專題16數(shù)列中項數(shù)問題

1、專題 16 數(shù)列中項數(shù)問題數(shù)列中項數(shù)問題，不僅是存在性問題，而且是整數(shù)解問題. 會利用整除性質(zhì)、奇偶分析法、“范圍 ”控制解決，常用到分類討論思想類型一 整數(shù)解問題典例 1.已知集合？?？ ？附?2 ?, ? ?”2 ?, ?對于數(shù)列?0?1 , 且對于任意?2, ?有？?掰 min ?)?.記？?吸列?麴前？?和.(I )寫出？?？?的值；(n)數(shù)列?井，對于任意？?？ ?存在？?？ ?<? 2?-,求數(shù)列?的通項公式；(m)數(shù)列?押，對于任意?存在？?有?？ = 2 ?.求使得？籥？ > 27 ?成立的?小值.【答案】(1) ?=8, ?=9 (2)?=? 2 ? + ?1(?

2、3) (3)57【解析】(I ) ?= ? 2 ? 1, ? ?= 3,5,7,9,11,13,?,2? 1,?,? ? 2 ?1, ? ?= 1,2,4,8,16,32,?, 2?-,?)? ? 1,2,3,4,5,7,8,9,11,13,15,16,?.因為？?？1 ,且對于任意？?2, ?=? min ?,所以?1?=?1, ?2?=? 2, ?3?=?3, ?4?=? 4, ?5?=? 5, ?6?=? 7, ?7?=? 8, ?8?=? 9 .(II )對于任意？?？?2, ?有？?照min ?,所以對于任意?2, ?有？?？?，即數(shù)列?為單調(diào)遞增數(shù)列.因為對于任意？?？存在？?？?

3、？?？使？?赤2?因為？?？ 2 ?所以？?？ ？?？-< ?-.,?探？ = 2 ?新以對于任意？?< ? 1 , ? 2 , ?4 ,所以，當？?2 時，有？?，+?-2?2?-?+ 1 = 2 ?堡 + 1，即？?？ ? 2 0 + 1 ,? ? 2 1 + 1 ,? ? 2 2 + 1 ,?解? = 2 ? + 1 ,所以當？?？3時，有？?？ ? 2 0 + 21 + 22 +? +2?3 + ( ?-?2) = I： ?+ ( ?2) = 2 ?2 + ? 3(?3), 所以？陸 2 ?2 + ? 1(? 3) 又？?？ 1 , ?2 ,1,? 1,數(shù)列 ?通項公式為：

4、？?？2?2 + ? 1? 2(III )若？ ? ? ?有? = 2 ?,得？?x = log 2?2 = log令2?-? <2?解得？ ?1 & log2(2?即？?？log2?2 ,2?2 ,其中l(wèi)og2?2表示不超過log2?2的最大整數(shù), 所以？?？ = ?x = ?log 2? +?2), ?log 2? +?1).? = 3 + 5 + 7 +? + (2 ?) + 1 + 2 +? + 2 l0g2?1=?I?2) + (2 l0g2? - 1),依題意？隨？>27 ?,? 2) + 2log2?21 > 27(2 ? 1),即？2 52?- 28

5、+ 2log 2?/?2 > 0(?26) 2 + 4劉0虻?> 704當log 2? ?0 時，即？?？時，(?26) 2 + 4Xlo22?Z?= 629 < 704 ,不合題意；當log 2? ?1 時，即？?？2,3 時，(？?26) 2 + 4刈吧?更 242 + 8 < 704 ,不合題意；當log 2?2 時，即 4 W ?7時，(？?26 )2 + 4劉。22?2 222 + 16 < 704 ，不合題意；當log 2?3 時，即 8 W ?15 時，(？?26 )2 + 4 xloS?宴 182 + 4 X 8 < 704不合題意；當log

6、 2?4 時，即 16 W?31 時，(？梵)2 + 4xlog2?c 102 + 4X 16 < 704 不合題意;當log 2? ?5 時，即 32 < ?63 時，由(？?26) 2 + 4刈唯? 37 + 4 X 32 = 1497,1497 > 704,此時，(？?？26) 2 > 576.而？?50 時，(? 26)2 = 576 .所以?>?50 .又當？?？51 時，(51 - 26) 2 + 4刈0聽51 = 753 > 704 ；所以？?？?？og 2?1 >51 + log 251 + 1 = 51 + 5 + 1 = 57綜上所

