中考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)等腰三角形問題

1、學(xué)習(xí)好資料歡迎下載第1頁共 6 頁2012中考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)等腰三角形問題（一）如圖 1，已知正方形 OABC 的邊長為 2,頂點(diǎn) A、C 分別在 x、y 軸的正半軸上，M是 BC 的中點(diǎn).P（0,m）是線段 OC 上一動點(diǎn)（C 點(diǎn)除外），直線 PM 交 AB 的延長線于點(diǎn) D.（1）求點(diǎn) D 的坐標(biāo)（用含 m 的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)厶 APD 是等腰三角形時，求 m 的值；（3） 設(shè)過 P、M、B 三點(diǎn)的拋物線與 x 軸正半軸交于點(diǎn) E,過點(diǎn) O 作直線 ME 的垂 線，垂足為 H （如圖 2） 當(dāng)點(diǎn) P 從 O 向 C 運(yùn)動時，點(diǎn) H 也隨之運(yùn)動請直接寫出點(diǎn) H 所經(jīng)過的路長（不必寫解答

2、過程）.動感體驗請打開幾何畫板文件名“ 11 湖州 24 ”，拖動點(diǎn) P 在 OC 上運(yùn)動，可以體驗到，APD 的三個頂點(diǎn)有四次機(jī)會可以落在對邊的垂直平分線上雙擊按鈕“第（3）題”，拖動點(diǎn) P 由 O 向 C 運(yùn)動，可以體驗到，點(diǎn) H 在以 OM 為直徑的圓上運(yùn)動.雙擊按鈕“第（2） 題”可以切換.思路點(diǎn)撥1用含 m 的代數(shù)式表示表示 APD 的三邊長，為解等腰三角形做好準(zhǔn)備.2 探求 APD 是等腰三角形，分三種情況列方程求解.學(xué)習(xí)好資料歡迎下載第2頁共 6 頁3.猜想點(diǎn) H 的運(yùn)動軌跡是一個難題.不變的是直角，會不會找到不變的線段長呢?RtAOHM 的斜邊長 OM 是定值，以 0M 為直徑

3、的圓過點(diǎn) H、C.滿分解答(1) 因為 PC/ DB,所以=1.因此 PM= DM, CP= BD= 2-m.所BD DM MB以 AD = 4 m .于是得到點(diǎn) D 的坐標(biāo)為(2 , 4 m).(2)在厶 APD 中，AD2=(4 m)2, APm24,PD2=(2PM )2=4 4(2 m)2.1當(dāng) AP=AD 時，(4 _m)2二m24解得 m (如圖 3).22當(dāng) PA= PD 時，m24 =44(2 _m)2解得m=4(如圖 4)或 m=4 (不合題意，3舍去).3當(dāng) DA= DP 時，(4 -m)2=4，4(2-m)2.解得 m (如圖 5)或 m=2 (不合題意，3舍去).綜上所

4、述，當(dāng) APD 為等腰三角形時，m 的值為3,4或2.233圖 3圖 4圖 5(3 )點(diǎn) H 所經(jīng)過的路徑長為 亠二.4學(xué)習(xí)好資料歡迎下載第3頁共 6 頁考點(diǎn)伸展學(xué)習(xí)好資料歡迎下載第4頁共 6 頁第（2）題解等腰三角形的問題，其中、用幾何說理的方法，計算更簡單:如圖 3,當(dāng) AP= AD 時，AM 垂直平分 PD,那么 PCMSAMBA.所以如圖 4,當(dāng) PA= PD 時，P 在 AD 的垂直平分線上.所以 DA= 2P0.因此 4_m=2m .解m =-3第（2）題的思路是這樣的:如圖 6，在 Rt OHM 中，斜邊 OM 為定值，因此以 OM 為直徑的OG 經(jīng)過點(diǎn) H,也 就是說點(diǎn) H 在

