第二章拉伸壓縮與剪切

1、第二章第二章拉伸、壓縮與剪切2.1 軸向拉伸與壓縮的概念和實(shí)例受力特點(diǎn)：作用于桿件上的外力合力的作用線與桿件軸線重合。變形特點(diǎn)：沿軸線方向的伸長(zhǎng)或縮短。桁架中的桿件不是受拉力就是受壓。連桿、活塞桿、千斤頂?shù)穆輻U。2.2 軸向拉伸與壓縮的概念和實(shí)例一、內(nèi)力、截面法1、 內(nèi)力物體因受外力作用而變形，內(nèi)部各部分之間因相對(duì)位置改變而引起的相互作用就是內(nèi)力。即使不受外力的作用，物體的各質(zhì)點(diǎn)之間依然存在著相互作用力固有內(nèi)力。而材料力學(xué)中所說(shuō)的內(nèi)力是指外力作用下，上述相互作用力的變化量，稱為“附加內(nèi)力”，它隨外力的增加而加大，到達(dá)某一限度時(shí)就會(huì)引起構(gòu)件的破壞，它與強(qiáng)度密切相關(guān)。2、截面法受外力作用而處于平衡

2、的構(gòu)件，要是顯示和計(jì)算內(nèi)力一般截面法來(lái)確定。它是研究力學(xué)問(wèn)題的基本方法。截面法假想地用一截面，將桿件截開(kāi)，從而揭示和確定內(nèi)力的方法。步驟：1. 欲求某一截面上的內(nèi)力時(shí)，就沿該截面 假想地把構(gòu)件分成兩部分，任意地留下一部分作為研究對(duì)象，并棄去另一部分。2. 用作用于截面上的內(nèi)力代替棄去部分對(duì)留下部分的作用。3. 建立留下部分的平衡方程確定未知的內(nèi)力。N=P P的作用與桿的軸線重合，所以N的作用線也與軸線重合。 N軸力符號(hào)規(guī)定：拉為正、壓為頁(yè)二、軸力圖選取一坐標(biāo)系，其橫坐標(biāo)表示橫截面的位置，縱坐標(biāo)表示相應(yīng)截面上的軸力，正的畫(huà)在上側(cè)，負(fù)的畫(huà)在下側(cè)，按一定的比例所畫(huà)出的圖線稱為軸力圖。例：已知P=2.

3、62 KN， P2=1.3 KN ，P3=1.32 KN做活塞桿的軸力圖。1N=2.62KN12N=1.32KN選取一坐標(biāo)系，其橫作標(biāo)表示橫截面的位置，縱坐標(biāo)表示相應(yīng)截面上的軸力，這樣的圖線表示軸力，軸力圖不但表示相應(yīng)截面軸力的大小，而且還表示出相應(yīng)的變形是拉伸還是壓縮。例：畫(huà)圖示桿件的軸力圖。例：畫(huà)圖示桿件的軸力圖。例：求等截面直桿，在自重作用下的軸力圖，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，總重為P解：p= 為載荷集度y=0 -Ny + y=0第二章Ny = y=pyNmax =pL=P當(dāng)y=0時(shí)N=0當(dāng)y=L時(shí)得上邊的最大值。三、應(yīng)力內(nèi)力集度只根據(jù)軸力并不能判斷桿件是否有足夠的強(qiáng)度。例如粗細(xì)不同的兩根桿，在相同拉力

4、下，兩桿的軸力自然是相同的。但當(dāng)拉力 逐漸增大時(shí)，細(xì)桿必定先被拉斷，說(shuō)明拉桿的強(qiáng)度不僅與軸力有關(guān)，而且與橫截面面積有關(guān)，所以必須用應(yīng)力來(lái)度量桿件的受力程度。為了求得應(yīng)力從實(shí)驗(yàn)入手。取一桿件，變形前在等直桿的側(cè)面上畫(huà)垂直于桿軸的直線ab和cd，受力（軸力）后，發(fā)現(xiàn)ab和cd仍為直線，且仍 于軸線，只是分別平移到ab、cd，根據(jù)此現(xiàn)象假設(shè)：變形前原為平面的橫截面，變形后仍保持為平面且仍 于軸線平面假設(shè)推斷：拉桿所有縱向“纖維”的伸長(zhǎng)是相等的但因材料是均勻的所有縱向纖維的受力是一樣的，橫截面上各點(diǎn)的正應(yīng)力相等，內(nèi)力均勻分布， 截面的應(yīng)力稱為正應(yīng)力。dA=N dA=N=此公式同樣可以用于N為壓力時(shí)的應(yīng)