7、述，符合題意的 ?»小值為？?=?57.類型二存在性問題典例2已知數(shù)列an中，a2=1,前n項和為Sn,且與n(an a1 )(1求a1 ；證明數(shù)列an為等差數(shù)列，并寫出其通項公式;(3設lg b an，試問是否存在正整數(shù)p, q（其中1<p<q）,使b1, bp, bq成等比數(shù)列？若存在，求出所n3n有滿足條件的數(shù)組（p, q）;若不存在，說明理由.【答案】(1) 0(2) an=n- 1 (3) p 2 , q 3 【解析】(1)令 n=1,則 a1=s1= 1(a1 a1 )=0.2(2由Snn(ana。得0 1 (n21)an 12nan2一，得(n 1)an 1

8、nan -+，得2 (n 1)an 1 .nan 2 nan 2nan 1 ,即 an 2 an2an 1 a1=0, a2=1 , a2 a1=1,所以，數(shù)列 an是以0為首項，1為公差的等差數(shù)歹U.所以，an=n-1.（3解法1：假設存在正整數(shù)數(shù)組（p, q）,使b1，bp,bq成等比數(shù)列,則lgb1, lgbp, lgbq成等差數(shù)列,于3Pp 2時,q 3時,3(1 3爭axp 13pq_ 1J )( 3q13(1 m3 3q max柒 2_<。，故數(shù)列 2p （ p3p 11 q-) 12q3q3q 13p<0,故數(shù)歹U 12 ）為遞減數(shù)列,q （ q 3 ）為遞減數(shù)列,4

9、 ,即 p 2, q 3時,93 3q2 p1q3p 33又當p 3時，2 p 2 3 2 1 ,故無正整數(shù)q使得2 p 1 q成立.3r 77 9 33p 3 3q解法2:同上有，2 p 1 q 1 ,且數(shù)列 2 p ( p 2 )為遞減數(shù)列，鏟 3 3q 33當 p 2 時，2p J4 J 成立；當 p 3 時,2 p 2 3_ 2_ 1 ,3P 9 33p 279 3因此，由2 p 1得，p 2 ,此時q 33r 3類型三否定性問題典例3等差數(shù)列an的前n項和為S, 4 1 J5,69 3/2 .1 求數(shù)列an的通項an與前n項和Sn ；2 設b S (n N ),求證：數(shù)列b中任意不同

10、的三項都不可能成為等比數(shù)歹U. nn【答案】(1) an 2n 1 & Sn n(n J2) .見解析【解析】(1)由已知得 a1 J2 , d 2 ,3a1 3d 9 3,2故 an 2n 1 應，Sn n(n 柩.(2)由(1)得bn 且n技.n假設數(shù)列b 中存在三項b , b , b ( p, q, r互不相等)成等比數(shù)列，則b2 b b .np q rq p r即(q2)2 ( p.2)(r.2).(q2 pr) (2q p r) 2 0p, q, r N，qpr 0,p r pr,(p r)2 0, p r .2q p r 02與p r矛盾.所以數(shù)列bn中任意不同的三項都不可

11、能成等比數(shù)列.b由 0 ft 業(yè)凸 EbC 由 0g .審4的。精選名校模掀vBEiV f q 研小，h. 1g * 11m. g e i 小 AfiKflr1.公差dw0勺等差數(shù)列an的前n項和為Sn,已知ai = 2+小，S3=12+3*(1 求數(shù)列an的通項公式an及其前n項和Sn；(2 記Cn=Sn,試問：在數(shù)列Cn中是否存在三項 cr, cs, ct(r v sv t, r,s,t C N*)恰好成等比數(shù)列？若存在, 求出此三項；若不存在，請說明理由.【答案】(1) an 2n v2 , S n 2 (V2 1)n見解析【解析】(1)a12乏,S3 3a13d 12 3立，d2所以

