機變量與之間的線性相關程度將隨著的減小而減弱，當時，意味著隨機變量與是不相關的。例1 設隨機變量服從上的均勻分布，又，試求相關系數(shù)。解 故 相關系數(shù)，隨機變量與不相關，但是有，從而與不獨立。例2 設二維隨機變量的聯(lián)合概率分布如下：01-101/301/30101/3試證明與不相關，但不相互獨立。證 易知與的邊緣概率分布分別是：011/32/3-1011/31/31/3由公式得 所以與是不相關的。但是，因為，故與不相互獨立。 例3 設二維隨機變量的概率密度函數(shù)為試證明隨機