5、力計(jì)算。符號(hào)規(guī)定：拉應(yīng)力為 壓應(yīng)力這 。說(shuō)明：1. 在使用以上公式時(shí)要求外力合力與桿件軸線重合，才能保證橫截面的正應(yīng)力均勻分布。2. 當(dāng)截面尺寸沿軸線變化時(shí)，只要變化緩慢，外力合力與軸線重合公式仍可使用。（x）=桿端加力方式對(duì)桿件橫截面上應(yīng)力的影響；實(shí)驗(yàn)表明：桿端的加力方法，只對(duì)桿端附近的應(yīng)力分布有影響，受影響的長(zhǎng)度不超出桿的橫向尺寸圣維南原理。例：作圖所示階梯桿的軸力圖，并計(jì)算指定截面上的應(yīng)力，已知A1=400mm2, A2=600mm2, A3=800mm2,解：畫(huà)軸力圖1-1 = =100Mpa（壓）2-2 = =33.3Mpa（壓）3-3 = =25Mpa（拉）例：圖示一鉆桿簡(jiǎn)圖，上端

6、固定，下端自由，長(zhǎng)為L(zhǎng)，截面面積為A，材料容重為 ，試分析該桿由自重引起的橫截面上的應(yīng)力沿桿長(zhǎng)的分布規(guī)律。解：x段的重量G（x）=x A 則N（x）=G(x)=xA畫(huà)出軸力圖Nmax=AL（x）= = = ，應(yīng)力為x的一次函數(shù)第二章當(dāng)x=0時(shí) =0當(dāng)x=L時(shí) max= L書(shū)上例2.2（P20）2.3 直桿軸向拉伸或壓縮時(shí)斜截面上的應(yīng)力前面討論了軸向拉（壓）時(shí)，直桿橫截面上的正應(yīng)力，它是今后強(qiáng)度計(jì)算的依據(jù)。但不同材料的實(shí)驗(yàn)表明，拉（壓）桿的破壞并不總是沿著橫截面發(fā)生，為此，應(yīng)進(jìn)一步討論斜截面上的應(yīng)力。設(shè)直桿的軸向拉力為P，橫截面面積為A= =A =由平衡知K-K截面上的P=P 角的符號(hào)規(guī)定逆時(shí)針

7、為正，順時(shí)針為負(fù)。P討論： 和 都是 的函數(shù)當(dāng) 時(shí)， ， ，當(dāng) （或-45）時(shí)，當(dāng) 時(shí)2.4 材料在拉伸時(shí)的力學(xué)性能力學(xué)性能（機(jī)械性能） 材料在外力作用下表現(xiàn)出來(lái)的變形、破壞等方面的特性。靜載、室溫下的試驗(yàn)。試件：標(biāo)準(zhǔn)試件L 標(biāo)距L=5d和L=10d一、低碳鋼拉伸時(shí)的力學(xué)性能在工程中使用較廣泛，力學(xué)性能也最為典型。在常溫靜載下，試件受拉力P的作用。對(duì)應(yīng)每一個(gè)拉力P試件L有一個(gè)伸長(zhǎng)量 L。表示P和 L的關(guān)系的曲線稱為拉伸圖或P- L曲線。低碳鋼的力學(xué)性能如下：1、彈性階段關(guān)系為直線oa。引入比例常數(shù)E彈性模量，單位GPa， GPa=10 Pa則 =E（胡克定律）E= , 正是oa段的斜率。a點(diǎn)所

