二次函數(shù)全集匯編

1、二次函數(shù)全集匯編一、選擇題1.如圖，拋物線y=ax2+bx+c (a0)過原點O,與x軸另一交點為 A,頂點為B, 祥OB為等邊三角形，則 b的值為()0A.-8【答案】B【解析】【分析】C. -3.3D. -4.3根據(jù)已知求出2a人2人2),由、OB為等邊三角形，得到 E-=tan60x(-4a4ab、一)，2a即可求解；【詳解】解：拋物線y = ax2+bx+c(a0)過原點O,c= 0,2a 4a AOB為等邊三角形，b2b = tan60 x(),4a2a . b = - 2 33 ；故選B.【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象及性質(zhì)，等邊三角形性質(zhì)；能夠?qū)佄锞€上點的關(guān)系轉(zhuǎn)化為等邊三 角形的

2、邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵.2. 一列自然數(shù)0, 1, 2, 3, , 100.依次將該列數(shù)中的每一個數(shù)平方后除以100,得到一列新數(shù).則下列結(jié)論正確的是()A.原數(shù)與對應(yīng)新數(shù)的差不可能等于零B.原數(shù)與對應(yīng)新數(shù)的差，隨著原數(shù)的增大而增大C.當(dāng)原數(shù)與對應(yīng)新數(shù)的差等于21時，原數(shù)等于30D.當(dāng)原數(shù)取50時，原數(shù)與對應(yīng)新數(shù)的差最大【答案】D【解析】【分析】設(shè)出原數(shù)，表示出新數(shù)，利用解方程和函數(shù)性質(zhì)即可求解.【詳解】12解：設(shè)原數(shù)為m,則新數(shù)為m2 , 100設(shè)新數(shù)與原數(shù)的差為 y12m 10012m m , 100易得，當(dāng)m=0時，y = 0,則A錯誤1100b2a12 -10050時，y有最大值.則B錯誤

3、，D正確.,12當(dāng) y=21 時， m m = 21100解得=30, m2 = 70,則C錯誤.故答案選：D.【點睛】 本題以規(guī)律探究為背景，綜合考查二次函數(shù)性質(zhì)和解一元二次方程，解題時要注意將數(shù)字 規(guī)律轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號.3.如圖是拋物線y=ax2+bx+c （a*Q的部分圖象，其頂點坐標(biāo)為（1, m）,且與x鈾的 一個交點在點（3, 0）和（4, 0）之間，則下列結(jié)論： abc0;a - b+c0;b2 = 4a （c- m）；一元二次方程ax2+bx+c= m+1有兩個不相等的實數(shù)根，其中正確結(jié)論的個 數(shù)是（）A. 1B. 2C. 3D, 4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)拋物線的開口方向和

4、與坐標(biāo)軸的交點及對稱軸可判別a, b, c的正負(fù)；根據(jù)拋物線的對稱軸位置可判別在 x軸上另一個交點；根據(jù)拋物線與直線 y=m的交點可判定方程的解.【詳解】.函數(shù)的圖象開口向上，與y軸交于負(fù)半軸a0,c0拋物線的對稱軸為直線x=- -b- =12a.b0;正確；.拋物線與x軸的一個交點在點（3, 0）和（4, 0）之間，而拋物線的對稱軸為直線 x=1,，拋物線與x軸的另一個交點在點（-2, 0）和（-1, 0）之間.，當(dāng) x=-1 時，y0,即a-b+c0時，x的取值范圍是（）A. - 1x1B. - 3x - 1C. xv 1D. - 3x0時，x的取值范圍是-3vxv1.所以答案為：D.【點

