線性模型考試題目

1、一、（40分，每題8分）簡答題1. 什么是多重共線性？如何識別多重共線性？多重共線性（Multicollinearity ）是指線性回歸模型中的解釋變量之間由于存在精確相關關系或高度相 關關系而使模型估計失真或難以估計準確。多重共線性可能會使回歸的結果造成混亂，甚至會把分析引入 歧途；可能對參數(shù)估計值的正負號產(chǎn)生影響，特別是各回歸系數(shù)的正負號有可能同我們預期的正負號相反。檢測多重共線性的最簡單的一種辦法是計算模型中各對自變量之間的相關系數(shù)，并對各相關系數(shù)進 行顯著性檢驗。若有一個或多個相關系數(shù)顯著，就表示模型中所用的自變量之間相關，存在著多重共線性。另外，如果出現(xiàn)下列情況，則同樣暗示存在多重共

2、線性：模型中各對自變量之間顯著相關；當模型 的線性關系檢驗（F檢驗）顯著時，幾乎所有回歸系數(shù)的t檢驗都不顯著；回歸系數(shù)的正負號與預期的相反。2. 線性模型中的F檢驗統(tǒng)計量和t檢驗統(tǒng)計量的區(qū)別和聯(lián)系是什么？F檢驗用于檢驗自變量與因變量之間的線性關系是否顯著，即對模型中被解釋變量與解釋變量之間的線性關系在總體上是否顯著成立作出推斷。其檢驗統(tǒng)計量為t檢驗用于檢驗自變量 x對因變量y的影響是否顯著，即對模型中被解釋變量與某個解釋變量之間 的線性關系在總體上是否顯著成立作出推斷。/ = 2）s 其檢驗統(tǒng)計量為t統(tǒng)計量與F統(tǒng)計量的構造原理及其概率分布都是不一致的，前者直接考慮參數(shù)的估計量是否“足 夠”接近

3、于0,服從t分布；后者則是從總離差平方和分解式出發(fā)，以回歸平方與殘差平方和的比值來推 斷解釋變量整體對被解釋變量的線性影響是否顯著，服從F分布。就一般而言，t檢驗與F檢驗不等相互替代。對于一元線性回歸模型，F(xiàn)檢驗與t檢驗是等價的；而對于二元以上的多元回歸模型，解釋變量的整體對被解釋變量的影響是顯著的，并不表明每一個解釋變量對它的影響都顯著，因此在做完F檢驗后還須進行t檢驗。3. 簡述線性模型對模型的假定。線性回歸模型的基本假設是：解釋變量是確定性變量，而且解釋變量之間互不相關；隨機誤差項具 有0均值和同方差；隨機誤差項在不同樣本點之間是獨立的，不存在序列相關；隨機誤差項與解釋變量之 間不相關；

4、隨機誤差項服從 0均值、同方差的正態(tài)分布。4. 對兩個變量的相關分析和回歸分析有什么區(qū)別和聯(lián)系？相關分析中，變量 x變量y處于平等的地位；回歸分析中，變量y稱為因變量，處在被解釋的地位，x稱為自變量，用于預測因變量的變化；相關分析中所涉及的變量x和y都是隨機變量；回歸分析中，因變量y是隨機變量，自變量x可以是隨機變量，也可以是非隨機的確定變量；相關分析主要是描述兩個變量之間線性關系的密切程度；回歸分析不僅可以揭示變量x對變量y的影響大小，還可以由回歸方程進行預測和控制。5. 簡述向前選擇、向后剔除和逐步回歸法。向前選擇：將所有自變量分別與因變量建立一元線性回歸方程，比較F統(tǒng)計量的值，將 F統(tǒng)計

5、量的值最大的變量引入回歸方程； 再分別將引入的變量，和每一個剩余變量與因變量 y建立二元線性回歸方程， 再比較F統(tǒng)計量的值，選擇 F統(tǒng)計量的值最大的變量引入方程；直至增加自變量不能導致SSR顯著增加。向后剔除：用全部變量建立一個回歸方程；考察去掉一個自變量的模型，剔除使模型的SSR減少最多的變量；對剩余變量再作回歸，再檢驗；直至剔除一個自變量不會使SSR顯著減少為止。逐步回歸法：前兩步與向前選擇法相同；在增加了一個自變量之后，對模型的所有變量進行考察， 看看有沒有可能剔除某個自變量；直至增加變量不能導致SSE顯著減少（30分）為研究人均國內生產(chǎn)總值（ GDP ）與人均消費水平之間的關系，在全國

