線性代數(shù)第五習(xí)題答案詳解

1、第五章n維向量空間因?yàn)?R a1 a2 a33習(xí)題一1. 解：a-b = a+(-b)=(1,1,0)T +(0,-1,-1)T=(1,0,-1)T3a+2b-c = 3a+2b+(-c)=(3,3,0)t+(0,2,2)t+(-3,-4,0)t=(0,1,2)T2. 解：3(ai-a)+2(a2+a) = 5(a3+a)3ai+2a2+(-3+2)a = 5a 3+5a3ai+2a2+(-a)=5a3+5a3ai+2a2+(-a)+a+(-5)a 3 = 5a3+5a+a+(-5)a3 3ai+2a2+(-5)a3 = 6a1 13ai+2a2+(-5)a3=6a661 15ai + a2+

2、(-)a3 = a2 36將 ai=(2,5,1,3)T,a2=(10,1,5,10)T,a3=(4,1,-1,1)T代入1 15a = ai+ a2+(- )a3 中可得:2 36a=(1,2,3,4)T.Vi,3. (1) Vi 是向量空間.由(0,0，,0)Vi 知 Vi 非空.設(shè) a=(xi,x2，,xn) Vi,b=(y i,y2,yn)貝U有 xi +X2+ +Xn=0 , yi+y2+yn=0.因?yàn)?Xi+yi)+(X2+y 2)+ +(x n+yn)= (x 1+X2+ +Xn)+( y i+y2+yn)=0所以 a+b=( xi+yi,x2+y2,xn+yn) Vi.對(duì)于 k

3、 R,有 kXi+kX2+kxn = k(x 1+X2+ +Xn)=0所以ka=( kxi,kx2,kxn)Vi.因此Vi是向量空間.(2) V2不是向量空間.因?yàn)槿?a=(1, X2,xn) V2 ,b=(1, y2,yn) V2,但 a+b=(2, x2+y2,- Xn+yn) V2.因此V 2不是向量空間.1.求向量b關(guān)于向量組ai,a2,a3,a4的線性組合表達(dá)式：(1)解：設(shè)向量b關(guān)于向量組ai,a2,a3,a4的線性組合表達(dá)式為:b=kiai+k2a2+k3a3+k4a4其中，ki,k2,k3,k4為待定常數(shù).則將 b=(0,2,0,-1) T,ai=(1,1,1,1)T,a2=(

4、1,1,1,0)T, a3=(1,1,0,0)T,a4=(1,0,0,0)T向量b關(guān)于向量組ai ,a2,a3,a4的線性組合表達(dá)式中可得:(0,2,0,-1)T=ki(1,1,1,1)T+k2(1,1,1,0)T+k3(1,1,0,0)T+k4(1,0,0,0)T根據(jù)對(duì)分量相等可得下列線性方程組：k1k2k3k40k1k2k32k1k20k11解此方程組可得：k1=1,k2=1,k3=2,k4=2因此向量 b 關(guān)于向量組 a1,a2,a3,a4 的線性組合表達(dá)式為： b=a1+a2+2a32a4 .(2) 與 (1)類似可有下列線性方程組：k1 k2 k3 2k43k12k2k32k41k1

5、k22k13k2k31由方程組中的第一和第二個(gè)方程易解得：k2=4,于是依次可解得：ki=-2,k3=-9,k4=2.因此向量b關(guān)于向量組ai,a2,a3,a4的線性組合表達(dá)式為：b= 2a1+4a29a3+2a4 .2知ai,a2 ,a3,a4線性相2(1) 解：因?yàn)橄蛄拷M中向量的個(gè)數(shù)大于每個(gè)向量的維數(shù)，由推論 關(guān).111(2) 解： a1 a2 a31 2 6133因?yàn)?R a1a2a33所以ai,a2,a3線性無(wú)關(guān).(3) 解： a1 a2 a324 140 6 1202 4因?yàn)?R a1 a2 a32 3所以ai,a2,a3線性相關(guān).11(4) 解： a1 a2 a31 0111111