12、an 2nV2, S n 2(72 1)n(2)易知cn21 ,假設存在三項c ,c , c成等比數(shù)列，則c2c c ,n- 2r s ts r t即s ( 2 1)2 r ( . 2 1)t ( 2 1),整理得(2 s r t) 22 rt r t s22s2s2s r t 0 且 rt r t s2 2s 0 , 2s r綜上所述，不存在滿足題意的三項cr ,cs, ct2.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列a 的公比為n列？說明理由；rt，解得r t，這與r t矛盾.t 0q，且°q 1 .在數(shù)列a 中是否存在三項，使其成等差數(shù) n2【答案】見解析1【解析】由an 0, 0 q 3知

13、，數(shù)列an是遞減數(shù)列，假設存在a , a ,a成等差數(shù)列，不妨設 k m n，則2ak m nma a ，即 2a qm 1k n1a1 qa1 q2qm k 1 qn k而 2qm k 2q 1, 1 qn k 1 ,故矛盾.因此在數(shù)列an 中不存在三項成等差數(shù)列.3.設cn 2n，試問數(shù)列 c n中是否存在三項，它們可以構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，求出這三項；若不存在,說明理由.【答案】見解析【解析】解：假設數(shù)列Cn中存在三項，它們可以夠成等差數(shù)列；不妨設為第p,r, q ( p r q)項,由得bnn，.二cn2n , . 2 2 2p 2q ,2rlp 1 2q p又2rlp為偶數(shù)，12q

14、p為奇數(shù).故不存在這樣的三項,滿足條件.4.已知數(shù)列an 滿足:a12，仔n2(1 an)1 -a，n 1a an 10(n 1),數(shù)列b 滿足:a2a2 (n 1).n 1 n(1)求數(shù)列an , bn的通項公式;證明：數(shù)列bn中的任意三項不可能成等差數(shù)列.an ( 1)n1(1)由題意可知,a213二則數(shù)列43(, 4 3a22(1n 13是首項為.(2)見解析a2 )n3c 1 a2,則 nn2 , 一 一2工勺等比數(shù)列,即33Cn-4 3故1a2n3( 2n4 31 a2故 a ( 1)n 1n¥bn(2)假設數(shù)列b 存在三項b , b ,b(r st)按某種順序成等差數(shù)列，

15、由于數(shù)列2為-的等比數(shù)列，于是有3公比即:brbsbt,則只有可能有2bsbr bt成立s 12 1 2-4 一31，即2 23r2-3由于盾.3t r2tr st,所以上式左邊為偶數(shù),右邊為奇數(shù),故上式不可能成立，導致矛因此數(shù)列bn中任意三項不可能成等差數(shù)列.5.已知等比數(shù)列an的首項是1,公比為2,等差數(shù)列bn的首項是1,公差為1,把bn中的各項按照如下規(guī)則依次插入到an的每相鄰兩項之間,構(gòu)成新數(shù)列cn ： a,b1,a2,b2, b3, a3, b4, bsh,a ，即在an和an i兩項之間依次插入bn 中n個項，則C2013【答案】1951,前n組的個數(shù)之和靠近 2013即可，可【解

16、析】對數(shù)列c分組(ai), (bi,a2),(b2,b3,a3),(b4, b5, b6, a4),能前63組之和為2016,用2013個數(shù)剔除an中的項即可6.設等差數(shù)列an 的前n項和為Sn,且a5 a13 34, S3 9 .(1求數(shù)列an的通項公式及前n項和公式;<2設數(shù)列b 的通項公式為bnannant,問：是否存在正整數(shù)t,使得 b, b , b 12 m(m3,m N）成等差數(shù)列？若存在，求出t和m的值；若不存在，請說明理由. an 2n 1, S n n2(2)當 t2時，m 7 ；當1 3時,5時，m(1) an 2n 1, S nn試求所有的正整數(shù)m ,使得amam