8、對(duì)應(yīng)的應(yīng)力用 表示，稱為比例極限，a到b之間不再是直線關(guān)系，但解除拉力后變形可以完全消失，還是彈性變形。b點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力 表示材料只出現(xiàn)彈性變形的極限值， 稱為彈性極限。因?yàn)閍點(diǎn)與b點(diǎn)的距離很近，工程上對(duì)彈性極限與比例極限并不嚴(yán)格區(qū)分。2、屈服極限第二章當(dāng)應(yīng)力超過(guò)b點(diǎn)增加到某一數(shù)值時(shí)，應(yīng)變有非常明顯的增加，而應(yīng)力先是下降，然后作微小的波動(dòng)。在 曲線上出現(xiàn)接近水平線的小鋸齒形線段，這種應(yīng)力基本保持不變，而應(yīng)變顯著增加的現(xiàn)象，稱為屈服或流動(dòng)。在屈服階段內(nèi)的最高應(yīng)力和最低應(yīng)力分別稱為上屈服極限和下屈服極限，上屈服極限的數(shù)值與試樣形狀、加載速度等因素有關(guān)，一般是不穩(wěn)定的。下屈服極限則是比較穩(wěn)定的數(shù)值，

9、能夠反應(yīng)材料的性能，稱為屈服極限或屈服點(diǎn)。 稱為屈服極限。表面磨光的試樣屈服時(shí)，表面將出現(xiàn)與軸線大致成45 傾角的條紋。這是由于材料內(nèi)部晶格相對(duì)滑移形成的滑移線，是由于剪應(yīng)力造成的。材料屈服表現(xiàn)為顯著的塑性變形。是材料強(qiáng)度的重要指標(biāo)。對(duì)于低碳鋼 =240MPa3、強(qiáng)化階段過(guò)屈服階段后，材料又恢復(fù)了抵抗變形的能力，要繼續(xù)變形必須增加拉力。這種現(xiàn)象稱為材料的強(qiáng)化。最高點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力用 表示， 稱為強(qiáng)度極限。它是衡量材料強(qiáng)度的另一重要指標(biāo)。4、局部變形階段（頸縮階段）過(guò)最高點(diǎn)后在試樣的某一局部范圍內(nèi)，橫向尺寸突然急劇縮小，形成頸縮現(xiàn)象由于面積迅速縮小，拉力也隨之減小，最后被拉斷。5、延伸率和截面收縮

10、率試樣被拉斷后，由于保留了塑性變形，所以有：% 延伸率 ，它是衡量材料塑性的指標(biāo)。低碳鋼的延伸率平均值約為20-30%，說(shuō)明低碳鋼的塑性很好。5%的材料稱為塑性材料。5%的材料稱為脆性材料。= %斷面收縮率，它是衡量材料塑性的指標(biāo)。6、卸載定律及冷作硬化如把試樣拉到超過(guò)屈服極限的d點(diǎn)，然后逐漸卸除拉力，應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系將沿著斜直線dd 近似平行于oa,卸載過(guò)程中，應(yīng)力和應(yīng)變按直線規(guī)律變化。這就是卸載定律。od 表示不再消失的塑性變形，d g表示消失了的彈性變形。卸載后，如短期內(nèi)再次加載，則應(yīng)力和應(yīng)變大致上沿卸載時(shí)的斜直線dd 變化直到d點(diǎn)后又沿曲線def變化，d點(diǎn)以前材料的變形是彈性的，過(guò)d點(diǎn)

11、后才開(kāi)始出現(xiàn)塑性變形。其比例極限得到了提高，但塑性變形和延伸率有所下降。這種現(xiàn)象稱為冷作硬化，經(jīng)退火后又可以恢復(fù)。二、其他塑性材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能。P 圖2.15 16Mn鋼和低碳鋼一樣。如黃銅H62沒(méi)有屈服階段。如高碳鋼T10A沒(méi)有屈服和局部變形階段。對(duì)于沒(méi)有明顯屈服極限的塑性材料，可以 將產(chǎn)生0.2%的塑性應(yīng)變時(shí)的應(yīng)力作為屈服指標(biāo)并用 來(lái)表示。三、鑄鐵在拉伸時(shí)的力學(xué)性能灰口鑄鐵拉伸時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是一段微彎曲線，沒(méi)有明顯的直線段。它在較小的拉應(yīng)力下就被拉斷。沒(méi)有屈服和頸縮現(xiàn)象，拉斷前應(yīng)變很小，延伸率也很小?；铱阼T鐵是典型的脆性材料。由于鑄鐵的 函沒(méi)有明顯的直線部分，彈性模量E的數(shù)值隨應(yīng)力的