6、13014014202300511所以ai,a2,a3線性無(wú)關(guān).3. 證明：假設(shè)有常數(shù) ki,k2,k3,使kibi+k2b2+k3b3=0又由于 bi =ai,b2=ai+a2,b3=ai+a2+a3,于是可得ki ai+k2(ai+a2)+k 3(ai +a2+a3)=0即(ki+k2+k3)ai+ (k2+k3)a2+k3a3=0因?yàn)閍i,a2,a3線性無(wú)關(guān)，所以有kik?kg 0ki0k2 k30解得k20k30k30因此向量組bi,b2,b3線性無(wú)關(guān).4.設(shè)存在常數(shù)ki,k2,k3,k4使kibi+k2b2+k3b3+k4b4=0因?yàn)?bi=ai+a2,b2= a2+a3,b3=a3

7、+a4,b4= a4+ai于是可得：ki (ai+a2)+k2(a2+a3)+k3(a3+a4)+k4(a4+ai)=0整理得：(ki+k4)ai+ (k2+ki)a2+(k2+k3)a3+(k3+k4)a4=0，(下用兩種方法解)法一：因?yàn)閍i,a2,a3,a4為同維向量，貝U(1) 當(dāng)向量組ai,a2,a3,a4線性無(wú)關(guān)時(shí)，ki+k4=0, k2+ki=0, k2+k3=0, k3+k4=0可解得：k2=- ki, k4=- ki, k3=ki取ki 0可得不為0的常數(shù)ki,k2,k3,k4使kibi+k2b2+k3b3+k4b4=0因此bi,b2,b3,b4線性相關(guān)。(2) 當(dāng)向量組 a

8、i,a2,a3,a4線性相關(guān)時(shí)，ki+k4, k2+ki, k2+k3, k3+k4中至少存 在 個(gè)不為0,因此易知ki,k2,k3,k4不全為0，于是可得bi,b2,b3,b4線性相關(guān)。法二：因?yàn)閍i,a2,a3,a4為任意向量，kik40kik20所以當(dāng)k2k30k3k40而該方程組的系數(shù)矩陣對(duì)應(yīng)的行列式i00iii000,所以有非零解0ii000ii所以 b1,b2,b3,b4 線性相關(guān)。5.證明：假使向量組bi,b2,bm線性相關(guān).即存在不全為0的常數(shù)ki,k2,km,使:klbl + k2b2 +kmbm=0由題意不妨設(shè)ai=(aii,ai2,air),a2=(a2i,a22,a2r

9、), am=(am1,am2,amr)則相應(yīng)地，bi=(aii,ai2,air,air+i,ain),b2=(a21,a22, - ,a2r,a2r+1, - a2n), bm=(am1 ,am2,amr,amr+1, amn)由 klbl+k2b2 +kmbm=0 可得：kiaii+k2a2i+kmami=0kiai2+k2a22+kmam2=0 ki air+k2a2r+ +k mamr =0kiair+1+k2a2r+1kmamr+1 =0Jkiain+k2a2n+kmamn=0去前面 r 個(gè)分量可得：kl(ai1,ai2,air)+k2(a21,a22,a2r)+ +km(am1,am

10、2,amr)=0即kiai+k2a2+ +kmam=0由假設(shè)知ki,k2,km不全為0，因此ai,a2,am線性相關(guān)，此與 ai,a2,am線性無(wú)關(guān)相矛盾，結(jié)論得證 .習(xí)題三i(i) 解：對(duì)矩陣進(jìn)行初等行變換為253ii743253ii743253ii743759453i320i230i23759453i340i3500i2253220480i350000該矩陣的秩為3，矩陣的第i,2,3 列是它的列向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組(2) 解：對(duì)矩陣進(jìn)行初等行變換為100210021002011101110111000100010001111001120021該矩陣的秩為4,因此矩陣的第1,2,3,4列

11、是它的列向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組2. (1)解：以ai,a2,a3為列作矩陣 A:141141141213095095A=15409500036701810000該矩陣的秩為2,它的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組為a1,a2100解：以a1,a2,a3為列作矩陣A=120003該矩陣為下三角矩陣，其A0，因此該矩陣的秩為3,它的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組為向量組本身.解：以a1,a2,a3,a4,a5為列作矩陣A,112211122 111221021510215102151A203130215 100000110410022 20022211221021510022200000矩陣A的秩為3,矩陣A的第1,2,3列構(gòu)成它

