第十章 動(dòng)量矩定理

1、第十章 動(dòng)量矩定理第1節(jié) 動(dòng)量矩動(dòng)量定理建立了質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量主矢的改變與 外力系主矢的關(guān)系。若當(dāng)質(zhì)心為固定軸上一點(diǎn)時(shí)， v C =0，則其動(dòng)量恒等于零，質(zhì)心無運(yùn)動(dòng)，這時(shí)用動(dòng)量定理無法得到質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。動(dòng)量矩定理建立了質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于某固定點(diǎn)（固定軸）的動(dòng)量矩的改變與外力對(duì)同一點(diǎn)（軸）之矩兩者之間的關(guān)系。一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩圖10-1-1-1 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量對(duì)點(diǎn)的矩示意圖 質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)O的動(dòng)量矩：M 0 (mv)=r×mv 質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸 z 的動(dòng)量矩：M z (mv)=xm v y ym v x 正負(fù)號(hào)規(guī)定與力對(duì)軸矩的規(guī)定相同對(duì)著軸看：順時(shí)針為負(fù)，逆時(shí)針為正。質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)O的動(dòng)量矩與對(duì)軸z 的動(dòng)量矩

2、之間的關(guān)系： M o (mv) z = M z (mv) 動(dòng)量矩度量物體在任一瞬時(shí)繞固定點(diǎn)(軸)轉(zhuǎn)動(dòng)的強(qiáng)弱。二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)系對(duì)軸o動(dòng)量矩：L O = M O ( m i v i )= r i × m i v i 質(zhì)點(diǎn)系對(duì)軸z動(dòng)量矩：L z = M z ( m i v i )= L O   z 三、剛體動(dòng)量矩計(jì)算1.平動(dòng)剛體L O = M O ( m i v i ) = r i × m i v c = r c ×m v c L z = M z (m v c ) 平動(dòng)剛體對(duì)固定點(diǎn)（軸）的動(dòng)量矩等于將剛體的質(zhì)量集中于質(zhì)心時(shí)的動(dòng)量對(duì)該點(diǎn)（軸）的動(dòng)量矩。2

3、.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體L z = M z ( m i v i )= m i r i = J z 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩等于剛體對(duì)該軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度的乘積。3.平面運(yùn)動(dòng)剛體L z = M z (m v C )+ J C 平面運(yùn)動(dòng)剛體對(duì)垂直于質(zhì)量對(duì)稱平面的固定軸的動(dòng)量矩，等于剛體隨同質(zhì)心作平動(dòng)時(shí)質(zhì)心的動(dòng)量對(duì)該軸的動(dòng)量矩與繞質(zhì)心軸作轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)量矩之和。例1已知: 滑輪A：m1，R1，J1； 滑輪B：m2，R2，J2 ； 物體C：m3 ， v3 ； 幾何關(guān)系: R1=2R2。求: 系統(tǒng)對(duì)軸O的動(dòng)量矩。圖10-1-1-2 例1題圖 解：據(jù)各運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)量矩的計(jì)算式有L O = L OA + L OB +

4、L OC = J 1 1 +( J 2 2 + m 2 v 2 R 2 )+ m 3 v 3 R 2 將運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系 v 3 = v 2 = R 2 2 = 1 2 R 1 1 代入上式得L O =( J 1 R 2 + J 2 R 2 + m 2 + m 3 ) R 2 v 3 第2節(jié) 動(dòng)量矩定理一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理圖10-2-1-1 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩與力對(duì)點(diǎn)之矩示意圖 由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理的微分形式 d(mv) dt =F 兩邊叉乘矢徑r, 有 r× d(mv) dt =r×F 左邊可寫成r× d(mv) dt = d dt (r×mv) dr dt ×

5、mv dr dt ×mv=v×mv=0  ,  r×F= M O (F)  而dr dt ×mv=v×mv=0  ,  r×F= M O (F)  故dr dt (r×mv)=r×F  ,   d dt M 0 (mv= M O (F)  質(zhì)點(diǎn)對(duì)任一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點(diǎn)上的力對(duì)同一點(diǎn)之矩。這就是質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理。將上式在通過固定點(diǎn)O的三個(gè)

6、直角坐標(biāo)軸上投影，得質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理的投影形式d dt M x (mv)= M x (F)    d dt M y (mv)= M y (F)     d dt M z (mv)= M z (F)  即質(zhì)點(diǎn)對(duì)某固定軸的動(dòng)量矩隨時(shí)間的變化率，等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力對(duì)同一軸的矩。若M O (F)=0    ( M z (F)=0) 則M 0 (mv)=常矢量，( M z (mv)=常量) 稱為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩守恒。質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理的應(yīng)用：1在質(zhì)點(diǎn)受有心力的作用時(shí)。2質(zhì)點(diǎn)繞某心（軸）轉(zhuǎn)動(dòng)的問題。例1已知單擺質(zhì)量