5、睛】此題考查拋物線的性質(zhì)，利用對稱軸及圖象與x軸的一個交點即可求出拋物線與x軸的另一個交點坐標(biāo).5.二次函數(shù)y= x2+bx的對稱軸為直線x= 2 ,若關(guān)于x的一元二次方程 x2+bx- t= 0 （t為實數(shù)）在-1vx4的范圍內(nèi)有解，則t的取值范圍是（A. 0t5B. - 44V5C. - 44V0D.4【答案】B【解析】【分析】先求出b,確定二次函數(shù)解析式，關(guān)于x的一元二次方程x2+bx-t = 0的解可以看成二次函數(shù)y=x2-4x與直線y=t的交點，-1vxv4時-4或5,進(jìn)而求解；【詳解】解：對稱軸為直線 x= 2, b = - 4, . y= x2- 4x,關(guān)于x的一元二次方程 x2

6、+bx-t=0的解可以看成二次函數(shù) y=x2- 4x與直線y=t的交點, 1x4,，二次函數(shù)y的取值為-4或5,- 44V5;故選：B.【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，一元二次方程的解；將一元二次方程的解轉(zhuǎn)換為二次函數(shù)26.如圖是二次函數(shù) y ax與直線交點問題，數(shù)形結(jié)合的解決問題是解題的關(guān)鍵.bx c的圖象，其對稱軸為 x 1.下列結(jié)論：abc 0；2ab0；9a 3bc0；若32，y1 ,10T,y2是拋物線上兩點，則yy2.其中正確的結(jié)論有（）C. 3個D. 4個【答案】B【解析】【分析】由拋物線開口方向得到a0,由拋物線與y軸的交點位置得到 o0,則可對進(jìn)行判斷；由b=-2a可對進(jìn)

7、行判斷；利用拋物線的對稱性可得到拋物線 與x軸的另一個交點為（3, 0）,則可判斷當(dāng)x=3時，y=0,于是可對進(jìn)行判斷；通過 二次函數(shù)的增減性可對 進(jìn)行判斷.【詳解】解：.拋物線開口向下，a0,2a;拋物線與y軸的交點在x軸上方，c0,2 .abc0時，拋物線向上開口；當(dāng) a0）,對稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號時（即ab0時，拋物線與 x軸有2個交點；=b2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；加2-4ac v 0時，拋物線與x軸沒有交點.7,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的個數(shù)有（）c0;b2- 4ac0;當(dāng)x 1時，y隨x的增大而減小.A. 4個B. 3個C

8、. 2個D. 1個【答案】C 【解析】 【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與 y軸的交點判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)拋物線與x軸交點及x=-1時二次函數(shù)的值的情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對所得結(jié)論進(jìn)行判 斷.【詳解】解：由圖象可知，a 0,故 正確；拋物線與x軸有兩個交點，則 b24ac0,故 錯誤；:當(dāng)x=-1時，y0,即a-b+c0,故 正確；由圖象可知，圖象開口向下，對稱軸 x-1,在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而減小，而在對 稱軸左側(cè)和-1之間，是y隨x的增大而減小，故 錯誤.故選：C.【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小.當(dāng)a0時，拋物

9、線向上開口；當(dāng) a0時，拋物線與x軸有2個交點；=b2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點； tb2-4acv 0時，拋物線與x軸沒有交點.一 1c8.如圖，將一個小球從斜坡的點O處拋出，小球的拋出路線可以用二次函數(shù)y=4x- -x221刻回，斜坡可以用一次函數(shù) y=x刻畫，下列結(jié)論錯誤的是 ()2A.斜坡的坡度為1： 2B.小球距。點水平距離超過4米呈下降趨勢C.小球落地點距 O點水平距離為7米D.當(dāng)小球拋出高度達(dá)到 7.5m時，小球距O點水平距離為3m【答案】D【解析】【分析】求出拋物線與直線的交點，判斷A、C;根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出對稱軸，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)判斷B;求出當(dāng)y7.5時，x的