6、范圍內隨機抽取 個地區(qū)，得到2000年的人均國內生產(chǎn)總值（GDP ）和人均消費水平的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：地區(qū)人均GDP （元）人均消費水平（元）北京224607326遼寧112264490上海3454711546江西48512396河南54442208貴州26621608陜西45492035經(jīng)初步計算，用最小二乘法得到下面的回歸結果（0.05）方程的截距b0734.6928截距的標準差Sb0139.5403回歸平方和SSR 814449686800回歸系數(shù)b 0.30868回歸系數(shù)的標準差 $0.0085殘差平方和SSE 305795.03431.寫出一元線性回歸模型，并指出回歸模型的基本假定。y

7、=鳳 + O + £一元線性回歸模型可表示為線性回歸模型的基本假設是：解釋變量是確定性變量，而且解釋變量之間互不相關；隨機誤差項具 有0均值和同方差；隨機誤差項在不同樣本點之間是獨立的，不存在序列相關；隨機誤差項與解釋變量之 間不相關；隨機誤差項服從 0均值、同方差的正態(tài)分布。2.以人均GDP作自變量（x），人均消費水平作因變量（y），寫出估計的回歸方程，并解釋回歸系數(shù)的頭際意義。?= 734.69 + 0.31?b。 734.69是截距，沒具體的經(jīng)濟意義；回歸系數(shù)b, 0.31是斜率，表示人均GDP每增加1單位, 人均消費水平平均增加0.31單位。23.計算判定系數(shù)R，并說明它的實

8、際意義。? SSR=0.9963SSR+ SSE說明在人均消費水平的變動中，有99.63%可以由人均GDP和人均消費水平之間的線性關系來解釋。4. 計算估計標準誤差 Sy，并說明它的實際意義。標準誤差 ?=247.3說明根據(jù)人均 GDP來估計人均消費水平時，平均的估計誤差為247.3元。5. 寫出檢驗回歸系數(shù)的原假設和備擇假設，計算檢驗的統(tǒng)計量，并根據(jù)顯著性水平=0.05檢驗回歸系數(shù)的顯著性（注：當0.05時，t 2 2.4469 ）原假設?: ?=0 ;備擇假設?:?工0統(tǒng)計量t =?0.30868?1= 0.0085 = 61.736 > t2 2.4469，拒絕原假設？，表明人均消

9、費水平和人均GDP之間的線性關系是顯著的（30分）一家出租汽車公司為確定合理的管理費用，需要研究出租車司機每天的收入（元）與他的行 使時間（小時）行駛的里程（公里）之間的關系，為此隨機調查了20個出租車司機，根據(jù)每天的收入（y ）、行使時間（Xi）和行駛的里程（X2）的有關數(shù)據(jù)進行回歸，得到下面的有關結果（0.05）:方程的截距?42.38截距的標準差S?36.59'0回歸平方和SSR 29882回歸系數(shù)？9.16回歸系數(shù)的標準差 S 4.781殘差平方和SSE 5205回歸系數(shù)?20.46回歸系數(shù)的標準差 s?0.142一（1） 寫出每天的收入（y ）與行使時間（x1）和行駛的里程（

10、x2）的線性回歸方程。（2）解釋各回歸系數(shù)的實際意義。（3）計算多重判定系數(shù)R2，并說明它的實際意義。（4）計算估計標準誤差Sy，并說明它的實際意義。（5） 以顯著性水平 =0.05，檢驗回歸方程的線性關系是否顯著？（注：F0.05（2,17） 3.59 ）（6） 以顯著性水平 =0.05，檢驗回歸系數(shù)是否顯著？ （t0.025（17） 2.1 1 ）53.(1)回歸方程為* A滋憲"16可+ 046乃.(2)A = 5.16表刁孔在行駛里程不變的情況下，行駛時間每增加1小時，每天的收入平謝增加9.16元：應=0 46衣示在行駛時間不變的情況下，行駛雖程毎增加】公里，毎天的收入平均增加0.46元.2?882298B2 + 5205=®5 17%表明在每天收入的總變差屮，被估計的多元線性回歸方程所解釋的比例為騎”17%，說明回歸方程的擬合程度較高(4)表明用