12、的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組,3.證明：(法一)設(shè) A： ai,a2, ,as ； Bg®, ,b，且 R(A) R(B) rC : ai ,a2, , as,bi, b2, bt向量組C能被A表示，而A也能被C表示所以 R(C) R(A) r R(B)取向量組B的極大無(wú)關(guān)組為：bii ,bi2, , bir，它也是向量組 C的極大無(wú)關(guān)組所以向量組C能由向量組bbi2，b線性表示，所以向量組C能由向量組B線性表示，所以向量組 A能由向量組B線性表示，加上題設(shè)條件，所以向量組A與向量組B等價(jià)。(法 二)設(shè)向量組B和A的秩均為r,且設(shè)它們的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組分別為(bi,b2,br),(ai,a2,ar

13、).則由極大無(wú)關(guān)組的性質(zhì)可知：一個(gè)向量組的所有向量都可由它的一個(gè)極大無(wú) 關(guān)組的向量線性表示.因此要證明向量組 A與B等價(jià)，只證明ai,a2,ar可由bi,b2,br 線性表示即可.因?yàn)锽可由A線性表示，不妨設(shè)bi=ciiai+ci2a2+ +cirarb2=C2iai+C22a2+ +C2rarbr= Criai+Cr2a2+ +Crrar不妨設(shè)存在常數(shù)ki,k2,kr使kib l + k2b2 +krbr=0于是可得：(kiCii+k2C2i+krCri)ai + (kiCi2 + k2C22+ +krbr2)a2+ +(k iCir+k2C2r+ +krbrr)ar=0 由ai,a2,ar

14、線性無(wú)關(guān)可得：kiCii + k2C2i +krCri=0kiCi2+k2C22+ +k rbr2=0ki Cir+k2C2r+ +krbrr=0把ki,k2,kr當(dāng)作未知數(shù)，當(dāng)ki,k2,kr只有0解時(shí)，bi,b2,br線性無(wú)關(guān).要ki,k2,kr只有0解，當(dāng)且僅當(dāng)Cij0(i=i,r,j=i,2,r),即CiiCi2Ci rC2iC22C2rC=Cr iCr2CrrCiiCi2CirC2iC22C2r即矩陣C的秩為r，存在逆矩陣c-i設(shè) C-i =CriCr2Crrbiaib?a?又因?yàn)?=c，則brarbiC-ib2=C-iCa2braraibia2-ib2brar因此有:ai= Cii

15、 bi+ C12 b2+ Cir br 32= C21 bi+ C22 b2+.+ C?r brar= cri bi + cr2 b2+ + crr br也即說(shuō)明，ai,a2,ar可由bi,b2,br線性表示，因此結(jié)論成立4.證明： 必要性.若a是任一 n維向量，由于 n+i個(gè)n維向量ai,a2,an ,a必線性相 關(guān)，而ai,a2,an線性無(wú)關(guān)，故a必可由ai,a2,an線性表示.(2)充分性.因?yàn)槿我?n維向量都能由ai,a2,an線性表示，則特別地n維單位坐標(biāo)向量ei,e2,en都能由ai,a2,an線性表示，因此，ai,a2,an與ei,e2,en是等價(jià)的向量組，故 ai,a2,an的

16、秩為n,即它們線性無(wú)關(guān).5. 證明：因?yàn)镽3=L(ei,e2,e3), ei,e2,e3表示單位坐標(biāo)向量，所以只須證明L(ei,e2,e3)=L(ai,a2,a3).即證 ei,e2,e與 ai,a2,a3等價(jià).顯然，ai,a2,a3可由 ei,e2,e3線性表示，因而只須 證明ei,e2,e3可由ai,a2,a3線性表示即可.i i因?yàn)?ai, a2, a30 i =2i 00ii因此矩陣i0i為可逆矩陣,ii0其逆矩陣為iii222iii222即 ei,e2, e3 = ai, a?, a32 21 12 21 12 2這說(shuō)明 e1,e2,e3 可由 a1,a2,a3線性表示，因此L(a1

