熱學(xué)習(xí)題思考題解題指導(dǎo)

1、標(biāo)準(zhǔn)文案1.3.71.3.7在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下給一氣球充氫氣。此氣球的體積可由外界壓強(qiáng)的變化而改變。充氣完畢時(shí)該氣球的體積為- ，而球皮體積可予忽略。（1 1 ）若貯氫的氣罐的體積為匚二廠p( z/H)dz2RE0 zexp( z/ H )dzn(0) 4n-kTRE21mg2kTmg RE標(biāo)準(zhǔn)文案利用（3 3 ）式可以看到，（2 2）式的方括號(hào)中的第二項(xiàng)比第一項(xiàng)小 比第二項(xiàng)小 3 3 個(gè)數(shù)量級(jí)。我們完全可以忽略其中的第二項(xiàng)和第三項(xiàng)。行計(jì)算要簡(jiǎn)便得多。這時(shí)2kT2N n(0)4冗璋()n(0) 4nR；Hmg其中H為大氣標(biāo)高。由此看來(lái)，把地球的所有大氣分子壓縮為一層環(huán)繞地球表面的、壓 強(qiáng)為一個(gè)大氣壓

2、的均勻氣體球殼，這層球殼厚度就是大氣標(biāo)高。2.2.B.4B.4設(shè)想在遠(yuǎn)離地球的太空中有一宇宙飛船，飛船有一真空實(shí)驗(yàn)艙。 中有一質(zhì)量為 M M 的試管，它被質(zhì)量為 m m 的隔板分隔為體積相等的兩部分。被隔板圭寸閉的那部分空間中有溫度為 T T,摩爾質(zhì)量為 M Mm, ,物質(zhì)的量為 的單原子理想氣體。隔板被放開(kāi)后，隔板無(wú)摩擦 的向上移動(dòng)。在隔板離開(kāi)試管頂端后氣體才開(kāi)始從試管中逸出。設(shè)試管開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)試管靜止。試求試管的最終速度。設(shè)氣體、試管、隔板三者之間的熱量交換可以忽略，在隔板離開(kāi)試管前，氣體經(jīng)歷的是 準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程?！痉治觥坑捎谠嚬芡獠繛檎婵眨_(kāi)始時(shí)整個(gè)系統(tǒng)都是靜止的，隔板被放開(kāi)后氣體將膨脹，但整

3、個(gè)過(guò)程都是絕熱的準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程，我們可以利用絕熱過(guò)程方程來(lái)解這個(gè)問(wèn)題。在絕熱膨脹過(guò)程中，氣體能減少，溫度降低。但是由于不存在重力， 氣體不對(duì)整個(gè)系統(tǒng)以外的部分做功， 所減少的能全部轉(zhuǎn)化為隔板和試管的動(dòng)能以及氣體的整體定向運(yùn)動(dòng)動(dòng)能，由于整個(gè)系統(tǒng)的總kTmgRE1.38 102327329 1.67 10279.8 6.4 1060.00124(3)(3)3 3 個(gè)數(shù)量級(jí)，第三項(xiàng)又顯然，用近似方法進(jìn)標(biāo)準(zhǔn)文案其中 v v 為隔板離開(kāi)試管時(shí)，隔板向上運(yùn)動(dòng)的速度,u1u1 是試管向下運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度。氣體能的減少轉(zhuǎn)變?yōu)槎ㄏ蜻\(yùn)動(dòng)動(dòng)能，所以U Ek另外，根據(jù)整個(gè)系統(tǒng)的總動(dòng)量守恒，有mv ( MmM )ui動(dòng)量守恒，

4、所以隔板向上運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量等于試管以及所裝氣體的向下運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量，這樣就可以確定隔板離開(kāi)試管時(shí)試管以及所裝氣體的向下運(yùn)動(dòng)的速度u1u1，以上稱為過(guò)程“ 1 1 ”。當(dāng)隔板離開(kāi)試管以后（這稱為過(guò)程“2 2 ”）氣體將陸續(xù)逸出（最終將全部逸出）試管。雖然系統(tǒng)仍然絕熱，但是它不是準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程，絕熱過(guò)程方程不能適用。詳細(xì)分析：（1 1）在氣體還沒(méi)有逸出試管時(shí)， 特別是隔板被固定時(shí)，由于氣體分子的無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)，平均來(lái)說(shuō)，分別有 一半分子以平均速率撞擊隔板和試管底，因而給隔板和試管底分別施以相等的動(dòng)量。在隔板沒(méi)有固定時(shí)，給以隔板動(dòng)量使得氣體做絕熱膨脹；給以試管底的動(dòng)量使得試管以u(píng)1u1 速度向下運(yùn)動(dòng)。正如上面分析的