7、為m，長(zhǎng)為l，t =0時(shí) = 0 ，從靜止開始釋放。 求單擺的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。解：將小球視為質(zhì)點(diǎn)。受力分析、受力圖如圖示。圖10-2-1-2 例1題圖及受力圖 M O (F)= M O (T)+ M O (mg)=mglsin 運(yùn)動(dòng)分析：v=l  , OM， M O (mv)=ml l=m l 2 由動(dòng)量矩定理d dt M O (mv)= M O (F) 即d dt (m l 2 )=mglsin    ,    ¨ + g l sin=0 微幅擺動(dòng)時(shí)， sin  ，并令 n = g l ，

8、則 ¨ + n 2 =0 解微分方程,并代入初始條件 (t=0,= 0 , 0 =0) 則運(yùn)動(dòng)方程= 0 cos g l t 擺動(dòng)周期T=2 g l 注意：計(jì)算動(dòng)量矩與力矩時(shí)，符號(hào)規(guī)定應(yīng)一致（本題規(guī)定逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎┒?、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理對(duì)質(zhì)點(diǎn) M i 用動(dòng)量矩定理：d dt M O ( m i v i )= M O ( F i e )+ M O ( F i i ) i=1,2,n 求和的 d dt M O ( m i v i ) = M O ( F i e ) + M O ( F i i ) 注意到L O = M O ( m i v i ) ,   &

9、#160;   M O ( F i i ) =0 得質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理d L O dt = d dt M O ( m i v i ) = M O ( F i e ) 將上式在通過固定點(diǎn)O的三個(gè)直角坐標(biāo)軸上投影，得d L x dt = d dt M x ( m i v i ) = M x ( F i e ) d L y dt = d dt M y ( m i v i ) = M y ( F i e ) d L z dt = d dt M z ( m i v i ) = M z ( F i e ) 上式稱為質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定軸的動(dòng)量矩定理。說明內(nèi)力不會(huì)改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩，只有

10、外力才能改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩。質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩守恒 M O ( F i e ) =0時(shí),     L O = M O ( m i v i ) =常矢量 當(dāng) M x ( F i e ) =0時(shí),     L x = M x ( m i v i ) =常量 例2已知: P A > P B     P     r  。        

11、; 求:   角加速度  。 圖10-2-1-3 例2題圖及受力圖 解：取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，受力分析如圖示。運(yùn)動(dòng)分析：v=r 外力對(duì)軸O的矩為 M O ( F i e ) = P A r P B r=( P A P B )r 動(dòng)量矩為L(zhǎng) O = P A g vr+ P B g vr+ J O 將 J O = 1 2 P g r 2  代入, 得    L O = r 2 g ( P A + P B + P 2 ) 由動(dòng)量矩定理d dt r 2 g ( P A + P B + P 2 )=( P

12、 A P B )r 解得= d dt = g r P A P B P A + P B +P/2 例3已知：猴子A重=猴子B重，猴B以相對(duì)繩速度v上爬，猴A不動(dòng)，問當(dāng)猴B向上爬時(shí)，猴A將如何動(dòng)？動(dòng)的速度多大？（輪重不計(jì)）。圖10-2-1-4 例3題圖 解：由于 M O ( F (e) )=0  ，故系統(tǒng)的動(dòng)量矩守恒。0= m A v A r m B (v v A )r 解得v A = v 2 猴A與猴B向上的絕對(duì)速度是一樣的,均為 v 2 。 第3節(jié) 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程一、剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程對(duì)于一個(gè)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體L z = J z 代入質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理

13、，有d dt ( J z )= M z J z = M z  或   J z d 2 d t 2 = M z 上式即為剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程。1.解決兩類問題：(1)已知作用在剛體的外力矩，求剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律。(2)已知?jiǎng)傮w的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律，求作用于剛體的外力（矩）。但不能求出軸承處的約束反力，需用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求解。2.特殊情況：(1)若 M z = M z ( F (e) )=0 ，則 =0,= 恒量，剛體作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)或保持靜止。(2)若 M z = M z ( F (e) )= 常量，則a =常量，剛體作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)。將 J z = M z   與 ma=F 比較

14、，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的度量。 第4節(jié) 剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義剛體對(duì)軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義為J z = m i r i 若剛體的質(zhì)量是連續(xù)分布，則J z = r 2 dm 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體對(duì)某軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的度量，它的大小表現(xiàn)了剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)改變的難易程度。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量恒為正值，國(guó)際單位制中單位 kg. m 2 。一、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算1.積分法（具有規(guī)則幾何形狀的均勻剛體可采用）例1勻質(zhì)細(xì)直桿長(zhǎng)為l ,質(zhì)量為m。求：(1)對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；(2)對(duì)z' 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。圖10-4-1-1 質(zhì)點(diǎn)例1題圖 解：用積分法J z = l 2 l 2 x 2 m l dx= 1 12 m l

