正方形格點(diǎn)陣中多邊形面積的計(jì)算公式

1、正方形格點(diǎn)陣中多邊形面積的計(jì)算公式，出現(xiàn)在各種形狀的格點(diǎn)陣中的直線形的面積問題，以及借助構(gòu)造格點(diǎn)陣求解的幾何問題通過恰當(dāng)?shù)胤指钆c拼補(bǔ)進(jìn)行計(jì)算的面積問題 1如圖6-1，每一個(gè)小方格的面積都是l平方厘米，那么用粗線圍成的圖形的面積是多少平方厘米?【分析與解】 方法一：正方形格點(diǎn)陣中多邊形面積公式：（N+-1)單位正方形面積，其中N為圖形內(nèi)格點(diǎn)數(shù)，L為圖形周界上格點(diǎn)數(shù)有N=4，L=7，則用粗線圍成圖形的面積為：（4+-1)1=6.5(平方厘米)方法二：如下圖，先求出粗實(shí)線外格點(diǎn)內(nèi)的圖形的面積，有=32=1.5， =22=1，=22=1，=22=1，=22=l，=22=1，還有三個(gè)小正方形，所以粗實(shí)線

2、外格點(diǎn)內(nèi)的圖形面積為1.5+l+1+1+1+1+3=9.5，而整個(gè)格點(diǎn)陣所圍成的圖形的面積為16，所以粗線圍成的圖形的面積為：16-9.5=6.5平方厘米 2如圖6-2，如果每一個(gè)小三角形的面積是1平方厘米，那么四邊形ABCD的面積是多少平方厘米?【分析與解】方法一：正三角形方形格點(diǎn)陣中多邊形面積公式：(2N+L-2)x單位正三角形面積，其中N為圖形內(nèi)格點(diǎn)數(shù)，L為圖形周界上格點(diǎn)數(shù)有N=9，L=4，所以用粗線圍成的圖形的面積為：(92+4-2)1=20(平方厘米) 方法二：如下圖，我們先數(shù)出粗實(shí)線內(nèi)完整的小正三角形有10個(gè)，而將不完整的小正三角形分成4部分計(jì)算，其中部分對(duì)應(yīng)的平行四邊形面積為4，

3、所以部分的面積為2，、部分對(duì)應(yīng)的平行四邊形面積分別為2，8，6，所以、部分的面積分別為1，4，3所以粗實(shí)線內(nèi)圖形的面積為lO+2+1+4+3=20(平方厘米) 3.如果圖6-3是常見的一副七巧板的圖，圖6-4是用這副七巧板的7塊板拼成的小房子圖，那么，第2塊板的面積等于整幅圖的面積的幾分之幾?第4塊板與第7塊板面積的和等于整幅圖的面積的幾分之幾? 【分析與解】 如下圖，我們?cè)趫D6-3中標(biāo)出圖6-4中各塊圖形的位置 設(shè)整個(gè)七巧板組成的正方形的邊長為1，顯然整幅圖形的面積為1，且有第2塊的面積為= 有=，=2，有2、3、4、5、7五塊圖形的面積之和為，所以=，=所以第2塊板的面積等于整幅圖面積的，

4、第4塊板與第7塊板面積和為整幅圖面積的+= 4把正三角形每邊三等分，將各邊的中間段取來向外面作小正三角形，得到一個(gè)六角形再將這個(gè)六角形的各個(gè)“角”(即小正三角形)的兩邊三等分，又以它們的中間段向外作更小的正三角形，這樣就得到圖6-5所示的圖形如果這個(gè)圖形面積是1，那么原來的正三角形面積是多少?【分析與解】 方法一：如右圖，我們將圖6-5分成若干個(gè)大小、形狀完全相同的小正三角形，由40塊小正三角形組成圖6-5，而由27塊小正三角形組成了圖中最大的正三角形 120塊小正三角形的面積為1，所以每塊為，那么原來的正三角形由81塊小正三角形組成，其面積顯然為 方法二：如下圖，我們把圖6-5中的三角形分成