5、，計(jì)算u1u1 的關(guān)鍵是整個(gè)系統(tǒng)的總動(dòng)量守恒。（2 2 ）當(dāng)隔板離開(kāi)試管時(shí)，氣體已經(jīng)以速度u1u1 和試管一起向下運(yùn)動(dòng)。但是在隔板離開(kāi)試管以后，氣體給以試管底的動(dòng)量仍然存在，這個(gè)動(dòng)量使得試管向下的運(yùn)動(dòng)速度又增加了u2u2，我們可以在以 u1u1 速度向下運(yùn)動(dòng)的參考系中來(lái)求u2u2，而在地面參考系中試管的速度應(yīng)該是u1+u2.u1+u2.1 1TVTfVf隔板、試管和氣體的總的定向運(yùn)動(dòng)動(dòng)能為mv2u：(Ek【解】（1 1）過(guò)程“ 1 1 ”：正如上面分析的, 這是一個(gè)準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過(guò)程，設(shè)開(kāi)始時(shí)以及隔板即將離開(kāi)試管時(shí)氣體的溫度和體積分別是（丁2 2）和（T Tf, V Vf）則應(yīng)該有如下關(guān)系:其中國(guó)

6、 Vf=2VVf=2V，丫=5/3=5/3（單原子理想氣體），則有TfT22忌氣體容減少了UCv,mT3R(YYf)標(biāo)準(zhǔn)文案其中 M M 為試管的質(zhì)量。考慮到MmNAE分子，并且利用(1)(1)式，將（7 7）（ 8 8）式代入 (9(9)u2 -, 3MmRT23M由此得到試管的最終運(yùn)動(dòng)速度為:23(231)mRTu u1u2廠2I( MmM)(m MmM)123M,3MmRT3.8.23.8.2標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下氦氣的粘度為i，氬氣的粘度為2，他們的摩爾質(zhì)量分別為其中 m m分子為分子的質(zhì)量，T Tf為隔板離開(kāi)試管以后氣體的溫度。一個(gè)分子對(duì)試管底撞擊產(chǎn)生2m分子V的沖量，一半分子的撞擊給以試管底的

7、總沖量為NA：3RTf1 N 2m分子v-N2m分子祐這個(gè)沖量使得試管產(chǎn)生動(dòng)量的改變，從而得到附加速度由上述各式可以解得Ui3(231) _ mRT_2(MmM)(m_MmM)（2 2）過(guò)程“ 2 2”：隔板離開(kāi)試管以后，我們把正在向下運(yùn)動(dòng)的試管作為參考系。正如上面分析的，平均來(lái)說(shuō)，可以認(rèn)為有一半的分子向試管底撞擊，這些分子的數(shù)量為N分子撞擊速率應(yīng)該是平均速率，現(xiàn)在已方均根速率代替它，有v .3MmRTf3RTfm分子標(biāo)準(zhǔn)文案比等于多少？ （ 2 2 ）氦的導(dǎo)熱系數(shù)1與氬的導(dǎo)熱系數(shù)2之比等于多少？（ 3 3）氦的擴(kuò)散系數(shù)M十D11M2所以VD22M1（4 4 ）由（1 1 ）可以得到lRTM1

8、21.021 210 m1飛31NADi與氬的擴(kuò)散系數(shù)D2之比等于多少？（ 4 4）此時(shí)測(cè)得氦氣的粘度1.87 103N和氬氣的粘度22.11 103Ns m2。用這些數(shù)據(jù)近似的估算碰撞截面【解】（1 1）因?yàn)閚m31 -v2 n，8kT則有在溫度相同情況下,（2 2）因?yàn)閙v2 km3 ”T原子和氦原子碰撞的碰撞截面1和氬原子與氬原子的碰撞截面2之比M11. M2nmvCv,mMmCV,mMm則有M2M1（3 3）應(yīng)為nmv3mn所以3.9.23.9.2在熱水瓶里灌進(jìn)質(zhì)量為m=1.00m=1.00 kgkg 的水，熱水瓶膽的表面S=700S=700 cmcm2, ,瓶膽外2標(biāo)準(zhǔn)文案/RTM2

9、22.821 210 m2、32NA標(biāo)準(zhǔn)文案容器的間隙 d=5.00d=5.00 mm,mm,間隙氣體壓強(qiáng) p=1.00p=1.00 Pa,Pa,假設(shè)熱水瓶的熱量只是通過(guò)間隙的氣體 的熱傳導(dǎo)而散失。試確定需要多少時(shí)間容器的水溫從9090C降為 8080C,取環(huán)境溫度為 2020C。【解】可以假定熱水瓶膽夾層氣體充滿及其稀薄的氣體熱傳導(dǎo)條件,積上傳遞的熱量為1 iKT (90 C 80 C) 20 C 273K326K2 2C而且有n P,Cv,m5RkT2由于在 dtdt 時(shí)間漏出的熱量是由水的溫度降低dTdT 所釋放的熱量提供的， 故JTAdt cm水dT其中c 4.18 103J kg1K