17、,a2,a3)= R3.6. 證明:(法 一)Ta11 1 0011 0010 1 110 1 1Ta21 0 1101 1101 1 101 1 1bT2133202 2101 1bT0111011 1011 1Ta1 因?yàn)門(mén)與bTT有相1司的行最簡(jiǎn)形矩亍陣，并且矩陣經(jīng)過(guò)有1限次初等行變換得到的a2b2新矩陣的行向量組與原來(lái)矩陣的行向量組等價(jià)，所以向量組a： , a：與向量b1, b：等價(jià)，即向量組a1,a2與向量組b1,b2等價(jià)。(法二)(1) ('b1,b2)能由(a1,a2)線性表示k3201 1111 0k1k331 =-0 1k2k4310 1k311可解得：=k2k431

18、設(shè)('b1,b2)= (a1,a2)k1 k2k4這說(shuō)明(b,b2)能由(a1 ,a2)線性表示.(2)(a1 ,a2)能(b,b2)由線性表示由(1)可知：(b1,b2)= (a1,a2)=-2 01111 111 也即是矩陣有可逆矩陣，可求得其逆矩陣為223 1312 21 1因此有(a1,ae)= ('b1,b2)3 f3 I2 2也即(a1 ,a2)能('b1 ,b2)由線性表示.由(1),(2)可知:L(a1,a2)=L('b 1,b2)7.解：設(shè)存在常數(shù)k1,k2, k3使k£1+k2a2+k3a3=0即k1 2k2 3k30kt k? k

19、303k2 2k30可解得：k1 =k2=k3=0因此a1,a2,a3線性無(wú)關(guān)，即a1,a2,a3為R3的一個(gè)基.設(shè)向量 b1=l 1a1+l2a2+l3a3, b2=l4a1+l5a2+l6a3.即(l1,b,l3)，(14,15,16)分別為 b1,b2在基 a1 ,a2,as下的坐標(biāo).也即是：h 2123135l4 2l5 3l6911 l 2130和l 415l6831221373l5 2l613l12I43可分別解得：l23和l53l31l62因而b1,b2在基a1,a2,a3下的坐標(biāo)分別為(2,3,-1)和(3,-3,-2).8. 解：V的維數(shù)為n-1維，取V中n-1個(gè)向量02=(

20、0,1,0，,0), e3=(0, 0,1 ,0), en= (0,0,0,1).易證e2,e3,en線性無(wú)關(guān).對(duì)任意X=(0,X2,X3，,xn)有 X=X2e2+X3e3+ +Xnen，因此，e2,e3,en為 V 的一個(gè)基.習(xí)題四1. (1)解:齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的行變換如下112 11121112 11024211 10131010 30103221 2003400340034于是可得:14X43XX44-3 4-31 2 A XXX取X4= 1可得線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為:43=3=431因此可得線性方程組的通解為：=k , k R.(2)解：齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的行變換

21、如下1211121112013613004000105101500400000可得:X1X42X2X30X21 0取 2,，可得線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為:X40 121101=, 2 =0001因此可得線性方程組的通解為：=k1 1+k2 2, k1,k2 R.(3)解：齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的行變換如下231512471247312707101407104314413609193400716124707919001512470710140015000327723141212450738213014419607于是可得：X12X31X3X322.(1)解：非齊次線性方程組的增廣矩陣的行變換

22、如下4510217140112142800007140000因此該齊次線性方程組只有0解.其導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為:2=1，非齊次線性方程組的一個(gè)特解為1因此非齊次線性方程組的通解為：=0+k ,k R.(2)非齊次線性方程組的增廣矩陣的行變換如下2112 1 12 111 211211 1 21 103301121 2 11 203 30101101100000因此有：X1X31X2X32可得非齊次線性方程組的一個(gè)特解為：o= 1 .其導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為:11=1 .于是可得非齊次線性方程組的通解為:=0+k ,k R.3.解：因齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系有兩個(gè)解向量，所以它的系數(shù)矩陣的秩為 4-2=2,說(shuō)明系數(shù)矩陣通過(guò)行變換，有兩行可化為0向量因此只求其前兩行，后兩行由前兩行通過(guò)行變換得到aii,ai2,ai3,ai4禾口 a2i,a22,a23,a24.由 1,2是齊次線性方程組的解向量可得：ai22ai33ai403a)i2a2ai303ai(2ai2ai3 )可解得：c3a4(ai22ai3)設(shè)系數(shù)矩陣前兩行的元素為取 ai2=3,ai3=0 可有 aii=-2,ai4=-1,(1)取 ai2=0,ai3=3 可有 aii=-i,ai4=-2.由于a2i,a22,a23,a