17、1為數(shù)列2n 1bn即：2 32n 1 t1,要使得b1, b2,bm成等差數(shù)列，則2b2 b1 bm2m 13 t 1 t 2m 1 tr八 4即：m 3 t 1 m,t N , t只能取 2, 3, 5當t 2時，m 7 ；當t 3時,5 時，m 47.設an是公差不為零的等差數(shù)列,Sn為其前n項和，且2a2求數(shù)列an的通項公式及前n項和Sn ；a 中的項.n a n 2n 7 , S n n22(1)設公差為d，則a 26n (2) 2.a2a2，43由性質(zhì)得所以a4a 0，即 2a315d7得7a13d (a47 6a )3a 的通項公式為na 2nn項和nSn2 6n .d (a47

18、,2,所以(2) amam 1am 25)37)35)若其是,中的項，則(2m 7)(2m2m 3n2m 3令t 2m 3 ,則 amam 1 = (t 4)(t 2) t _ 8 6 2n 7 , am 2tt8即：2nt _ 1 所以t為8的約數(shù). 因為t是奇數(shù)，所以t可取的值為 1, t當t 1,即m 2時，n 5;當t 1,即m 1時，n 4 (舍去).所以滿足條件的正整數(shù) m 2 .8.若2就=?2? ?猾?=?0 或 1, ? 1,2, ? , ?貝(稱？?物0和 1 的一個？?？卜歹U,對于？?？W排歹U?初?，？ ？?州記為？?將排歹？ ？?？ ？?記為？?曾加依此類推，直至M

19、F? ?初對于排列？?和？?汐?然?？,2, ? , ? 1),它們對應位置數(shù)字相同的個數(shù)減去對應位置數(shù)字不同的數(shù)，叫假?嘲?？?電?鐘?勺相關(guān)值，記作？?？?»,例如？?？ 110TlU?妾 011 K?= - 1 ,若？?&?姆 -1(?1,2, ? , ? 1),則稱？?堿最佳排列.(I )寫出所有的最佳排列 ？?(n)證明：不存在最佳排列 ？?(m )若某個？?？(？?£整數(shù))為最佳排列，求排列？?+?中1的個數(shù).【答案】詳見解析【解析】(I)最佳排列 ？?？1i0、101、而0、011、010、市.(n)設?=?則? ? ?1?4?因為微?) -1,所以

20、|? |? |? |? |?中有 2個0, 3個 1,按？?？ ? ? ? ? ?順序研究數(shù)碼變化，有上述分析可知由2次數(shù)碼不發(fā)生改變，有 3次數(shù)碼發(fā)生了改變，但是？?？i奇數(shù)次數(shù)碼改變不能回到自身，所以不存在？?使得？?？5?)?= - 1,從而不存在最佳排列？? ?(出)由？?？= ?鐮?(?0 或 1 , ? 1.2 , ? , 2?7),得？?？?)= ?滔?2? ?斂?？?？2?) = ?泡湯?？ + 1?2? ?倒,?， | ? ?+ | ? ? ? + | ? ? | ?+? - ?= ?1 ,|? ? | ? ? ? + |? ?醐 + | ?- ?= ?, 以上各式求和得，？

21、?？(？?？ 1) X? ?另一方面，？?？以這樣求和：設 ？?？?？?？?？?中有？簾0, ?布？, 則？?2? ?所以？ ?+?=?2? 1 2?2? 1)'?=? ?+?1得？或？1 ?+?1' ?' 所以排列？?？?中1的個數(shù)是？?？?？個.9.設數(shù)列J ?獺前 n 項和為？鐮?已知？?1 , ?- 2? 1 (?(1)求證：數(shù)列?3?的等比數(shù)列J;?2? ?若數(shù)列滿足：? 1 , ?=? 1?2?+? 求數(shù)列?的通項公式;是否存在正整數(shù)n,使得1?弱?？?4 - ?匕？若存在，求出所有 n的值；若不存在，請說明理由.【答案】?(1)數(shù)列 為等比數(shù)列，首項為 1