12、大小而變，但在工程上鑄鐵的拉應(yīng)力不能很高，而在較低的拉應(yīng)力下，則可近似地認(rèn)為服從虎克定律。通常取 曲線的割線代替曲線的開(kāi)始部分，并以其斜率作為彈性模量，稱為割線彈性模量。第二章強(qiáng)度極限 是衡量強(qiáng)度的唯一指標(biāo)。2.5 材料在壓縮時(shí)的力學(xué)性能試件：金屬的壓縮試樣一般制成很短的圓柱，以免被壓彎。對(duì)于金屬h=(1.53.0)d，對(duì)于混凝土、石料等則制成立方形的試塊低碳鋼壓縮時(shí)的彈性模量E和 與拉伸時(shí)大致相同，屈服階段以后，試樣越壓越扁，橫截面面積不斷增大，試樣抗壓能力繼續(xù)增高不會(huì)有 。鑄鐵：破壞斷面的法線與軸線大致成4555的傾角鑄鐵的抗壓強(qiáng)度比它的抗拉強(qiáng)度高45倍，其它脆性材料如混凝土、石料等抗壓強(qiáng)

13、度也永遠(yuǎn)高于抗拉強(qiáng)度。因此它們的壓縮試驗(yàn)比拉伸試驗(yàn)更為重要。P33表2.1列出了幾種常用材料的主要力學(xué)性能。工程材料的極限應(yīng)力，對(duì)于塑性材料為 ，對(duì)于脆性材料為 。2.7 失效、安全系數(shù)和強(qiáng)度計(jì)算一、失效由脆性材料制成的構(gòu)件，在拉力作用下，當(dāng)變形很小時(shí)會(huì)突然斷裂。塑性材料制成的構(gòu)件，在拉斷之前已出現(xiàn)塑性變形，由于不能保持它原有的形狀和尺寸已不能正常工作，可以把斷裂和出現(xiàn)塑性變形（永久性變形）統(tǒng)稱為失效。壓潰、壓扁也是失效。上面的失效都是由于強(qiáng)度不是造成的。變形過(guò)大（如軸）也是失效，它是剛度不足引起的失效。細(xì)長(zhǎng)桿因?yàn)槭軌憾儚澮彩鞘?，它是穩(wěn)定性不足引起的。這里重要討論因強(qiáng)度不是而引起的失效，其

14、它形式以后再講。二、許用應(yīng)力、強(qiáng)度條件 = 塑性材料，其中s為塑性材料的極限應(yīng)力（屈服極限），ns為大于1的安全系數(shù)，一般取為1.22.5。 = 脆性村料，其中b為脆性材料的極限應(yīng)力（強(qiáng)度極限），nb為大于1的安全系數(shù)，一般取為23.5。= 強(qiáng)度條件有了強(qiáng)度條件便可進(jìn)行：強(qiáng)度校核截面設(shè)計(jì) A確定許可截荷 P例題：P37例2.4，P38例2.5。選例：圖示結(jié)構(gòu)中AC的鋼桿，欄截面面積A1銅=200MM2，BC為銅桿，橫截面面積A2銅=200MM2 =160Mpa 銅=160Mpa 銅=100MPa試求此結(jié)構(gòu)的許用截荷P。解：NACcos45NACsin45+NBCcos30=P =NBCsin3