10、值，判定D .解:1 2y -x24x解得,X 0 x2 7y1 0, y2 三7 ： 7=1 ： 2, A 正確;2小球落地點距 O點水平距離為7米，C正確;1 2y 4x - x 22(x 4)2 8,則拋物線的對稱軸為 x 4,當(dāng)x 4時，y隨x的增大而減小，即小球距。點水平距離超過 4米呈下降趨勢，B正確，rr L 一，12當(dāng) y 7.5時，7.5 4x -x2，整理得x2 8x 15 0,當(dāng)小球拋出高度達(dá)到 7.5m時，小球水平距 O點水平距離為3m或5m, D錯誤，符合題 意；故選：D【點睛】本題考查的是解直角三角形的坡度問題、二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握坡度的概念、二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的

11、關(guān)鍵.9 .如圖，已知將拋物線 y x2 1沿x軸向上翻折與所得拋物線圍成一個封閉區(qū)域（包括邊界），在這個區(qū)域內(nèi)有 5個整點（點M滿足橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)，則把點 M叫做整 2點”）.現(xiàn)將拋物線y a x 12 a 0沿x軸向下翻折，所得拋物線與原拋物線所圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（包括邊界）恰有11個整點，則a的取值范圍是（【答案】D彳 1C. 1 a -2D. 1 a畫出圖象,【詳解】利用圖象可得m的取值范圍解:，該拋物線開口向下，頂點（-1, 2）,對稱軸是直線 x=-1.點（-1,2）、點（-1 , 1）、點（-1,0）、點（-1,-1）、點（-1, -2）符合題意，此時 x軸.上的點（-2, 0

12、）、（0, 0）也符合題意，2將（0, 1）代入 y a x 12 a 0 得到 1=a+2.解得 a=-1.2-1將。，0）代入 y a x 12 a 0 得到 0= 4a+2.解得 a=-2.有11個整點，.點（0, -1）、點（-2,-1）、點（-2,1）、點（0, 1）也必須符合題意.1綜上可知：當(dāng)-1 a-時，點（-1, 2）、點（-1, 1）、點（-1,0）、點（-1, -1）、點（-1, -2）、點（-2,0）、（0, 0）、點（0, -1）、點（-2, -1）、點（-2, 1）、點（0,1）,共有 11 個整點符合題意，故選：D.【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，拋物

13、線與x軸的交點的求法，利用圖象解決問題是本題的關(guān)鍵.10.若用“*表示一種運算規(guī)則，我們規(guī)定：a*b= ab - a+b,如：3*2 =3X2- 3+2= 5.以下說法中錯誤的是（）A.不等式（-2） * （3-x） 0,由此即可判定選項 C;24題目中所給的運算法則列出方程，解方程即可判定選項D.【詳解】-.1 a* b= ab - a+b, (- 2) * (3-x) = (- 2) X(3-x) - (- 2) + (3-x) =x- 1, ( - 2) * (3 - x) 2,.x- 12,解得x 0,24在實數(shù)范圍內(nèi)，無論 a取何值，代數(shù)式 a* (a+1)的值總為正數(shù)，故選項 C正

14、確；. (x-2) *3 = 5,( x-2) X 3- (x-2) +3=5,解得，x=3,故選項D錯誤；故選D.【點睛】本題是閱讀理解題，根據(jù)題目中所給的運算法則得到相應(yīng)的運算式子是解決問題的關(guān)鍵C ,11. 一次函數(shù)y=ax+b與反比仞函數(shù)y=在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如左圖所不，則 x【解析】【分析】根據(jù)題中給出的函數(shù)圖像結(jié)合一次函數(shù)性質(zhì)得出a0,再由反比例函數(shù)圖像性質(zhì)得b出cv 0,從而可判斷二次函數(shù)圖像開口向下，對稱軸：x- 0,即在y軸的右邊,2a與y軸負(fù)半軸相交，從而可得答案 .【詳解】解：:一次函數(shù) y=ax+b圖像過一、二、四，.a0,c 一又.反比例 函數(shù)y=圖像經(jīng)過一