22、,公比為2. (2) ?5- ? 2(1)解:由？?？- 2?1 ,得？徐？ 2?= 1 (?2),兩式相減,得？?的2? 0,即?5? 2(?2).因為？=?1 ,由(? ? 2? 1 ,得？?？ = 2 ,所以?= 2 ,?所以? 2對任意？? ?成立, ?所以數(shù)列?為等比數(shù)列，首項為(2) 由(1)知，？?？ 2 ?1,一? 1由？ = ? J,得？ ? _?-+ _, ? ? 2?22?即 2? = 2 ?+? 1 ,即 2?- 2? 1 ,因為？?？1 ,所以數(shù)列2?啊?迪首項為1,公差為1的等差數(shù)列.所以 2? 1 + (?1) X 1 ? ?所以？2?外?設? ?則？?器?1X；

23、 0 )+ 2 X；(1+ 3?2 + ?+ ?()?-,所以 1?= ?1 12 ?1 X 2( ) + 21 21 31?11 01 11 21 ?-1 ?2 ?=?( 2+()2+()2+ ? +()2- ?2()=，1、，1-( 2)?1?1 - ?2( ) = 2 -(? 2)?C )所以1 ?=? 4 - (2?+ 4) 2X()由 £? ?!?4 - ?得?=? ?4 -(2? 4)1 ?,即？2 = 2 ?-.2X (=) 4 - ?顯然當？?2時，上式成立，設？ =?%- 2?1? (?即？?？?= 0 . ?因為？?1) - ?= (?3- 2?- (?2- 2?

24、-) = - ?2+ 2 ?- ? < 0 ,?)所以數(shù)列?單調(diào)遞減，所以？? = 0只有唯一解？?？ 2 ,所以存在唯一正整數(shù)？? 2 ,使得U?g=?=M - ?成匕.10.已知數(shù)列?的前？?和為1 21?所；+ 中？(1)求數(shù)列?闞的通項公式？?2?(2)令？?=22?,求數(shù)歹U?的前？?琳口？? 2?-?(3)令?=? ?問是否存在正整麴?1? < ?< ?使得？?？ ？?等差數(shù)列？若存在?''? ?+?1 ? ?求出？? ?值,若不存在，請說明理由.?【答案】 =? (2) 4 -(3)存在？?2, ?7 .(1) ?(1) ?翔？湖？ ?(?2)=

25、1 ?+? 1 ?1 (? 1)2 - 1 _ _ / _(? 1)22221 _ 11-1?1= ? ? -+222""22 2=? ,當？?時？?？ ?1滿足上式 故? ?.X2 ( ) + 3 X2 ( )+ ? + ?-(" 兩式相減,？?衿?2?1-23? 1 +一2+?+ 2?-,2 ? 2 ? 22 +?-? 2?- ? 2?由一得:2 ? 1 +12 + 22 +?2?- - 2?1X?1- -? , 1- 1.2?2?2?= 2?及1-2? 2?=, 2?24 - 2?-(3)假設存在？?< ?悟?qū)В?W?w差數(shù)歹U,則抑=?1?2?2?1

26、?2?+?2?*1 = 6?3 ? 1 = ?22? 一 5?1 2? 5?9?22?= 5? = 5 - 由？> 1且？艮？?一為奇整數(shù), ?，？?1 （舍去）或？?=?7 , 又由？?？1則？=?7代入*式得？= 2,故存 在?2, ?7使得？?好差數(shù)列.11 .數(shù) 列？3?%? ? 4) 滿足：?1, ? ?,? - ? 0或1 (k=1,2,n1).對任意i, j,者B存在 s, t,使得？?卷?？?+?其中（I）若m=2,寫出下列三個數(shù)列中所有符合題目條件的數(shù)列的序號;? ?= 5i, j, s, tC 1,2 ,，n且兩兩不相等.?2?22 1,1,122,2; 1,1,1,

27、122,2,2;1,1,1,1,1,2,2,2,2(II)記？? ? + ?弱?港 m=3,求 S 的最小值;（III ）若 m=2018,求n的最小值.【答案】（I）；（n）見 解析；（出）2026.(I)數(shù)歹U ? ? ?4)滿足：?1, ? ? - ? 0 或 1 (k=1,2,，n- 1).對任意 i, j,都 存在s, t,使得？?務?？?？?給?其中i, j, s, tC1,2,，n且兩兩不相等.在中，1,1, 1,2, 2, 2,不符合題目條件；在中，1 ， 1， 1 ， 1 ， 2， 2， 2， 2，符合題目條件；在中 ,1,1,1,1,1,2,2,2,2,符合題目條件故所有符