15、0第二章NAC=NBC =NBCNBC= NACNAC+ NAC PN鋼=0.518PN銅=0.732P按強(qiáng)度條件計(jì)算N鋼=16020010-6=3210-3 MN=32 KNP1= KNN銅=15030010-6=30 KNP2= =41 KN取P=41 KN2.8 軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形一、胡克定律L=L1-L= 線應(yīng)變,是無(wú)量綱的量當(dāng)應(yīng)力不超過(guò)比例極限時(shí)，胡克定律是適用的，E上式為胡克定律的另一種表達(dá)形式。EA越大 L越小，EA稱為抗拉（壓）剛度。二、橫向變形系數(shù)從上邊圖看，橫向尺寸b在變形后為b1，則橫向應(yīng)變?yōu)椋簷M向線應(yīng)變?cè)囼?yàn)結(jié)果表明，當(dāng)應(yīng)力不超過(guò)比例極限時(shí)，橫向應(yīng)變 與軸向應(yīng)變 之間

16、存在一定的關(guān)系。橫向變形系數(shù)或泊松比，是一個(gè)無(wú)量綱的量。=- 與 符號(hào)相反公式 適用于A和N皆為常量的情況若A和N沿著軸線變化，但變化平緩，則N（x）和A（x）都是x的函數(shù)，微段的伸長(zhǎng)為：d（ L）=積分上式得桿件的伸長(zhǎng)為：例題：圖所示這階梯桿A1=2cm2 A2=4cm2P1=10KN P2=20KN試求桿端B的水平位移。解：1求內(nèi)力畫(huà)N圖第二章2計(jì)算B端的位移，實(shí)際上就是計(jì)算整個(gè)桿子的位移。分成三段：第一段BD段第二段CD段第三段AC段-0.238mm（縮短、既向左位移）例：求圖所示等直桿在自重作用下的總伸長(zhǎng) L，設(shè)E、A、為已知，桿的自重為P，材料容重為 ，P= A。解：桿的自重為沿桿長(zhǎng)

17、的均勻分布的荷載，橫截面的內(nèi)力N x是連續(xù)變化的，所以必須取一微段桿的變形。坐標(biāo)如圖取微段分離體如圖所示。略去軸力的微量dNx和微量自重，則有：d（ L）=而Nx= Ax ，所以 d（ L）=于是桿的總伸長(zhǎng)為 L= dx=由于 ，等直桿自重引起的軸向變形，相當(dāng)于大小等于自重的集中力作用于桿端所引起的變形的一半。例：圖為一簡(jiǎn)單托架。BC桿為圓鋼，欄截面直徑d=20mmBD桿為8號(hào)槽鋼。若 =160Mpa，E=200Gpa,試校核托架的強(qiáng)度，并求B點(diǎn)的位移，設(shè)P=60KN。解：BD=2mN2= P= =75 KN(壓)N1= P= =45 KN（拉）BC桿A1= =3.14cm2BD桿查表A=10

18、.248cm2MpaMpa滿足強(qiáng)度要求。2.求B點(diǎn)位移L1= =0.08610-2m=0.86mmL2= =0.073210-2m=0.732(壓縮變形)B點(diǎn)的垂直位移：B1B3= =0.732 mmBB3= mm2.9 軸向拉伸或壓縮的變形能變形能固體在外力作用下，因變形而儲(chǔ)存的能量稱為變形能或應(yīng)變能。設(shè)受拉桿件上端固定，作用于下端的拉力由零開(kāi)始緩慢增加。拉力P與 L的關(guān)系如圖。在逐漸加力的過(guò)程中，當(dāng)拉力為P時(shí)， 桿件的伸長(zhǎng)為 L，如再增加一個(gè)dP，桿件相應(yīng)的變形增量為d（ L），于是P力因位移d（ L）而作的功為：dW=Pd( L)第二章dW等于圖中陰影線的微面積，把拉力看作是一系列dP的

19、積累，則拉力所做的總功W應(yīng)為上述微面積的總和，它等于P- L曲線下面的面積。W= ( L)在應(yīng)力小于比例極限的范圍內(nèi)，P與 L的關(guān)系是一斜直線，斜直線的面積為一個(gè)三角形，故有W= P L。根據(jù)功能原理，拉力所完成的功應(yīng)等于桿件儲(chǔ)存的能量。如省略動(dòng)能，熱能等能量的變化，就可認(rèn)為桿件內(nèi)只儲(chǔ)存了變形能U，其數(shù)量就等于拉力所作的功，在線彈性范圍內(nèi)：U=W= P L L= U=W= P L=二、比能（能密度）為了求出單位體積內(nèi)的變形能，從構(gòu)件中取出邊長(zhǎng)為dx、dy、dz的單元體，如單元體只在一個(gè)方向上受力，則單元體上、下兩面上的力為 dydz，dx邊的伸長(zhǎng)為 dx。當(dāng)應(yīng)力有一個(gè)增量d 時(shí)，dx 邊伸長(zhǎng)的

