【KS5U解析】廣東省廣州市荔灣區(qū)2019-2020學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題 Word版含解析

1、2019-2020學(xué)年第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測高二數(shù)學(xué)一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，則（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合，解一元一次不等式求得集合，由此求得兩個集合的交集.【詳解】由解得，有解得，所以.故選：c【點睛】本小題主要考查集合交集，考查一元二次不等式、一元一次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.2.已知向量，且，則（ ）a. 10b. 10c. 4d. 4【答案】d【解析】【分析】根據(jù)兩個向量平行的條件列方程，解方程求得的值.【詳解】由于，所以，解得.故選：d【

2、點睛】本小題主要考查空間向量共線的坐標表示，屬于基礎(chǔ)題.3.雙曲線的焦距為（ ）a. 10b. c. 2d. 5【答案】a【解析】由方程，則，即，則焦距為.4.設(shè)命題：，都有，則為（ ）a. ，使b. ，都有c. ，使d. ，都有【答案】c【解析】【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題的知識選出正確選項.【詳解】原命題是全稱命題，其否定為特稱命題，注意到要否定結(jié)論，故a選項錯誤，c選項正確.故選：c【點睛】本小題主要考查全稱命題與特稱命題，考查全稱命題的否定，屬于基礎(chǔ)題.5.若為實數(shù)，則下列命題正確的是（ ）a. 若，則b. 若，則c. 若，則d. 若，則【答案】b【解析】【分析】利用不等式的性

3、質(zhì)對選項逐一分析，由此確定正確選項.【詳解】對于a選項，當時，不符合，故a選項錯誤.對于b選項，由于，所以，所以，所以b選項正確.對于c選項，如，但是，所以c選項錯誤.對于d選項，由于的正負不確定，所以無法由，得出，故d選項錯誤.故選：b【點睛】本小題主要考查不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.6.已知為平面的一個法向量，為一條直線，則“”是“”的（ ）a. 充分不必要條件b. 必要不充分條件c. 充要條件d. 既不充分也不必要條件【答案】b【解析】【分析】將“”與“”相互推導(dǎo)，根據(jù)能否推導(dǎo)的情況判斷充分、必要條件.【詳解】當“”時，由于可能在平面內(nèi)，所以無法推出“”.當“”時，“”.綜上所述，“”是“

4、”的必要不充分條件.故選：b【點睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查線面平行和法向量，屬于基礎(chǔ)題.7.在長方體中，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】建立空間直角坐標系，利用向量法計算出異面直線與所成角的余弦值.【詳解】以為原點建立空間直角坐標系，如圖所示，依題意，所以，設(shè)異面直線與所成角為，則.故選：c【點睛】本小題主要考查異面直線所成角的余弦值的計算，屬于基礎(chǔ)題.8.已知各項均為正數(shù)的數(shù)列為等比數(shù)列，是它的前項和，若，且與的等差中項為5，則（ ）a. 29b. 31c. 33d. 35【答案】b【解析】【分析】將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式，

5、解方程求得，根據(jù)等差中項列方程，由此解得.進而求得的值.【詳解】由，得，所以，即，所以,（舍去）依題意得，即，所以所以故選:b【點睛】本小題主要考查等比數(shù)列通項公式的基本量計算，考查等差中項的性質(zhì)，考查等比數(shù)列前項和，屬于基礎(chǔ)題.9.命題“若是等比數(shù)列，則（且）的逆命題、否命題與逆否命題中，假命題的個數(shù)為（ ）a. 0b. 1c. 2d. 3【答案】a【解析】【分析】先判斷原命題為真命題，由此得出逆否命題是真命題；判斷出原命題的逆命題為真命題，由此判斷原命題的否命題也是真命題，由此確定假命題的個數(shù).【詳解】若是等比數(shù)列，則是與的等比中項，所以原命題是真命題，從而，逆否命題是真命題；反之，若，則

6、當時，所以是等比數(shù)列，所以逆命題是真命題，從而，否命題是真命題故選:a【點睛】本小題主要考查四種命題及其相互關(guān)系，考查等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.10.雙曲線的右焦點為，點在的一條漸近線上，為坐標原點，若,則的面積為（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】先求得雙曲線的漸近線方程，由此求得對應(yīng)的傾斜角，解直角三角形求得三角形的邊長，由此求得以的面積.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，無妨設(shè)，因為，所以得,，所以的面積為故選:d【點睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線方程，考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查雙曲線中的三角形的面積計算，屬于基礎(chǔ)題.11.為不斷滿足人民日益增長的美好生活需要，實現(xiàn)群