28、合題目條件的數(shù)列的序號為(II)當m=3時，設數(shù)列？?？ 1,2,3,出現(xiàn)頻數(shù)依次為？?由題意？?浮1(? 1,2,3).假設?1?<?4 ，則有?1?+? ?2?<? ?+?(對任意?>?>? 2 )，與已知矛盾，所以？?？4.同理可證：？? ?4.假設?1 ,則存在唯一的？?1,2, ? , ?猴得 ?2 .貝U對？?有？?？? 1 + 2 w ?滋？?豕，s, t兩兩不相等)，與已知矛盾，所以？?？2.綜上？?？4, ?4, ?2,所以？?？T3?20P,故 S 的最小值為20.(III)設1, 2,，2018出現(xiàn)頻數(shù)依次為?,?8.同(II)的證明，可得？? 4

29、?& > 4? 2?0?> 2 所以？?？ 2026.取?1?=?20?1?8= 4,?2?=?20?1?7= 2 ，?=?1,?=?3,4,5, ? ,2016，得到的數(shù)列為：?:?1,1,1,1,2,2,3,4, ? ? ,2015,2016,2017,2017,2018,2018,2018,2018.下面證明?滿足題目要求?X?1,2, ? ,2026,不妨令?如果?=?=?1 或 ?=?=?2018 ，由于?1?=?4, ?20?1?8 = 4 ，所以符合條件；如果?=?1, ?=?2 或 ?=?2017, ?=?2018 ，由于?1?=?4, ?20?1?8 =

30、4 ， ?2?=? 2, ?20?1?7 = 2 ，所以也成立；如果?=?1, ?>?2，則可選取?=?2, ?=?-?1；同樣的，如果?<?2017, ?=?2018，則可選取?=?+?1, ?=?2017 ，使得?+?=?+?，?且i， j， s， t 兩兩不相等；如果1 < ?2018 ,則可選??？?？?1, ?+?1 ,注意到這種情況每個數(shù)最多被選取了一次，因此也成立.綜上對任意i, j,總存在s, t,使得？?/?=?其中i, j, s, tC1,2,，n且兩兩不相等.因此？?輔足題目要求, 所以n的最小值為2026.12.已知等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn均不是常數(shù)列

31、，若 ai=bi =1,且ai , 2a2 , 4a4成等比數(shù)列，4b2 ,2b3 , b4成等差數(shù)列.(1)求an和bn的通項公式;(2)設m, n是正整數(shù)，若存在正整數(shù) i, j, k (ivjvk),使得ambj, amanbi, anbk成等差數(shù)列，求 m+n 的最小值;?、?(3)令cn=，記(cn的刖n項和為Tn ,- 的刖門項和為An.右數(shù)列pn滿足p1 = c1,且對n2, n C N* ,，.一，.? 1都有pn=Ancn,設pn的前n項和為Sn,求證：Snv 4 + 4lnn.【答案】（1） ?* ? 2?-（2）?= 4 或?= 3 （3）見解析?=?2?31設等差數(shù)列的

32、公差為 d (d0),等比數(shù)列在公比為 q (q力)，由題意得: ?4?= 4 ? ? ?（?= ?3 ? - 4?4 ? ' 4?2?4 ?3>?解得 d=1, q=2, 所以？給? 2?.2 由ambj, amanbi, anbk成等差數(shù)列,有 叫貓?例?？?2?2源樣？?R?即 2?= ?2?羽+ ?2?, 由于？?？?？?？?a為正整數(shù)，所以？?？?？?1,?2, 所以 2?2?-? ?越2?+?4?可得？?+ 2?即2 + - < 1? ?1當1W"時，不等式?記?？評成立;當?= 4?= 3?-?-?2 或？ ？?3 時 2? = ?2+ ?篁 成立;

