中值定理構(gòu)造輔助函數(shù)資料

1、資料收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除微分中值定理證明中輔助函數(shù)的構(gòu)造1 原函數(shù)法此法是將結(jié)論變形并向羅爾定理的結(jié)論靠攏，湊出適當(dāng)?shù)脑瘮?shù)作為輔助函數(shù)，主要思想分為四點(diǎn)： (1)將要證的結(jié)論中的換成 x ；(2)通過恒等變形將結(jié)論化為易消除導(dǎo)數(shù)符號的形式； (3)用觀察法或積分法求出原函數(shù)（等式中不含導(dǎo)數(shù)符號），并取積分常數(shù)為零； (4)移項(xiàng)使等式一邊為零，另一邊即為所求輔助函數(shù)F ( x) 例 1：證明柯西中值定理分 析 ： 在 柯 西 中 值 定 理 的 結(jié) 論 f (b)f ( a)f'()中 令x ， 得g (b)g(a)g '()f (b)f (a)f '(

2、x)， 先 變 形 為 f (b)f (a)gg '( x)f'(x) 再 兩 邊 同 時 積 分 得g(b)g( a)g '(x)g (b) g(a)f (b)f (a)gg( x)f ( x)C， 令C0 ， 有f ( x)f (b)f (a) gg (x)0 故g(b)g( a)g(b)g(a)F ( x)f (x)f (b)f ( a) gg( x) 為所求輔助函數(shù)g (b)g (a)例 2：若 a0 , a1 , a2 , ,an 是使得 a0a1a2an0的實(shí)數(shù)證明方程231na0 a1x a2 x2an xn0 在（ 0，1）內(nèi)至少有一實(shí)根證：由于(a0a

3、1xa2 x2an xn )dx a0 xa1 x2a2x3anxn 1C23n1并且這一積分結(jié)果與題設(shè)條件和要證明的結(jié)論有聯(lián)系，所以設(shè)F ( x)a1x2a2x3anxn1（取 C0 ），則a0 x3n 121） F (x) 在0，1 上連續(xù)2） F (x) 在（ 0，1）內(nèi)可導(dǎo)3） F (0) =0， F (1)a0a1a2an023n1故 F (x) 滿 足 羅 爾 定 理 的 條 件 ， 由 羅 爾 定 理 ， 存在(0,1)使F'( )0 ，即(a0 xa1 2a23anxn 1)' x0 亦即 a0a1a22ann0 xxn123word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò)，如有

4、侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除這說明方程 a0a1 xa2 x2an xn0 在（ 0， 1）內(nèi)至少有實(shí)根x2 積分法對一些不易湊出原函數(shù)的問題，可用積分法找相應(yīng)的輔助函數(shù)例 3：設(shè) f ( x) 在1 ，2上連續(xù)，在（ 1， 2）內(nèi)可導(dǎo)， f (1)1 ， f (2) 2 證明存2在(1,2) 使 f '( )2 f ( ) 分析：結(jié)論變形為f '()2 f ( )0，不易湊成'()0我們將換為 x ，F(xiàn)x x結(jié)論變形為 f '(x)20 ，積分得： lnf ( x)2lnx lnf ( x)ln c ，即 f ( x)c ，從而f ( x)xx2x2可設(shè)輔助函數(shù)為F (

5、 x)f ( x)，有 F (1)F (2)1本題獲證x22例 4：設(shè)函數(shù) f ( x) ， g( x) 在 a,b 上連續(xù)，在 ( a, b) 內(nèi)可微， f (a)f (b) 0 證明存在(a,b) ，使得： f '()f ( ) g '()0 證：將 f '( )f ()g '( )0 變形為 f'( )f ( ) g '()f '()g '()，將 換f ()為 x， 則f '(x)g '( x)，兩邊關(guān)于x積分，得：f (x)f '(x) dxg '( )dx1d f (x)d g( x)l

6、nf ( x)g(x)C， 所 以f (x)f ( x)f (x)exp(g (x)C )exp(g( x)gexp( C )K exp( g ( x)，其中 Kexp( C ) ， 由f (x)Kexp( g (x) 可得 Kf (x)exp( g (x) 由上面積分的推導(dǎo)可知， f (x)exp( g( x)為一常數(shù) K ，故其導(dǎo)數(shù)必為零，從整個變形過程知，滿足這樣結(jié)論的的存在是不成問題的因而令F ( x)f (x)exp( g(x) ，易驗(yàn)證其滿足羅爾定理的條件，原題得證3 幾何直觀法此法是通過幾何圖形考查兩函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值的關(guān)系，從而建立適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)例 5：證明拉格朗日中值定理