15、、四象限，xcv 0,b -二次函數(shù)對稱軸：x 0,2a2.，二次函數(shù)y=ax+bx+c圖像開口向下，對稱軸在 y軸的右邊，與y軸負(fù)半軸相交， 故答案為B.【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖形，一次函數(shù)的圖象，反比例函數(shù)的圖象，熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)：開口方向、對稱軸、與y軸的交點坐標(biāo)等確定出 a、b、c的情況是解題的關(guān)鍵.12.二次函數(shù)y=ax2+bx+c (aw。中的x與y的部分對應(yīng)值如下表:x-3-2-101234y1250-34-305A. 0【答案】BB. 1C. 2D. 3給出以下結(jié)論：(1)二次函數(shù)y=ax2+bx+c有最小值，最小值為- 3； (2)當(dāng)-gvxv 2 時，y0;

16、 (3)已知點A (xi, yi)、B (x2, y2)在函數(shù)的圖象上，則當(dāng)- 1vxiv0, 3V x2y2.上述結(jié)論中正確的結(jié)論個數(shù)為()根據(jù)表格的數(shù)據(jù)，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，即可對每個選項進(jìn)行判斷.【詳解】解：(1)函數(shù)的對稱軸為：x= 1 ,最小值為-4,故錯誤，不符合題意;一一一，1,(2)從表格可以看出，當(dāng)- -vxv 2時，y0,符合題意;2（3） - 1xi0, 3vx20時，二次函數(shù)的圖象開口向上，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、三或一、二、三或一、三、四象限，故A、D不正確；由B、C中二次函數(shù)的圖象可知，對稱軸 x=-B0,且a0,則b 0, b0,排除B.故選C.214.已知拋物線y

17、 2x 4x c與直線y 2有兩個不同的交點.下列結(jié)論：c 4;當(dāng)x 1時，y有最小值c 2;方程2x2 4x c 2 0有兩個不等實根；若連接5這兩個交點與拋物線的頂點，恰好是一個等腰直角二角形，則 c ；其中正確的結(jié)論的2個數(shù)是（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】B【解析】【分析】根據(jù) 拋物線y 2x2 4x c與直線y 2有兩個不同的交點”即可判斷；根據(jù)拋物線的對稱軸為直線 x=1即可判斷；根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，用c表達(dá)出兩個交點，代入拋物線解析式計算即可判斷.【詳解】解：.拋物線y 2x2 4x c與直線y 2有兩個不同的交點，2x2 4x c 2有兩個不相等的實數(shù)根，即2

18、x2 4x c 2 0有兩個不相等的實數(shù)根，故正確，16 4 2 (c 2) 0,解得：c 4,故正確；拋物線的對稱軸為直線 x=1,且拋物線開口向上，當(dāng)x=1時，y c 2為最小值，故 正確；若連接這兩個交點與拋物線的頂點，恰好是一個等腰直角三角形，則頂點(1, c-2)至ij直線y=2的距離等于兩交點距離的一半，頂點(1, c-2)到直線y=2的距離為2- (c-2) =4-c,，兩交點的橫坐標(biāo)分別為 1- (4-c) =c-3與1+ (4-c) =5-c，兩交點坐標(biāo)為(c-3,2)與(5-c,2),將(c-3,2)代入 y 2x2 4x c 中得：2(c 3)2 4(c 3) c 2解得

19、：c 7或c 42c 4,c 2,故錯誤，正確的有，故選：B.【點睛】本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系以及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握 函數(shù)與方程之間的聯(lián)系.15.已知在平面直角坐標(biāo)系中，有兩個二次函數(shù)y m x 3 x 9及y n x 2 x 6圖象，將二次函數(shù) y m x 3 x 9的圖象按下列哪一種平移方式平移后，會使得此兩個函數(shù)圖象的對稱軸重疊()A.向左平移2個單位長度B.向右平移2個單位長度C.向左平移10個單位長度 D.向右平移10個單位長度【答案】D【解析】【分析】將二次函數(shù)解析式展開，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)找出兩二次函數(shù)的對稱軸，二者做差后即可得出平移方向及距離.【