7、眾對舒適的居住條件、更優(yōu)美的環(huán)境、更豐富的精神文化生活的追求，某大型廣場正計劃進行升級改造.改造的重點工程之一是新建一個長方形音樂噴泉綜合體，該項目由長方形核心噴泉區(qū)（陰影部分）和四周綠化帶組成.規(guī)劃核心噴泉區(qū)的面積為，綠化帶的寬分別為和（如圖所示）.當整個項目占地面積最小時，則核心噴泉區(qū)的長度為（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】設(shè)，得到的值，進而求得矩形面積的表達式，利用基本不等式求得面積的最小值，而根據(jù)基本不等式等號成立的條件求得此時的長.【詳解】設(shè)，則，所以，當且僅當，即時，取“”號，所以當時，最小故選:b【點睛】本小題主要考查矩形面積的最小值的計算，考查利用基本不

8、等式求最值，屬于基礎(chǔ)題.12.在三棱錐中，平面平面，點在棱上，且與平面所成角的正弦值為，則（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】建立空間直角坐標系，設(shè)出點坐標，利用與平面所成角的正弦值為列方程，解方程求得點的坐標，進而求得的長.【詳解】取中點，易證：,.如圖，以為坐標原點，的方向為軸正方向，建立空間直角坐標系.由已知得,.設(shè)，則.設(shè)平面的法向量.由,得，可取，所以，解得（舍去），所以故選:a【點睛】本小題主要考查根據(jù)線面角的正弦值求線段的長度，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.已知實數(shù)滿足約束條件，則的最大值為

9、_【答案】7【解析】【分析】畫出可行域，平移基準直線到可行域邊界位置，由此求得目標函數(shù)最大值.【詳解】畫出可行域如下圖所示，由圖可知，平移基準直線到可行域邊界點的位置，此時取得最大值為.故答案為：【點睛】本小題主要考查線性規(guī)劃求目標函數(shù)的最大值，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.14.某學(xué)校啟動建設(shè)一個全新的信息化“未來報告廳”，該報告廳的座位按如下規(guī)則排列：從第二排起，每一排都比前一排多出相同的座位數(shù)，且規(guī)劃第7排有20個座位，則該報告廳前13排的座位總數(shù)是_【答案】260【解析】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列來解決，根據(jù)已知條件以及等差數(shù)列前項和公式，求得所求的坐標總數(shù).【詳解】因為從

10、第二排起每一排都比前一排多出相同的座位數(shù)，所以座位數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列.因為，所以.故答案為：【點睛】本小題主要考查利用等差數(shù)列解決實際生活中的問題，屬于基礎(chǔ)題.15.已知、是橢圓的左，右焦點，點為上一點，為坐標原點，為正三角形，則的離心率為_【答案】【解析】【分析】結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)和橢圓的定義列方程，化簡后求得橢圓的離心率.【詳解】如圖,因為為正三角形，所以，所以是直角三角形.因為，所以,.因為，所以即，所以.故答案為：【點睛】本小題主要考查橢圓離心率的求法，考查橢圓的定義，屬于基礎(chǔ)題.16.如圖，平行六面體中，,則_【答案】【解析】【分析】用基底表示出，然后利用向量數(shù)量積的運算，求得.【詳解

11、】因為，所以，所以.故答案為：【點睛】本小題主要考查空間向量法計算線段的長，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.記為公差不為零的等差數(shù)列的前項和，已知，.（1）求的通項公式；（2）求的最大值及對應(yīng)的大小.【答案】（1）（2）當或時,有最大值為20【解析】【分析】（1）將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式列方程，由此解得，進而求得的通項公式.（2）根據(jù)等差數(shù)列前項和公式求得，利用配方法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得的最大值及對應(yīng)的大小.【詳解】（1）設(shè)的公差為，且由，得，由，得，于是,所以通項公式為（2）由（1）得因為，所以當或時,有最大值為20【點睛】本小題主要考查等差

12、數(shù)列通項公式和前項和公式基本量的計算，考查等差數(shù)列前項和的最值的求法，屬于基礎(chǔ)題.18.已知拋物線的頂點在原點，對稱軸是軸，并且經(jīng)過點，拋物線的焦點為，準線為.（1）求拋物線的方程；（2）過且斜率為的直線與拋物線相交于兩點、，過、分別作準線的垂線，垂足分別為、，求四邊形的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線上點的坐標，求得拋物線的方程.（2）設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，解出交點的坐標，結(jié)合拋物線的定義和梯形面積公式，求得四邊形的面積.【詳解】（1）根據(jù)題意，設(shè)拋物線為，因點在拋物線上，所以，即所以拋物線的方程為（2）由（1）可得焦點，準線為不妨設(shè)，過且斜率為的直線的