7、word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除分析：通過弦AB 兩個端點(diǎn)的直線方程為y f (a)f (b)f (a) ( xa) ，則函數(shù) f ( x) 與ba直線 AB 的方程之差即函數(shù)F ( x) f (x) f (a)f (b)f ( a) ( x a) 在 兩ba個端點(diǎn)處的函數(shù)值均為零，從而滿足羅爾定理的條件故上式即為要做輔助函數(shù)例 6：若 f ( x) 在 a,b 上連續(xù)且 f (a) a, f (b)b 試證在 (a, b) 內(nèi)至少有一點(diǎn)，使 f ( )分析：由圖可看出，此題的幾何意義是說，連續(xù)函數(shù) yf ( x) 的圖形曲線必跨越y(tǒng)x 這一條直線，而兩者的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

8、恰滿足 f ( )進(jìn)而還可由圖知道， 對 a, b 上的同一自變量值x ，這兩條曲線縱坐標(biāo)之差f ( x)x 構(gòu)成一個新的函數(shù)g(x) ，它滿足 g(a) <0, g(b) >0,因而符合介值定理的條件當(dāng)為 g( x) 的一個零點(diǎn)時，g()0 恰等價于f ( )因此即知證明的關(guān)鍵是構(gòu)造輔助函數(shù)g( x)f (x)x 4 常數(shù) k 值法此方法構(gòu)造輔助函數(shù)的步驟分為以下四點(diǎn)：1）將結(jié)論變形，使常數(shù)部分分離出來并令為k 2）恒等變形使等式一端為a 及 f (a) 構(gòu)成的代數(shù)式，另一端為b 及 f (b) 構(gòu)成的代數(shù)式3）觀察分析關(guān)于端點(diǎn)的表達(dá)式是否為對稱式若是，則把其中一個端點(diǎn)設(shè)為x ，

9、相應(yīng)的函數(shù)值改為f (x) 4）端點(diǎn)換變量 x 的表達(dá)式即為輔助函數(shù) F (x) 例 7：設(shè)f ( x)在a, b上連續(xù)，在(a, b)內(nèi)可導(dǎo)，b)，試證存在一點(diǎn)(a, b)，(0 aword 可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除使等式( )() ln a'( )成立f bf afb分 析 ： 將 結(jié) 論 變 形 為 f (b)f (a)f'( ) ， 令 kf (b)f (a) ， 則 有l(wèi)n bln aln bln af (b)k ln bf ( a) k ln a ，令 bx ，可得輔助函數(shù) F ( x) f ( x) k ln x 例8： 設(shè) f'

10、9;(x) 在 a,b 上存 在，在 acb ，試證明存在(a, b) ， 使得f (a)f (b)f (c)1f ''() ( a b)(a c)(ba)(bc)( ca)(cb)2分析：令f (a)f (b)f (c)k，于是有(ab)(ac) (b a)(bc)(c a)(c b)(b c) f (a)(a b) f ( c)(ca) f (b)k (ab)( ac)(b c) ，上式為關(guān)于 a ，b ，c 三點(diǎn)的 輪 換 對 稱 式 ， 令 bx （ or ： cx ， or ： a x），則得輔助函數(shù)F ( x)(x c) f (a)(ax) f (c)(c a) f

11、 ( x)k (ax)(a c)( xc) 5 分析法分析法又叫倒推法， 就是從欲證的結(jié)論出發(fā)借助于邏輯關(guān)系導(dǎo)出已知的條件和結(jié)論例 9：設(shè)函數(shù) F ( x) 在0， 1上連續(xù)，在（ 0，1）內(nèi)可導(dǎo)，證明在（ 0，1）內(nèi)存在一點(diǎn) C ，使得 F (1)F (0)(e1 ce c ) F '(C ) 分析：所要證的結(jié)論可變形為：F (1)F (0)(e1 ce c )F '(c)e c1 F '(c) ，即F (1)F (0)F '(c) ，因此可構(gòu)造函數(shù)e( )x，則對 F ( x) 與 G (x) 在0，1上應(yīng)用柯e1ecG xe西中值定理即可得到證明例 10：