15、2 J z = 0 l x 2 m l dx= 1 3 m l 2 2.回轉(zhuǎn)半徑剛體對(duì)軸z 軸的回轉(zhuǎn)半徑定義為= J z m J z =m 2 對(duì)于均質(zhì)剛體， 僅與幾何形狀有關(guān)，與密度無關(guān)。對(duì)于幾何形狀相同而材料不同（密度不同）的均質(zhì)剛體，其回轉(zhuǎn)半徑是相同的。3.平行移軸定理同一個(gè)剛體對(duì)不同軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一般是不相同的。J z' = J zC +m d 2 剛體對(duì)某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于剛體對(duì)通過質(zhì)心且與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離的平方之乘積。4.計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的組合法當(dāng)物體由幾個(gè)規(guī)則幾何形狀的物體組成時(shí)，可先計(jì)算每一部分(物體)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量, 然后再加起來就是整個(gè)物體的轉(zhuǎn)

16、動(dòng)慣量。 若物體有空心部分, 要把此部分的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量視為負(fù)值來處理。例2鐘擺： 均質(zhì)直桿 m 1 ,l； 均質(zhì)圓盤： m 2 ,R。求 J O 。圖10-4-1-2 質(zhì)點(diǎn)例2題圖 解：分別計(jì)算均質(zhì)直桿和均質(zhì)圓盤對(duì)軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量均質(zhì)直桿對(duì)軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J O1 = 1 3 m 1 l 2 均質(zhì)圓盤對(duì)軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J O2 = 1 2 m 2 R 2 + m 2 (l+R) 2 整個(gè)組合體對(duì)軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J O = J O1 + J O2 = 1 3 m 1 l 2 + 1 2 m 2 R 2 + m 2 (l+R) 2 = 1 3 m 1 l 2 + 1 2 m 2 (3 R 2 +2 l 2 +

17、4lR) 2 例3如圖所示，一勻質(zhì)圓盤剛連于勻質(zhì)細(xì)桿OC上，可繞軸O在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，已知桿OC長(zhǎng)L=0.3m，質(zhì)量 m 1 =10kg， 圓盤半徑 r=0.15m ，質(zhì)量 m 2 =40kg， C為圓盤質(zhì)心。若在桿上作用一常力偶矩 M=20N.m，不計(jì)摩擦，試求桿OC的角加速度。圖10-4-1-3 質(zhì)點(diǎn)例3題圖 解：取整體為研究對(duì)象。設(shè)角加速度為 ，由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程，得：J OZ =M 式中J OZ = 1 3 m 1 L 2 + 1 2 m 2 r 2 + m 2 L 2 代入已知值得：J OZ = 1 3 ×10× 0.3 2 + 1 2 ×40

18、5; 0.15 2 +40× 0.3 2 =4.35kg m 2 = M J OZ = 20 4.35 4.6 rad/s 2 第5節(jié) 剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程一、質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩L O = r C ×m v C + L C r        ( L C = L C r ) 對(duì)質(zhì)心而言,相對(duì)動(dòng)量矩 L C r 等于絕對(duì) L C r 動(dòng)量矩。二、質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理d L C r dt = M C ( F i )= M C 質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心和固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理

19、，具有完全相同的數(shù)學(xué)形式，而對(duì)于質(zhì)心以外的其它動(dòng)點(diǎn)，一般并不存在這種簡(jiǎn)單的關(guān)系。三、剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程圖10-5-1-1 剛體平面運(yùn)動(dòng)示意圖 設(shè)有一平面運(yùn)動(dòng)剛體具有質(zhì)量對(duì)稱平面，力系 F 1 , F 2 , F n 可以簡(jiǎn)化為該平面內(nèi)的一個(gè)力系。取質(zhì)量對(duì)稱平面為平面圖形S，質(zhì)心一定位于S內(nèi)。 取質(zhì)心C為動(dòng)系原點(diǎn)，則此平面運(yùn)動(dòng)可分解為隨質(zhì)心C的平動(dòng) ( x C , y C ) 和繞質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動(dòng)（ ），可分別通過質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理來確定。由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理得m a C = F  ,     J C = M C (

20、 F (e) ) 寫成投影形式a Cx = F x  ,  m a Cy = F y  ,    J C = M C ( F (e) ) 或m x ¨ C = F x   ,   m y ¨ C = F y   ,   J C ¨  = M C ( F (e) ) 上式稱為平面運(yùn)動(dòng)微分方程。例1兩根質(zhì)量各為8 kg的均質(zhì)細(xì)桿固連成T 字型，可繞通過O點(diǎn)的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)OA處于水平位置時(shí), T 形桿具有角速度 =4rad/s。求該瞬時(shí)軸承O的反力。圖10-5-1-2 例1題圖 解：選T 字型桿為研究對(duì)象。受力分析如圖示。圖10-5-1-3 例1題受力圖和運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系圖 由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程J O  =mg0.25+mg0.5 J O = 1 3 m l 2 + 1 12 m l 2 +m l 2 = 17 12 m l 2 得17 12 ×8× 0.5 2  =8×9.8×0.25+8