13、方程為由 得，所以，代入，得，所以，所以，因為四邊形是直角梯形，所以四邊形的面積為【點睛】本小題主要考查拋物線方程的求法，考查拋物線的定義，考查直線和拋物線的交點坐標，考查梯形面積的計算，屬于中檔題.19.如圖，四棱錐中，底面是菱形，.（1）證明：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）通過菱形的性質(zhì)證得，通過等腰三角形的性質(zhì)證得，由此證得平面，從而證得平面平面.（2）方法一通過幾何法作出二面角的平面角，解三角形求得二面角的余弦值.方法而通過建立空間直角坐標系，利用平面和平面的法向量，計算出二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：記，連接因為底面是菱形

14、，所以，是的中點因為，所以因為，所以平面因為平面，所以平面平面（2）因為底面是菱形，所以是等邊三角形，即因為，所以又，所以，即方法一：因為是的中點，所以，因為，所以，所以和都是等腰三角形取中點，連接，則，且，所以是二面角平面角因為，且，所以因為，所以所以二面角的余弦值為方法二：如圖，以為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，則，所以，設(shè)平面的法向量為由，得，令，得.同理，可求平面的法向量所以所以，二面角的余弦值為【點睛】本小題主要考查面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.20.數(shù)列的前項和為，且，數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項公

15、式；（2）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（3）設(shè)數(shù)列滿足，其前項和為，證明：.【答案】（1）（2）見解析（3）見解析【解析】【分析】（1）利用求得數(shù)列的通項公式.（2）通過證明，證得數(shù)列是等比數(shù)列，并求得首項和公比.（3）由（2）求得的通項公式，由此求得的表達式，利用錯位相減求和法求得，進而證得.【詳解】（1）當時，當時，檢驗，當時符合所以（2）當時，而，所以數(shù)列等比數(shù)列，且首項為3，公比為3（3）由（2）得 ，所以 由得，所以因為，所以【點睛】本小題主要考查已知求，考查等比數(shù)列的證明，考查錯位相減求和法，考查運算求解能力，屬于中檔題.21.如圖，已知圓：，點是圓內(nèi)一個定點，點是圓上任意一點，線段的垂

16、直平分線和半徑相交于點.當點在圓上運動時，點的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）設(shè)過點的直線與曲線相交于兩點（點在兩點之間）.是否存在直線使得？若存在，求直線的方程；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）存在，或【解析】【分析】（1）結(jié)合垂直平分線的性質(zhì)和橢圓的定義，求出橢圓的方程.（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，寫出韋達定理，利用，結(jié)合向量相等的坐標表示，求得直線的斜率，進而求得直線的方程.方法一和方法二的主要曲邊是直線的方程的設(shè)法的不同.【詳解】（1）因為圓的方程為，所以，半徑因為是線段的垂直平分線，所以所以因為，所以點的軌跡是以，為焦點，長軸長的橢圓因為，所以曲線

17、的方程為（2）存在直線使得方法一：因為點在曲線外，直線與曲線相交，所以直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為設(shè)，由 得則， ， 由題意知，解得因為，所以，即 把代入得， 把代入得，得，滿足所以直線的方程為：或方法二：因為當直線的斜率為0時，此時因此設(shè)直線的方程為：設(shè)，由 得由題意知，解得或，則， ， 因為，所以 把代入得， 把代入得，滿足或所以直線的方程為或【點睛】本小題主要考查橢圓的定義和標準方程，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查運算求解能力，屬于中檔題.22.已知函數(shù).（1）若關(guān)于的不等式的解集為，求實數(shù)的值；（2）設(shè)，若不等式對都成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）若且時，求函數(shù)的零點.【答案】（1），（2）（3）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系列方程組，解方程組求得的值.（2）將不等式轉(zhuǎn)化為，求得左邊函數(shù)的最小值，由此解一元二次不等式求得的取值范圍.（3）利用判別式進行分類討論，結(jié)合函數(shù)的定義域，求得函數(shù)的零點.【詳解】（1）因為不等式的解集為，所以-3,1為方程的兩個根，由根與系數(shù)的關(guān)系得，即，（2）當時，因為不等式對都成立，所以不等式對任意實數(shù)都成立令，所以