12、設(shè)函數(shù) f ( x) 在 0,1 上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且 f(0) =0，對任意 x(0,1)有 f ( x)0 證明存在一點(diǎn)(0,1)使 nf '()f '(1) （ n 為自然數(shù)）成立f ()f (1)分析：欲證其成立，只需證 nf '() f (1)f '(1) f ( )0 由于對任意 x(0,1)有f (x)0，故只 需證：n( f ()n 1 f '() f (1)f '(1)( f () n0即( f ( x) nf (1x)'0 ，于是引入輔助函數(shù) F (x)( f ( x) nf (1x) （ n 為自然數(shù)）xw

13、ord 可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除例11 ： 設(shè)函 數(shù) f ( x) 在 區(qū) 間 0 ， +上 可導(dǎo) ，且 有 n 個不 同零 點(diǎn)：0x1x2xn 試證 af ( x)f '(x) 在0，+ 內(nèi)至少有 n1個不同零點(diǎn)（其中，a 為任意實(shí)數(shù)）證明：欲證 af (x) f'(x) 在 0 ， +）內(nèi)至少有 n1 個不同零點(diǎn)，只需證方程af ( x) f '( x) =0 在0，+ 內(nèi)至少有 n1個不同實(shí)根因?yàn)椋?x 0,+ ) ，eax0 ，故只需證方程 eax af ( x)f '( x) 0 在 0,+ ) 內(nèi)至少有n 1個不同實(shí)根引入輔助函數(shù)

14、F ( x)eax f (x) ，易驗(yàn)證 F (x) 在區(qū)間 x1 , x2 ， x2 , x3 ， ， xn 1 , xn 上滿 足羅 爾定 理的 條件 ，所 以， 分別 在這 n1 個區(qū) 間上 應(yīng)用 羅爾 定理 ，得F'( 1)F '( 2 )F '( n 1)0，其中1 ( x1 , x2 ), 2 ( x2 , x3 ),n 1( xn 1 , xn ) 且012n 1以上說明方程 F '( x) 0在 x1, x2 U x2 , x3 U U xn1, xn 0， + 內(nèi)至少有n1個不同實(shí)根，從而證明了方程 af (x)f '( x) =0 在

15、 0，+ 內(nèi)至少有 n1個不同實(shí)根6 待定系數(shù)法在用待定系數(shù)法時，一般選取所證等式中含的部分為 M ，再將等式中一個端點(diǎn)的值 b 換成變量 x ，使其成為函數(shù)關(guān)系，等式兩端做差構(gòu)造輔助函數(shù)(x) ，這樣首先可以保證(b) =0，而由等式關(guān)系(a) =0 自然滿足，從而保證(x) 滿足羅爾定理?xiàng)l件，再應(yīng)用羅爾定理最終得到待定常數(shù)M 與 f '( ) 之間的關(guān)系word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除例12：設(shè)f (x) 是 a,b 上 的 正 值 可 微 函 數(shù) ， 試 證 存 在( a,b) ， 使ln f (b)f '( ) (ba) f (a)f ( )證明：

16、設(shè) ln f (b)M (ba) ，令 ( x)ln f (x)M ( x a) 容易驗(yàn)證 ( x) 在 a, b 上f (a)f (a)滿足羅爾定理?xiàng)l件，由羅爾定理，存在(a, b) 使 '( )0，解得 Mf '( ) ，故f ( )ln f (b)f '( ) (b a) f (a)f ( )例 13：設(shè)函數(shù) f ( x) 在 a,b 上連續(xù)，在 (a, b) 內(nèi)可導(dǎo)，則在 (a,b) 內(nèi)至少存在一點(diǎn)使2 f (b)f (a) (b2f (b)f ( a)(b2a 2 ) f '(2a2 ) f '( )證明：將所證等式看作)，設(shè)f (b)f (a

17、)M (b2a2 )，令(x)f ( x)f ( a) M ( x2a2 ) ，則(x) 滿足羅爾定理?xiàng)l件，由羅爾定理得，存在一點(diǎn)(a, b)，使 '( ) 0 ，即 f'( )2M，若=0，則 f '( )0，結(jié)論成立；若0 ，則 Mf '() ，從而有 2 f (b)f (a)f ( )(b2a2 ) 2例 14：設(shè) 0x1x2 ，則存在( x1 , x2 ) 使 x1ex2x2 ex1e (1)(x1x2 ) word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除分析：對于此題設(shè) x1ex2x2ex1M ( x1x2 ) 作函數(shù)( x)x1exxex1M ( x1x) 應(yīng)用羅爾定理可得存在(x1, x2 ) ，使'( )0 ，即 x1eex1M0 ，從而 Mex1x1e ，這樣并不能證明原結(jié)論， 遇到這種情況， 說明所作的輔助函數(shù)不合適