33、12當？?？4時，-> 0, 一< 1,即？> 2 ,貝U有？+ ?6 ;?所以?+ ?最小值為 6,當且僅當？?？，？?2且？? 4？=？2？ 3？=？3時取得.(3)由題意得：？?？= ？12 - 2 + (1 + 2)？ ？+？113 =3+(1 + 2 + 3*？ ？ ？ ？ ？ + ？111？=？(1 + ?+?+ ？解？(1 + 2 + 3 + ？ + ？浮?？您 ？1？+？ ？+？ + ？(1)11？= ？1(2)2 ？2 ？2 ？ ？ + 2 ？c？-C？,J 1一(1)得-=1 + +1+1 ？ +1？2 ？248=2 - 2()2 ？( )？求得1 ？-？

34、=> 4 - (？+？2)( )< 4 ,所以？劣 4(1 + 12 + 13 + ？ + 1？),設111？-？= ln ？5？ 1 ？登？?？ 1),則？=;？ ？蕨？> 0 ,所以？(1, +8)上單調(diào)遞增，有 ？> ？) = 0 ,1可得 ln？ 1 - _.？當？2,且？N* 時，?> 1 , ？!-'有 ln ？> 1？- = 1？-？ ？所以1 < ln 2,1 < ln 3 ？ 1 < ln ？21 32 ,？ n ？可得 1 + 1+？ + 1 < 1+ ln -+ ln - +？ + 1n -？=1 + 1

35、n？23？12n ？- n.所以？為 4(1 + 1 + ； + ？ + 3?< 4(1 + ln ？23：13.已知數(shù)列？W足(1L(1 - 11？ (1 - 1 止 1,/？，？！數(shù)列？)的前？?琳勺和.？?？?/? ?/?(1)求數(shù)列?3?的通項公式;(2)若?30, ?就等差數(shù)列,?解?18,?威等比數(shù)列，求正整數(shù)？?？直;(3)是否存在?使得?+ 16為數(shù)列?時的項？若存在，求出所有滿足條件的？-?值；若不存在，請說明理由.【答案】(1) ? ?+?1 . (2) ? 5, ? 9. (3) ? 3或 14.【解析】(1)因為(1 - 1 )(1 - 1) ? (1 - 1壯

36、1 ,，？?？?, ? ?所以當？=?1 時，1 - 2_= 1 二？?2 , ? ?1當？?？2時，由(1 - 1)(1 - 1) ? (1 -1x = 1 和(1 - 1 乳1 - 1 口 (1 -1 )J , 一? ?-?-兩式相除可得，1 - 1 = ?：即-?= 1( ? 2)? ? ?-所以，數(shù)列?是首項為2,公差為1的等差數(shù)列.于是，? ?+?1 .? 18, ?等比數(shù)歹U,(2)因為？? 30, ?等差數(shù)列,所以？?？? ? 60 ?18 2，?* 6日? 54?* 54,或？掇=?6 .?* 6當？時，?=?54 '?"(?+3) ?+?1 = 6=54.一

37、 ?=?5解得？，?=?92? 54?+?1 = 54當？ 2c 時，？(?3) ?,? 6 -(-y)- = 6，所以？?5, ? 9.無正整數(shù)解,(3)假設存在滿足條件的正整數(shù)?使得? ?+ 16 = ?貝U ? (?+?)( ?2) + 16 = ?+?1 , 平方并化簡得，(2 ?+ 2) 2- (2?+? 3)2 = 63, 則(2 ?+ 2?+? 5)(2 ? 2?1) = 63 ,所以 2?+ 2?+? 5 = 63 或 2?+ 2?+? 5 = 21 或 /?+ 2?+? 5 = 9 ?2?2 2?1 = 1 ' " ？2?2 2?1 = 3 '?2?