5、A、B、C三種，設(shè)A形正三角形面積為“1”，則B、C兩種正三角形的面積依次為“”、“”在圖6-5中，A種、B種、C種正三角形的個(gè)數(shù)依次為1，3，12，所以圖6-5中圖形的面積為1+3+12=所以有“1”對(duì)應(yīng)，而原來的正三角形即為三角形A，所以原來的正三角形的面積為.5如圖6-6，正六邊形ABCDEF的面積是6平方厘米，M是AB中點(diǎn)，N是CD中點(diǎn)，P是EF中點(diǎn)問：三角形MNP的面積是多少平方厘米? 【分析與解】 如下圖，我們將圖6-6分成大小、形狀相同的三角形，有正六邊形ABCDEF包含有24個(gè)小正三角形，而陰影部分MNP包含有9個(gè)小正三角形正六邊形ABCDEF的面積為6，所以每個(gè)小正三角形的面

6、積為624=，所以三角形MNP的面積為9=2.25(平方厘米) 6把同一個(gè)三角形的三條邊分別五等分、七等分，適當(dāng)連接這些分點(diǎn)，便得到了若干個(gè)面積相等的小三角形已知圖6-7中陰影部分的面積是294平方分米，那么圖6-8中的陰影部分的面積是多少平方分米? 【分析與解】 在圖6-7中，原正三角形被分成25個(gè)小正三角形，而陰影部分含有12個(gè)小正三角形，所以每個(gè)小正三角形的面積為29412=24.5，所以原正三角形的面積為24.525=612.5(平方分米)而在圖6-8中，原正三角形被分成49塊，而陰影部分含有16塊，所以陰影部分的面積為612.54916=200(平方分米) 7圖6-9是55的方格紙，

7、小方格的面積是1平方厘米，小方格的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)請(qǐng)你在圖上選7個(gè)格點(diǎn)，要求選出的點(diǎn)中任意3點(diǎn)都不在同一條直線上，并且使這7個(gè)點(diǎn)用直線連接后所圍成的面積盡可能大那么所圍圖形的面積是多少平方厘米? 【分析與解】 我們知道滿足題意的7個(gè)點(diǎn)可以組成一個(gè)七邊形，適當(dāng)?shù)那腥フ叫蔚囊粋€(gè)角可以得到一個(gè)五邊形，切出2個(gè)角可以得到一個(gè)六邊形，切去3個(gè)角可以得到七邊形. 為了使最后留下的七邊形的面積盡可能大，那么切去的3個(gè)角面積應(yīng)盡可能的小如下切法得到的七邊形的面積最大，為25-30.5=23.5(平方厘米) 8.在圖6-10中，三角形ABC和DEF是兩個(gè)完全相同的等腰直角三角形，其中DF長9厘米，CF長3厘米，那

8、么陰影部分的面積是多少平方厘米?【分析與解】 方法一：如圖(a)，將原題中圖形分為12個(gè)完全一樣的小等腰三角形 ABC占有9個(gè)小等腰三角形，其中陰影部分占有6個(gè)小等腰三角形，S=992=40.5(平方厘米)，所以陰影部分的面積為40.596=27(平方厘米) 方法二：如圖(b)，連接IG，有四邊形ADGI為正方形，易知FG=FC=3(厘米)，所以DG=DF-FG=9-3=6(厘米)，于是S=9.而四邊形IGFB為長方形，有BF=AD=DG=6(厘米)，GF=3(厘米)，所以=63=18 陰影部分面積為A HIG與長方形IGFB的面積和，即為9+18=27(平方厘米) 方法三：如圖(C)，為了方

9、便敘述，將圖6-10中某些交點(diǎn)標(biāo)上字母易知三角形BIE、CGF、AIH、DGH均為等腰直角三角形先求出等腰直角三角形AHI、CGF的面積，再用已知的等腰三角形ABC的面積與其作差，即為需求陰影部分的面積有S=EFDF=，=CFFG= 因?yàn)镃F=FG=3，所以DG=DF-FG=6 如圖(d)，可以將4個(gè)三角形DGH拼成一個(gè)邊長為DG的正方形所以，=DGDG=9，而=9，所以= S-= -9=27(平方厘米)即陰影部分的面積為27平方厘米9如圖6-11，在長方形ABCD中，O是長方形的中心，BC長20厘米，AB長12厘米，DE=4AE，CF=3DF，那么陰影部分的面積是多少平方厘米?【分析與解】