10、1為水的比熱容，將（1 1） （2 2 ） （ 3 3）代入（4 4 ）后積分有1叫6.RTMmdTT T。Ap 5R ,23.3.B.4B.4 10001000oC的加熱室中蒸發(fā)的鈹（相對(duì)原子質(zhì)量為9 9）原子束的簡(jiǎn)單示意圖。加熱室 A A 中蒸發(fā)出來(lái)的鈹原子經(jīng)小孔逸出，再經(jīng)狹縫準(zhǔn)直器B B 而形成原子束，最后進(jìn)入另一真空室 D D 中，（1 1 ）原子束將與真空室背景分子進(jìn)行碰撞，若進(jìn)行1m1m 后其原子束強(qiáng)度（單位時(shí)間通過(guò)的原子數(shù)）減少為1/e1/e。真空室溫度為 300K300K，試問(wèn)真空室壓強(qiáng)多少？設(shè)鈹原子與真空中分子的碰撞截面為1020m2， 忽略鈹原子間的碰撞。 （2 2 ） 鈹

11、原子束的平均速率是多 少？（ 3 3）鈹原子進(jìn)行 1m1m 所需平均時(shí)間是多少？（4 4）估計(jì)鈹原子束撞擊容器壁所產(chǎn)生的單位時(shí)間在單位面1 -n v(T6To)CV,mNA(1)(1)根式的 TT為降溫過(guò)程中夾層氣體的平均溫度(2)(2)(3)(3)(4(4)dt04h其中v標(biāo)準(zhǔn)文案壓強(qiáng)（設(shè)鈹原子束穿出狹縫時(shí)粒子數(shù)密度為）1010cm3，因真空室室溫較低，所有撞擊在容器壁上的鈹原子均沉積在器壁上），將這一壓強(qiáng)與真空室中氣體壓強(qiáng)進(jìn)行比較。標(biāo)準(zhǔn)文案【分析】這是泄流問(wèn)題（它和氣體分子碰壁數(shù)屬于同一類問(wèn)題），也是一個(gè)和分子束分布、自由程、氣體壓強(qiáng)等基本概念有關(guān)的綜合性問(wèn)題?！窘狻浚? 1 ）按照自由程

12、分布，自由程分布在xx dx的概率為dN1xP(x)dx= exp()dx(1 1)N0由題中可知原子束的自由程出現(xiàn)在1m間的概率為 1/e,1/e,即1xP(x)dx -(2 2)x0e由（1 1）（ 2 2）可以求出鈹原子束與真空室空氣碰撞的平均自由程為1m為了求出真空室壓強(qiáng)，利用平均自由程公式- kT2 pkTi由此得到p - 2.93 101Pa42（2 2）鈹原子束的平均速率可以由分子束的平均速率公式求得9 3.14 1.38 10231273-27m s8 9 1.67 102000 m s（3 3）鈹原子進(jìn)行 1m1m 所需平均時(shí)間t仝5 104s v束（4）鈹原子束剛進(jìn)入真空容

13、器時(shí)，單位時(shí)間透過(guò)單位截面積的平均分子數(shù)為(3)(3)nv束V束標(biāo)準(zhǔn)文案其中 n n。為該截面處鈹原子束的粒子數(shù)密度，則碰到單位面積器壁上的鈹原子數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)文案因?yàn)閺?10001000 高溫容器中出來(lái)的鈹原子束是與300K300K 真空容器壁相碰撞，兩者溫度相差非常大，可假設(shè)原子束與器壁完全非彈性碰撞，撞擊粒子全部粘附在器壁上，每個(gè)分子產(chǎn)生的動(dòng)量改變mv束，所有這些分子撞擊容器壁所產(chǎn)生的壓強(qiáng)為1 - p束-noV束mv束en09 kT18e2.3 104Pa4.4.B.1B.1聲波可在氣體管中形成駐波?，F(xiàn)用1000Hz1000Hz 的聲波在碘蒸氣管中做實(shí)驗(yàn)，在溫度為 400K400K 時(shí)，測(cè)得管