20、增量為d dx且d L=dxd ，力 dydz完成的功為：dW = dydzdxd單元體：在材料力學(xué)中，凡說(shuō)到應(yīng)力，都是指點(diǎn)的應(yīng)力，而且一般都要明確指出該點(diǎn)的位置和過(guò)該點(diǎn)的哪一個(gè)面，為研究方便，通常圍繞該點(diǎn)取一個(gè)無(wú)限小的正六面體，來(lái)代表構(gòu)件內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，并叫做單元體。dW為單元體內(nèi)儲(chǔ)存的變形能dUdU= dydzdxd = dV單位體積內(nèi)變形能為u= 可見(jiàn)u等于 曲線下的面積。在應(yīng)力小于比例極限時(shí)， 與 為斜直線u=u=說(shuō)明：比能是由單元體導(dǎo)出的，不論構(gòu)件內(nèi)應(yīng)力是否均勻，只要是只在一個(gè)方向上受力，它們就可使用。若桿件內(nèi)應(yīng)力是均勻的：U=uV 若桿件內(nèi)應(yīng)力不均勻：比能單位：J/m3(焦耳/米3)

21、1J=1 Nm以比例極限代入比能公式，則有= 回彈模量，它可以度量線彈性范圍內(nèi)材料吸收能量的能力。例：簡(jiǎn)易起重機(jī)如圖，BD桿為無(wú)縫鋼管，外徑90，壁厚2.5，桿長(zhǎng)L=3m ，E=210GPa.BC是兩條橫截面面積為1722 的鋼索，彈性模量E1=177GPa。若不考慮立柱的變形，試求B點(diǎn)的垂直位移，P=30KN。解：從三角形BCD中解出BC和CD的長(zhǎng)度分別為：BC=L1=2.20 m CD=1.55 mBC=BDsin45=3sin45BC= =DC=BC-計(jì)算BC和BD的橫截面面積A：ABC=2172=344 mm2第二章ABD= （902-852）=687mm2列平衡方程：NBCsin15

22、-NBDsin45+P=0NBCcos15=NBDcos45解出NBC=1.41P NBD=1.93(壓)P所完成的功在數(shù)值上應(yīng)等于桿內(nèi)的變形能。即習(xí)題2.31 在圖示簡(jiǎn)單桿系中，設(shè)AB和BC分別為直徑是20mm和24mm的圓截面桿，E=200GPa,P=5KN，試求A點(diǎn)的垂直位移。解：LAB= 2=2.83 mLAC=2/cos30=2.31 mX=0 NABcos45+NACcos30=0Y=0 NABsin45-NACsin30-P=0NAC =3.66(KN)(壓)NAB =4.48(KN)(拉)2.10 拉伸、壓縮，靜不定問(wèn)題（超靜定問(wèn)題）一、概念：在前面討論的問(wèn)題中，桿件的軸力可由

23、靜力平衡方程求出，這類問(wèn)題稱為靜定問(wèn)題。圖b桿件的軸力并不能全由靜力平衡方程解出，這就是靜不定問(wèn)題，靜力平衡方程為2個(gè)（平面匯交力系）未知軸力為3個(gè)， 為一次靜不定。未知力的數(shù)字-平衡方程數(shù)=靜不定次數(shù)二、解靜不定問(wèn)題的方法為了求得問(wèn)題的解，在靜力方程之外，還必須尋求補(bǔ)充方程，以上圖b做例子，設(shè)1、2兩桿的拉拉剛度EA相同，桁架變形是對(duì)稱的，節(jié)點(diǎn)A垂直地移動(dòng)到A1點(diǎn)，位移 為 L3。以B為圓心以L1的原長(zhǎng)為半徑作園弧，圓弧以外的線段即為桿1的伸長(zhǎng) L1。由于小變形，可用垂直于A1B的直線AE代替上述弧線。且仍可認(rèn)為AA1B= 。于是L1= L3cos 變形協(xié)調(diào)方程。這是變形后1，2，3桿必須滿