20、詳解】解：y= m (x+3)( x+9) =mx2+12mx+27m,y=n(x 2)( x6) =nx2 8nx+12n,，二次函數(shù)y=m(x+3)( x+ 9)的對稱軸為直線x= 6,二次函數(shù) y= n(x 2)( x6)的對稱軸為直線 x= 4,4 ( 6) = 10,，將二次函數(shù)y=m (x+3) (x+ 9)的圖形向右平移 10個單位長度，兩圖象的對稱軸重疊.故選：D.【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換以及二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)找出兩個 二次函數(shù)的對稱軸是解題的關(guān)鍵.16,已知二次函數(shù)y (x h)2 (h為常數(shù))，當(dāng)自變量x的值滿足2 x 5時，與其對應(yīng)的函數(shù)值

21、y的最大值為-1,則h的值為()A. 3 或 6B. 1 或 6C. 1 或 3D. 4 或 6【答案】B【解析】分析：分hv2、2Whw和h5三種情況考慮：當(dāng) hv2時，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得出關(guān)于h的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論；當(dāng)2Whw時，由此時函數(shù)的最大值為0與題意不符，可得出該情況不存在；當(dāng) h5時，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得出關(guān)于h的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論.綜上即可得出結(jié)論.詳解：如圖，當(dāng) h5 時，有-(5-h) 2=-1,解得：h3=4 (舍去)，h4=6.綜上所述：h的值為1或6.故選B.點睛：本題考查了二次函數(shù)的最值以及二次函數(shù)的性質(zhì)，分 h5三種情 況求出h值是解

22、題的關(guān)鍵.17.如圖1, AABC中，/ A=30,點P從點A出發(fā)以2cm/s的速度沿折線 A一C-B運動， 點Q從點A出發(fā)以vcm/s的速度沿AB運動，P, Q兩點同時出發(fā)，當(dāng)某一點運動到點 B 時，兩點同時停止運動.設(shè)運動時間為 x (s) , AAPQ的面積為y (cm2) , y關(guān)于x的函1數(shù)圖象由G, C2兩段組成，如圖2所不，有下列結(jié)論： v= 1;sinB=;圖象C23段的函數(shù)表達(dá)式為 y= - -x2+ x;AAPQ面積的最大值為 8,其中正確有(33B.C.A.D.【答案】A【解析】【分析】 根據(jù)題意列出y= - AP?AQ?sinA,即可解答2根據(jù)圖像可知 PQ同時到達(dá)B,

23、則AB= 5, AC+CB= 10,再代入即可1把sinB= -，代入解析式即可3b5一，25 根據(jù)題息可知當(dāng) x= 時，y最大= 2a212【詳解】 11O 當(dāng)點 P在 AC上運動時，y= AP?AQ?sinA= X 次?vx= vx2,22，1 m當(dāng) x= 1, y=-時，得 v= 1,2故此選項正確； 由圖象可知，PQ同時到達(dá)B,則AB=5, AC+CB= 10,當(dāng) P 在 BC上時 y=1?x? (10-2x) ?sinB,2一 .4 1當(dāng)x=4, y=-時，代入解得 sinB=-,33故此選項正確；小 一 1SinB= 一 ,3當(dāng) P 在 BC上時 y= ?x (10 2x) x- = - - x2+勺 x,23331 - 5圖象C2段的函數(shù)表達(dá)式為 y=- -x2+-x,33故此選項不正確;53x,wb當(dāng)x=-2a故此選項不正確;故選A.525萬時，y最大=,【點睛】 此題考查了二次函數(shù)的運用，解題關(guān)鍵在于看圖理解18.下列函數(shù)(1) y=x (2) y=2x-1 (3) y= (4) y=2 - 3x (5) y=x2-函數(shù)的有()A. 4個B. 3個C. 2個D. 1個【答案】B【解析】【分析】分別利用一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)的定義分析得出即可.【詳解】解：(1) y=x是一次函數(shù)，符合題意；(2) y=2x- 1是一次函數(shù)，符