高中數(shù)學平面向量講義

1、平面向量(學生專用)專題六平面向量一.基本知識【1】 向量的基本概念與基本運算(1) 向量的基本概念： 向量：既有大小又有方向的量向量不能比較大小，但向量的模可以比較大小. 零向量：長度為 0的向量，記為0，其方向是任意的，0與任意向量平行 單位向量：模為1個單位長度的向量 平行向量(共線向量)：方向相同或相反的非零向量 相等向量：長度相等且方向相同的向量(2) 向量的加法：設(shè) AB二a,BC =b，則 a + b=AB BC=AC0 a =a 0 =a；向量加法滿足交換律與結(jié)合律；AB BC CD：l：；PQ QR=AR，但這時必須“首尾相連”.(3) 向量的減法： 相反向量：與a長度相等、

2、方向相反的向量，叫做 a的相反向量 向量減法：向量a加上b的相反向量叫做a與b的差， 作圖法：a-b可以表示為從b的終點指向a的終點的向量(a、b有共同起點)(4) 實數(shù)與向量的積：實數(shù)入與向量a的積是一個向量，記作 入a，它的長度與方向規(guī)定 如下：(I) p煮=耳，a ； (n)當丸0時，入a的方向與a的方向相同；當人 0時，入a的方向與a的方向相反；當，=0時，a =0，方向是任意的(5) 兩個向量共線定理： 向量b與非零向量a共線：=有且只有一個實數(shù)，使得b = a(6) 平面向量的基本定理：如果e,e2是一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù) 、，工

3、使：au2 qes，其中不共線的向量 ees叫 做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底 【2】平面向量的坐標表示平面向量(學生專用)(1) 平面向量的坐標表示：平面內(nèi)的任一向量 a可表示成a = xi yj ,記作a=(x,y)。(2) 平面向量的坐標運算： 若 a 二 xi, yi ,b = X2,y2 ，則 a _ b 二頭一仇、小一七 若 A Xi, yi ,B X2,y2，則 AB 二 x? -為必 - * 若 a =(x,y)，則a=( x, y) 若 a= %,%, bhx2, y2，貝Va/b= y2-x2y0 若 ah*,yi, bhX2, y2，貝Va b 二咅 x?y y 若

4、a _ b，貝V xi x2 - yi y2 = 0【3】平面向量的數(shù)量積(1) 兩個向量的數(shù)量積：已知兩個非零向量 a與b ,它們的夾角為二，則a b = I a I ! b I cos二叫做a與b的 數(shù)量積(或內(nèi)積)規(guī)定0 a = 0-a b-(2) 向量的投影：I b I上 R,稱為向量b在a方向上的投影 投影的絕對值稱|a|為射影(3) 數(shù)量積的幾何意義：a b等于a的長度與b在a方向上的投影的乘積=aa._(4) 向量的模與平方的關(guān)系：a a二a2 =|a|2(5 )乘法公式成立：- _-2 7 I |2 丨 T j - - 2-乙 | 丁2- - 7(a+b 卜(a-b)=a -b

5、 =|a - b ; (a 土b)=a 2ab + b = a 2ab+b(6)平面向量數(shù)量積的運算律： 交換律成立：a b =b a 對實數(shù)的結(jié)合律成立： a b二兔:a b i；=a bi；- 5 R 分配律成立：a二b c=ac=bc=c，a=b平面向量(學生專用)特別注意：(1)結(jié)合律不成立：a b c = a b c ;(2) 消去律不成立ab二ac不b=c(3) a b =0 不能a =0或 b =0(7) 兩個向量的數(shù)量積的坐標運算：已知兩個向量 a =(為，),匕=(%, y2)，則a b =x,x2 y1y2(8) 向量的夾角：已知兩個非零向量a與b ,作OA = a , O

6、B = b ,則/ AOBp(00 W 1800) 叫 做 向 量 a 與 b 的 夾 角cos j = cos ： a,當且僅當兩個非零向量 a與b同方向時，0 =00，當且僅當a與b反方向時0 =180,同時0與 其它任何非零向量之間不談夾角這一問題(9) 垂直：如果a與b的夾角為90則稱a與b垂直，記作a丄b(10) 兩個非零向量垂直的充要條件：a丄b = a b = O二x1x2 y1 y 0平面向量 數(shù)量積的性質(zhì)二.例題分析【模塊一】向量的基本運算【例1給出下列六個命題： 兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同； 若a =|b，則a = b在平行四邊形 ABCD中一定有AB = D

