數(shù)列求和的基本方法

1、數(shù)列求和的根本方法數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的根底,在高考中占有重要的地位.近年來高考中的 數(shù)列題難度有降低的趨勢,主要以考查等差數(shù)列和等比數(shù)列為主,解做題那么主要考查求數(shù)列通項與求和為卜面,具體談?wù)剶?shù)主,除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外,大局部數(shù)列的求和都需要一定的技巧.列求和的根本方法和技巧、公式法求和利用以下常用求和公式求和是數(shù)列求和的最根本最重要的方法1、等差數(shù)列求和公式:Sn=na_2=na1 nd2、等比數(shù)列求和公式:(q =1)Sn = a1(1 -qn) _ a -anq (q = 1)1 -q 1 -q例110g 5 x =,求 x + x2 +x3 + +

2、 xn +,一的前 n 項和.log 2 5分析,先由等式求出 x的值,再利用等比數(shù)列的求和公式進行求和.解：由 10g 5 x =-1log 2 5一 10g5X = -log 5 2 一由等比數(shù)列求和公式得Sn = x x2利用常用公式1 -x11 -2例 2設(shè) Sn= 1+2+3+-+n , nC N*,求f(n)=Sn(n 32)51解：由等差數(shù)列求和公式得1 1 ,Sn = -n(n + 1),Sn =_ (n +1)(n + 2)2 2利用常用公式法一 f(n) =Sn(n 32)&.1n2 34n 64J：)2 50 501 =64n 34( nn“81當 Jn=,即 n

3、=8 時,f(n)max=一.850法二,f(n) =Sn(n 32)Sn 12n 34n 64<c, 64 一n 34 n64502. n 34 n當且僅當n =64,即n=8時,nf (n)max =50、錯位相減法求和這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法,這種方法主要用于求數(shù)列an - bn的前n項和,其中 an 、 bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.例 3求和:Sn =1 + 3父2 +5父22 + 7M23 + +(2n -1)2n 解：由題可知,(2n 1)2n的通項是等差數(shù)列2n 1的通項與等比數(shù)列2n,的通項之積式兩邊都乘以2得2Sn =.1父2 +3父22 +

4、5 父23 +(2n1) 2n ,(錯位)得 (1 -2)Sn =1 +2(2+22 +23 + +2n)(2n -1) *2n(相減)2(1-2 )再利用等比數(shù)列的求和公式得：-1Sn =1 2 2(1)1 -2-(2n -1) . 2nSn =3 (2n -3) .2n小 246例4求數(shù)列,2 2 2前n項的和.2解：由題可知,的通項是等差數(shù)列2n的通項與等比數(shù)列1,一 的通項之積2n設(shè)Sn=22.A A . .空.22232n2Sn一得2223241 22(1-)Sn - -72 221二2 - 7 2n 2Sn = 4 - 2n -2n 1222 2nr" ' &qu

5、ot;r ' "i * * *(錯位)232n2n1242n 2nl三、裂項法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項(通項)分解,然后重新組合,使之能消去一些項,最終到達求和的目的.通項分解(裂項)如:1ann(n 1)an(2n -1)(2n 1)2 2n -1 2n 1(3) an(-n(n k) k n (n k)(4) an15假設(shè) an為等差數(shù)列,且公差為d, an ¥0,那么bn = -)例5求數(shù)列12 ' 2.3' ' n % n 1 '解：設(shè)anan間d an an的前n項和.: n

6、 1 .；n裂項那么Sn1.2.2.3裂項求和=(、.2 - .1) - (、3 - .2)二-(.n - 1=n 1 -1例6在數(shù)列an中,an十一2-十,又bn1,求數(shù)列b n的刖n項的和.解:bn= 4(1 - nan裂項數(shù)列b n的前n項和1111111； (丁 ：")裂項求和4n四、倒序相加法求和,再把它與原這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前 n項和公式時所用的方法,就是將一個數(shù)列倒過來排列倒序 數(shù)列相加,就可以得到 n個a1 +an.2'2'2'2'2例 7求sin 1 +sin 2 +sin 3 + + sin 88 +sin 89 的值2'2

7、'2'2'2斛：設(shè) S = sin 1 sin 2 sin 3- sin 88 sin 89將式右邊反序得22222倒序S=sin 89 +sin 88 + + sin3 +s i n 2 +sin122又由于 sinx=cos(90 x),sin x cos x=1+得2"22"222 一 2s =(sin 1 +cos 1 )+(sin 2 +cos 2)+ (sin 89 +cos 89 ) = 89S= 44.5五、分組法求和相加比或有一類數(shù)列,既不是等差數(shù)列,也不是等比數(shù)列,假設(shè)將這類數(shù)列適當拆開,可分為幾個等差、等 常見的數(shù)列,然后分別求和,再將其合并即可1_1_1_例 8求數(shù)列的刖 n 項和：1+1,+4,二+ 7,fj + 3n-2 ,一 a aa111斛：設(shè) Sn = 1 14 2 7：；：；一ny 3n -2a aa111Sn =(12-1；) (1 4 7 3n-2)a a a當 a=1 時,sn = n + (3n 一1)/3n +1)n221 -當 a01 時,Sn =a- +(3n-1)n1-12a1 -na-a(3n-1)na -12以上五種數(shù)列求和的根本方法