5、圓弧上運(yùn)動.運(yùn)動過的圓心角怎么確定呢？如圖 7, P 與 O 重合時，是點(diǎn) H 運(yùn)動的起點(diǎn)，/ COH= 45 ,ZCGHh 90 .PCCMJ .因此PC,m 工.BA 222學(xué)習(xí)好資料歡迎下載第5頁共 6 頁如圖 1，已知一次函數(shù) y= x+ 7 與正比例函數(shù) y=4x 的圖象交于點(diǎn) A,且與 x 軸3交于點(diǎn) B.(1)求點(diǎn) A 和點(diǎn) B 的坐標(biāo);(2)過點(diǎn) A 作 AC 丄 y 軸于點(diǎn) C,過點(diǎn) B 作直線 1 y 軸.動點(diǎn) P 從點(diǎn) 0 出發(fā)，以每秒 1 個單位長的速度，沿 0 C A 的路線向點(diǎn) A 運(yùn)動；同時直線 I 從點(diǎn)B 出發(fā)，以 相同速度向左平移，在平移過程中，直線 I 交

6、x 軸于點(diǎn)R, 交線段 BA 或線段 A0 于點(diǎn) Q.當(dāng)點(diǎn) P 到達(dá)點(diǎn) A 時，點(diǎn) P 和直線I 都停止運(yùn)動在運(yùn)動過程中，設(shè)動點(diǎn) P 運(yùn)動的 時間為 t 秒.當(dāng) t 為何值時，以 A、P、R 為頂點(diǎn)的三角形的面積為是否存在以 A、P、Q 為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求 t 的值；若不存 在，請說明理由.動感體驗請打開幾何畫板文件名“ 11 鹽城 28 ”，拖動點(diǎn) R 由 B 向 0 運(yùn)動，從圖像中可以看 到， APR 的面積有一個時刻等于 &觀察 APQ,可以體驗到，P 在 0C 上時，只存在 AP= AQ 的情況；P 在 CA 上時，有三個時刻， APQ 是等腰三角形.思路點(diǎn)

7、撥1.把圖 1 復(fù)制若干個，在每一個圖形中解決一個問題.2 求 APR 的面積等于 8,按照點(diǎn) P 的位置分兩種情況討論事實上，P 在 CA 上運(yùn)動時，高是定值 4，最大面積為 6，因此不存在面積為 8 的可能.3 討論等腰三角形 APQ,按照點(diǎn) P 的位置分兩種情況討論，點(diǎn) P 的每一種位置又 要討論三種情況.滿分解答學(xué)習(xí)好資料歡迎下載第6頁共 6 頁x3得3,所以點(diǎn) A 的坐標(biāo)是(3 , 4).y =4.令 y 一 _x 7 =0，得 X =7 .所以點(diǎn) B 的坐標(biāo)是(7, 0).(2)如圖 2，當(dāng) P 在 OC 上運(yùn)動時，0GV4 由SA=S梯形O$A百=8,1112得-(3+7 -t)

8、44 (4t)-1t(71)=8 整理，得t -8t 12 =0解得 t = 2 或 t = 6 2 2 2(舍去).如圖 3，當(dāng) P 在 CA 上運(yùn)動時， APR 的最大面積為 6.因此，當(dāng) t= 2 時，以 A、P、R 為頂點(diǎn)的三角形的面積為 &我們先討論 P 在 OC 上運(yùn)動時的情形，0 45 , OB= 7 ,AB =4邁，所以 OBAB.因此/ OABZAOBZB.如圖 4，點(diǎn) P 由 O 向 C 運(yùn)動的過程中，OP= BR= RQ,所以 PQ/x 軸.因此/ AQP= 45。保持不變，ZPAQ 越來越大，所以只存在/ APQ=ZAQP 的情況.此時點(diǎn) A 在 PQ 的垂直平

9、分線上， OR= 2CA= 6 .所以 BR= 1, t = 1 .我們再來討論 P 在 CA 上運(yùn)動時的情形，4 tV7 .在厶 APQ 中，cosA=3為定值，AP=7-1 , AQ=OA-OQ=OA-耳5333如圖 5，當(dāng) AP= AQ 時，解方程7-1=5t-20，得 t 二41.338(1 )解方程組y 二-x 7,4y=3x，iCPOR圖 2圖 3學(xué)習(xí)好資料歡迎下載第7頁共 6 頁如圖 6，當(dāng) QA QA 時，點(diǎn) Q 在 PA 的垂直平分線上， AP= 2( OR- OP).解方程7 -t =2(7 t) _(t _4)，得 t =5.學(xué)習(xí)好資料歡迎下載第8頁共 6 頁5t_20=2(7_t) 3，得 t 二竺