24、足的關(guān)系，這樣三桿才能在A1點(diǎn)聯(lián)系在一起，變形才是協(xié)調(diào)的。1,2兩桿的抗拉剛度為E1A1，3桿的抗拉剛度為E3A3則 L1= = L3= 物理方程（胡克定律）代入變形協(xié)調(diào)方程補(bǔ)充方程平衡方程 N1sin-N2sin =0N3+2N1cos -P=0聯(lián)立求解N1=N2= N3=第二章以上靜不定問(wèn)題是綜合了平衡方程，變形協(xié)調(diào)方程（幾何方程）和物理方程等三方面的關(guān)系求解的。例：內(nèi)燃機(jī)的氣伐彈簧和車輛的緩沖彈簧經(jīng) 常采用雙層圓柱螺旋彈簧。若內(nèi)彈簧的剛度為C1。外彈簧的剛度為C2，壓力為P，試求內(nèi)外彈簧各自分擔(dān)的壓力。解：設(shè)以P1及P2分別表示內(nèi)彈簧知外彈簧所承擔(dān)的壓力，顯然P1+P2=P在P1，P2作

25、用下，內(nèi)、外彈簧的壓縮變形為在壓力作用下，內(nèi)、外兩個(gè)彈簧的壓縮變形必然相等。聯(lián)立平衡方程求解得：P1=P2=例：在圖所示結(jié)構(gòu)中，設(shè)橫梁AB的變形可以省略，1、2兩桿的橫截面面積相等，材料相同，試求1，2兩桿的內(nèi)力。解：N1、N2表示1，2桿的軸力N1a+N2cos2a=3PaN1+2N2cos =3PAB為鋼性桿變形協(xié)調(diào)方程物理方程代入上式N1=N2=2.11 溫度應(yīng)力和裝配應(yīng)力溫度變化將引起物體的膨脹或收縮，靜定結(jié)構(gòu)可以自由變形，當(dāng)溫度均勻變化時(shí)，并不會(huì)引起構(gòu)件的內(nèi)力。如果靜不定結(jié)構(gòu)的變形受到部分或全部約束，溫度變化時(shí)往往就要引起內(nèi)力。這將引起桿件內(nèi)的應(yīng)力，這種應(yīng)力稱為熱應(yīng)力或溫度應(yīng)力。對(duì)兩

26、端固定的AB桿來(lái)說(shuō)平衡方程 RA=RB必須再補(bǔ)充一個(gè)變形協(xié)調(diào)方程。設(shè)想拆除右端的支座，允許桿件自由脹縮，當(dāng)溫度變化 T時(shí)桿件的溫度變形為：桿件由于RB的作用產(chǎn)生縮短實(shí)際上，由于兩端固定，桿件長(zhǎng)度不能變化，必須有即由此求出 RB=應(yīng)力是對(duì)于碳鋼 1/，E=200 GPa第二章若 則 MPa為了避免溫度應(yīng)力在管道中有時(shí)增加伸縮節(jié)，在鋼軌各段之間留有伸縮縫。例：在圖中，設(shè)橫梁ACB的變形可以省略不計(jì)（為剛體），鋼桿AD的欄橫截面面積A1=100 mm2,長(zhǎng)度L1=330 mm。彈性模量E1=200GPa，線脹系數(shù) 1/；銅桿BE的相應(yīng)數(shù)據(jù)分別是A2=200 mm2,L2=220 mm,E2=100