14、形成的駐波的相鄰波節(jié)間距為6.77cm6.77cm。試問(wèn)：（1 1 ）聲波的波速是多少？ （ 2 2）管碘蒸氣分子是單原子分子還是雙原子分子？為什么？已知碘的相對(duì)原子質(zhì)量為1127127，聲波在氣體中的傳播速度滿足V V -關(guān)系，其中為氣體密度，s為氣體的絕V s1 V熱壓縮系數(shù)s（）sV P下標(biāo)S S”表示絕熱過(guò)程?！痉治觥侩m然本題沒(méi)有指出碘蒸氣是什么氣體，但是可以假定它是理想氣體，否則無(wú)法解題。這是一個(gè)有關(guān)絕熱過(guò)程、能量均分定理波動(dòng)中的駐波的復(fù)合題。應(yīng)該明確，聲波在 氣體中的傳播是滿足絕熱條件的，所以要利用絕熱壓縮系數(shù)來(lái)著手解題?！窘狻拷^熱過(guò)程方程為pV C1兩邊微分得到V dp V dV

15、 0兩邊同時(shí)除以V dV，并且考慮到這是一個(gè)絕熱過(guò)程，一下彪“s s”表示標(biāo)準(zhǔn)文案-)spV標(biāo)準(zhǔn)文案5.3.75.3.7絕熱壁包圍的汽缸被以絕熱活塞分割成A A、B B 兩室?；钊谄卓蔁o(wú)摩擦的自由滑動(dòng)。A,BA,B 各有 1mol1mol 的雙原子理想氣體。初始時(shí)氣體處于平衡態(tài)，它們的壓強(qiáng)、體積、溫 度分別為p p0,V,V,T,T0.A A 室中有一電加熱器使之徐徐加熱，知道 A A 室中壓強(qiáng)變?yōu)?2p2p0，試問(wèn)：（1 1）最后 A,BA,B 兩室氣體溫度分別為多少？ （2 2 ）在加熱過(guò)程中，A A 室氣體對(duì) B B 室做了多少功？（3 3 ）加熱器傳給 A A 室氣體多少熱量？ （

16、 4 4） A,BA,B 兩室的總熵變是多少？【分析】這是熱力學(xué)第一定律和熱力學(xué)第二定律相結(jié)合的題目，在通常的熱力學(xué)第一定由本題對(duì)絕熱壓縮系數(shù)的定義知(1)(1)由理想氣體物態(tài)方程pV nRT以及對(duì)密度的定義知道pMmRF(2)(2)代入聲速公式v得到J s所以MmV2RT(4(4)我們知道駐波兩相鄰波節(jié)之間的距離為/2，所以聲波的波長(zhǎng)為現(xiàn)在聲波的頻率為2 6.77cm 13.54cm(5(5)1000Hz，則聲速為1135.4m s(6(6)先假定碘蒸氣為單原子分子氣體,即Mm0.127kg1mol，又有 T=400KT=400K，將（6 6），起代入（4 4 ）得0.70這和單原子分子的5

17、/3相差較大。再假定碘蒸氣為雙原子分子氣體,Mm2 0.127kg1mol，得1.40它和能量均分定理得到的結(jié)果符合得很好。說(shuō)明碘蒸氣是雙原子分子氣體。標(biāo)準(zhǔn)文案A A 室氣體和 B B 室氣體都是 1mol1mol)W UB5R(1.22T。To)20.55 RTO(3(3)加熱器傳給 A A 的熱量等于 A A 室氣體和 B B 室氣體能增量的和QUAUBCvm(2.78TOTO)0.55RTO律習(xí)題中在附加求熵變，注意汽缸和活塞都是絕熱的。A A 對(duì) B B 的影響是通過(guò)活塞的做功來(lái)實(shí)現(xiàn)的，而 A,BA,B 的壓強(qiáng)始終相等。 A,BA,B 的總體積不變?！窘狻?1 1)B B 經(jīng)歷的是準(zhǔn)靜

18、態(tài)絕熱過(guò)程。設(shè)B B 的末態(tài)溫度和體積分別為TB，VB;A A 的末態(tài)溫度和體積分別為TA,VA，雙原子理想氣體的7/3，則應(yīng)該有(2po)1TB1PoTO所以 B B 室的氣體溫度為TB227TO227TO1.22To另外，POVO2 pOVB,可以得到5VB 27TOO.61VoVA2VOVB2Voo.61V。1.39Vo對(duì) A A 利用理想氣體物態(tài)方程，得到A A 室氣體溫度為2 p0VATTAOVTTO1.39T02.78T。(2(2)汽缸和活塞都是絕熱的,A A 室對(duì) B B 室氣體做的功等于 B B 室氣體能的增加(注意CVm(TBTo)標(biāo)準(zhǔn)文案5RTO標(biāo)準(zhǔn)文案（4 4 ）按照理想氣體熵變公式，可以知道SBCpmln Rln壘2.8 103R,ToPo36.4.36.4.3一封閉絕熱容器的體積為V 6.0 10 m2，其中水的溫度為T,393K5相應(yīng)的飽和蒸氣壓為p,1.96 10 Pa。如在其中噴入 1010C的水，則水的溫度將降低為T2=373KT2=373K，