10、我們只用先求出四邊形ADFO的面積，再將其減去兩個(gè)三角形AEO、EFD的面積和，即為所求陰影部分的面積而四邊形ADFO的面積等于兩個(gè)三角形AOD、ODF的面積和由題意知AE=4，ED=16，DF=3，F(xiàn)C=9有=2012=60，=DF(AD)= 320=15=AE(AB)= 412=12，=EDDF=163=24有=(+)-=60+15-12-24=39(平方厘米)即陰影部分的面積為39平方厘米 10如圖6-12，大正方形的邊長為10厘米連接大正方形的各邊中點(diǎn)得小正方形，將小正方形每邊三等分，再將三等分點(diǎn)與大正方形的中心和一個(gè)頂點(diǎn)相連，那么圖中陰影部分的面積總和等于多少平方厘米?【分析與解】

11、如下圖，我們將大正方形中的所有圖形分成A、B兩種三角形 其中含有A形三角形8個(gè)，B形三角形16個(gè)，其中陰影部分含有A形三角形4個(gè)，B形三角形8個(gè) 所以，陰影部分面積恰好為大正方形面積的，即為1010=50(平方厘米) 11如圖6-13，ABCD是邊長為8厘米的正方形，梯形AEBD的對(duì)角線相交于0，三角形AOE的面積比三角形BOD的面積小16平方厘米，則梯形AEBD的面積是多少平方厘米? 【分析與解】如下圖，將梯形AEBD內(nèi)4個(gè)三角形的面積分別記為、 在梯形AEBD中，有EBD、ABD同底等高，所以有=，即+=+顯然有=由題意知-=16，即-=16，于是有(+)-(+)=16已知+=88=32，

12、所以+=(+)-16=16 所以有=(+)+(+)=32+16=48(平方厘米)評(píng)注：在任意梯形ABCD中，兩條對(duì)角線將其分成四個(gè)部分，記它們的面積為“上”、“下”、“左”、“右”，有：左=右；左右=上下；上：下=A：B12如圖6-14，ABCD是長方形，長AD等于7.2厘米，寬AB等于5厘米，CDEF是平行四邊形如果BH的長是3厘米，那么圖中陰影部分的面積是多少平方厘米?【分析與解】 =DCBC=57.2=36，HC=BC-BH=7.2-3=4.2，所以=CDHC=54.2=10.5=-=36-10.5=25.5(平方厘米). 13如圖6-15，已知一個(gè)四邊形的兩條邊的長度和三個(gè)角，那么這個(gè)

13、四邊形的面積是多少? 【分析與解】 將AD、BC延長交于E，有EDC=45，ECD=90，所以CDE為等腰直角三角形，有EC=DC而ECD =45，EAB=90，所以ABE也是等腰直角三角形，有EA=AB有=ABEA=，=ECDC= 有=-=-=20 14圖6-16是邊長為1的正方形和一個(gè)梯形拼成的“火炬”梯形的上底長1.5米，A為上底的中點(diǎn)，B為下底的中點(diǎn)，線段AB恰好是梯形的高，長為0.5米，CD長為丟米那么圖中陰影部分的面積是多少平方米?【分析與解】 方法一：為了方便敘述將下圖中一些點(diǎn)標(biāo)上字母延長AB交正方形邊EF于H點(diǎn)，我們先求出梯形JICK與正方形IFEC的面積和，再求出三角形AFH

14、與梯形AHED的面積和，將前者與后者做差所得到的值即為所求陰影部分的面積 =(1.5+1)0.5=0.625， =11=1 =AHFH=（AB+BH）(FE)= (0.5+1)-（1）=0.375，=(AH+DE)HE=(AB+BH+CE-CD)(FE)=(0.5+1+1-)(1)=有=+-=0.625+l-0.375-=(平方米)即陰影部分的面積為平方米方法二：如下圖，連接AI、AC，將陰影部分分成四個(gè)部分 AJI可以看作以AJ為底，AB的長為高的三角形；AKC可以看作以AK為底，AB的長為高的三角形；AJF可以看作以IF為底，IB的長為高的三角形；ACD可以看作CD為底CB的長為高的三角形陰影部分面積為+ =0.750.52+O.75O.52+lO.52+0.52 =0.187