7、C ；若 mnnnnp，貝Um = p ；若 a/b ,bc,貝 Ua/c任一向量與它的相反下列不相等.已知向量a=0，且ab = 0，則b = 0MIMiMMMa = b的充要條件是 a = b且a/ b ；若a與b方向相同，且 a=b，貝U ab ； 由于零向量的方向不確定，故零向量不與任意向量平行；其中正確的命題的序號是 平面向量（學生專用）【例2】已知向量a,b夾角為45*，且a =1,2ab = J10 ；求b的值.【變式1】若a = 2 ,b =3， a b = 求 a +b 的值.第6頁第#頁【變式2】設(shè)向量a，b滿足| a|=|b |=1及| 3a-2 b|=3，求| 3a+b

8、|的值【例3】已知向量a、b的夾角為60 , |a|=3, |b 2，若（3a 5b） _ （ma- b），求m的【例4】若向量a = 1,2 ，b=：1,-1求2a b與a-b的夾角【變式】設(shè) x, y R,向量 a = x,1 ,b = 1,y ,c = 2,-4且 a _ c,b/c第#頁第#頁( )B.D. 10【例5】已知兩個非零向量 a,b滿足a +耳=a -b，則下列結(jié)論一定正確的是（）A a/ b B a丄 b C a=b Da+b = ab【變式1】設(shè)a,b是兩個非零向量.A. 若 | a+b|=| a|-|b|,則 a丄 bB. 若 a丄b,則| a+b|=| a|-| b

9、|C. 若| a+b|=| a|-|b|,則存在實數(shù) 入，使得a=入bD. 若存在實數(shù) 入，使得a=入b,則| a+b|=| a|-| b|平面向量（學生專用）【變式2】若平面向量a,b滿足：2a_b 3；則a申的最小值是 【例 6】設(shè)： 三 0, , a = cos ,sin ：, b(1) 證明 a b _ a -b ；(2) 當2a +b = a 2b時求角a的值.【例7】設(shè)a、b都是非零向量，下列四個條件中a b,使成立的充分條件是（|a| |b|B. a/bC. a = 2bD. a/b且 |a|=|b|第7頁第#頁【模塊二】向量與平面幾何 【例 1】在厶 ABC中，.A=90 AB

10、 =1,AC =2 ,設(shè) P、Q滿足 AP 二，AB ,AQ pl - ;AC , R平面向量(學生專用)【變式1】已知 ABC為等邊三角形， AB=2設(shè)P、Q滿足AP AB , AQW；AC ,31 _ ;2C仁 10 D-3_ . 2222()R BQ CP ，則=2【例 2】在厶 ABC中,AB=2,AC=3, AB_BC = 1 則 BC =B.7C.2 2D. 、23第8頁第#頁【變式1】若向量BA二2,3 , CA二4,7 ,則BC =A.-2, -4B 2,4C.6,10D.-6,-10第#頁第#頁1 2 t【例3】若等邊ABC的邊長為2 3 ,平面內(nèi)一點 M滿足CM CB CA

11、 ,則63T TMAMB =.平面向量(學生專用)【例 4】:ABC 中，AB 邊上的高為 CD,若 CB 二 a,CA 二 b,a b = 0 ,| a|=1,|b|=2,則ADA.B.2aZb3 3C.D.【例5】在平面直角坐標系中2嚇,O(0,0), P(6,8),將向量OP按逆時針旋轉(zhuǎn) 后 ,得向量4OQ，則點Q的坐標是()A. （7_2,i、2）B. （7 2,、.2） C. （-4、6,-2）D. （-4、飛,2）【例 6在也 ABC中 , M是 BC的中點，AM=3, BC=10,則 AB AC =C第10頁第#頁【例7在平行四邊形 ABCD, / A=y ,邊AB AD的長分別

12、為2、1.若M N分別是邊BCCD上的點，且滿足LBJ =12-1 ,則AM AN的取值范圍是 |BC| |CD|【例8如圖，在矩形ABCD中，AB2 , BC = 2,點E為BC的中點，點F在邊CDD上,若AB二AF二2,則AE - BF的值是平面向量（學生專用）則DE CB的值為【例9】已知正方形 ABCD的邊長為 1,點E是AB邊上的動點; DE DC的最大值為【例10】已知直角梯形ABCD中，AD/ BC , NADC =90, AD =2,BC =1, P是腰DC上的動點，貝U PA +3PB的最小值為 【例11】如圖，在-ABC中，AD _ AB,BC 二.3BD, AD=1,第11頁1+rBC電則 AC D =_、3:【例 12】(15)在四邊形