38、2 2? 1 = 7解得：？=?15 , ?4 ,或？?5 , ?3 ,或？?3 , ?- 1 (舍去), 綜上所述，? 3或14.14 .由1, 2, ? , ?排列而成的？?數(shù)列?滿足：每項都大于它之前的所有項或者小于它之前的所有項.(1)滿足條件的數(shù)列中，寫出所有的單調(diào)數(shù)列.(2)當？?=4時，寫出所有滿足條件的數(shù)列.(3)滿足條件的數(shù)列?酌個數(shù)是多少？并證明你的結(jié)論.【答案】1) ?= ?= ?1), (?2), ? ; (2)見解析；(3) 2?1?個.【解析】(1) ?= ?= ?(?1), (?2), ?;(2)數(shù)列為：1, 2, 3, 4; 4, 3, 2, 1;2,1,3,4

39、;3,2,1,4;2,3,1,4;3,2,4,1;3,4,2,1;2,3,4,1共8個.(3)設所求個數(shù)為？?？則？?？1 ,又?1 ,若？?既第？位？則它之后的？?？位數(shù)完全確定，只能是？?？?1, ? , 2, 1 .而它之前的(？ 1)位，？? 1 , ? 2 , ? , ?1有？隨?種排法,令? , 2,? ?貝U ?褐 1 + ? ? + ?3涵 + ?僦 =(1 + ? ? + ?) + ?,=? + ? = 2 ?,，？3?於 2 ?.15 .設數(shù)列a的前n項和為S，已知S pS q (p、q為常數(shù)，n N*),又a 2, a 1, nnn 1n12(1)求p、q的值;求數(shù)列an

40、的通項公式；S m(3) 是否存在正整數(shù) m、n,使 nSn 1 m2m2m 1成立？若存在，求出所有符合條件的有序?qū)崝?shù)對m, n ；若不存在，說明理由.【答案】(1)p 1，q 2； (2) an -2-；222, 2、 3, 2、 3, 3、 3, 4 .(3)存在符合條件的所有有序?qū)崝?shù)對：1,1、 2,1【解析】(1)由題意，知3+q-3 r解之得(2)由(1)知,Sn+1=%+2, riial當 n2 時，Sn=Sn-1+2,一得，an+i= Tjan (n>2),又a2=1三a1,所以數(shù)列an是首項為2,公比為*的等比數(shù)列,所以an=r /口 2(1-)1(3)由(2)得，1_

41、 2rL =式1一標)，%一 121""24(1 - 1 ) -itSn-m h ”2n2nl-4 / 2m由產(chǎn)_<，一，得<,即，y上一Sn+1-In2m44(1_2n+1|2r(4-m>2 2m+l2“4f”2-2<2VLTI 2%f)-22m+1t 2-12、 1I -即 - T”(4f)-2291 2 以 4f)-2'因為 2m+1>0,所以 2n (4-m) >2,所以 m<4,且 2<2n (4m) < 2m+1+4,因為mCN*,所以m=1或2或3。當m=1時，由得，2<2nX3<8,所

42、以n=1;當m=2時，由得，2<2nX2<12,所以n=1或2;當m=3時，由得，2<2n<20,所以n=2或3或4,綜上可知，存在符合條件的所有有序?qū)崝?shù)對(m, n)為：(1,1), (2, 1), (2, 2), (3, 2), (3, 3), (3, 4).16 .已知數(shù)列an的各項均為正數(shù)，記數(shù)列 an的前n項和為Sn ,數(shù)列an2的前n項和為Tn ,且3Tn = Sn2+ 2Sn , nC N .(I )求a1的值；(n )求數(shù)列 an 的通項公式；(出)若 k, tC N*,且S1, Sk S1 , StSk成等比數(shù)列，求 k和t的值.【答案】(1) 1 (

43、2) a =2n1, nCN*(3) k=2, t =3【解析】(1)由 3T 1 = S+2S1 ,得 3a12=a/+2a1 ,即 a/a1=0. 因為a1 >0,所以a1 = 1.(2)因為 3Tn =Sn 2+2S ,所以 3Tl+1= S+12+2S+1 ,一，得 3an+12=Sn +12 S 2+ 2an + 1因為 an+1>0,所以 3a+i =Sn+i +S +2, 所以 3 an+2 =S+2 + S+1 + 2,一，得 3 an+ 2 3an+ 1 = an + 2 + On+ 1 ,即 an+ 2 = 2an+ 1 ,所以當n>2tI -時,=2222又由 3T2 = S2 + 2S2，佝 3(1 +a2 ) = (1 +a2)+2(1