27、GPa,2=16.510-6 1/。如溫度升高30。試求兩桿的軸力。解：設(shè)想拆除鋼桿和銅桿與橫梁間的聯(lián)系， 允許其自由膨脹。這時(shí)鋼桿和銅桿的溫度變形分別是 和 。變形協(xié)調(diào)條件為（從圖上看 與 為絕對(duì)值）=33010-312.510-630=123.810-6 m=22010-316.510-630=108.910-6 m= m= m把上面的數(shù)代入變形協(xié)調(diào)條件得到補(bǔ)充方程124-0.0165N1= （0.011N2-109）平衡方程 240N1=150N2 N1= N2聯(lián)立求解得： N1=6.68 KN N2=10.7 KN二、裝配應(yīng)力加工構(gòu)件時(shí)，尺寸上的一些微小誤差是難以避免的，對(duì)靜定結(jié)構(gòu)，加

28、工誤差只是造成結(jié)構(gòu)幾何形狀的輕微變化，不會(huì)引起內(nèi)力。但對(duì)靜不定結(jié)構(gòu)，加工誤差往往要引起內(nèi)力。這與前邊溫度應(yīng)力的形式是非常相似的。習(xí)題2-49：在圖示結(jié)構(gòu)中，1，2兩桿的抗拉剛度同為E1A1，3桿為E3A3，3桿的長(zhǎng)度為L(zhǎng)+ ，其中 為加工誤差，試求將3桿裝入AC位置后，1，2，3三桿的內(nèi)力。 例2.13（P57）吊橋鏈條的一節(jié)由三根長(zhǎng)為L(zhǎng)的鋼桿組成。若三桿的橫截面面積相等，材料相同，中間鋼桿短于名義長(zhǎng)度，且加工誤差為 ，試求各桿的裝配應(yīng)力。習(xí)題2.42：先找到臨界點(diǎn)（下段應(yīng)力剛好為零的位置）l1=h= 時(shí)下段內(nèi)力剛好為零。在h= 時(shí)根據(jù)上面的結(jié)果（不能受壓）下段內(nèi)力為零。N上=15KN當(dāng)h=

29、時(shí)是一個(gè)超靜定的問(wèn)題。因?yàn)閮啥味际芾?RA和RB的方向已定了平衡方程。RB-P-RA=0 1變形條件RB=50-4RA代入1第二章RA=7 KN RB=22 KN2.12 應(yīng)力集中的概念由于實(shí)際需要，有些零件必須有切口、切槽、油孔、螺紋、軸肩等，以致在這些部位上截面尺寸發(fā)生突然變化。實(shí)驗(yàn)結(jié)果和理論分析表明，在零件尺寸突然改變處的橫截面上，應(yīng)力并不是均勻的，例如開(kāi)有圓孔的桿件在受拉 時(shí)在圓孔附近的局部區(qū)域內(nèi)，應(yīng)力將劇烈增加，但在離開(kāi)圓孔稍遠(yuǎn)處，應(yīng)力就迅速降低而趨于均勻。這種因桿件外形突然變化，而引起局部應(yīng)力急劇增大的現(xiàn)象應(yīng)力集中。理論應(yīng)力集中系數(shù) K=其中max為發(fā)生應(yīng)力集中的截面上的最大應(yīng)力，為同一截面上的平均應(yīng)力。它反映了應(yīng)力集中的程度，是一個(gè)大于1的系數(shù)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，截面尺寸改變得越急劇，角越尖、孔越小，應(yīng)力集中的程度越嚴(yán)重。各種材料對(duì)應(yīng)力集中的敏感程度并不相同。對(duì)于塑性材料：可以不考慮應(yīng)力集中。塑性材料有流動(dòng)階段，當(dāng)局部的最大應(yīng)力 達(dá)到 時(shí)該處材料的變形可以繼續(xù)增大，而應(yīng) 力去不再增大，如外力繼續(xù)增加，增加的力由截面上尚未屈服的材料來(lái)承擔(dān)，使截面上其他點(diǎn)的應(yīng)力相繼增大到屈服極限 ，這就使截面上的應(yīng)力趨于均勻，降低了應(yīng)力的不均勻程度，也限制了 的數(shù)值。對(duì)于脆性材料：要考慮應(yīng)力集中。脆性材料沒(méi)有屈服階段，當(dāng)載荷增加時(shí)，應(yīng)力集中