2018中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 勾股定理 含答案

1、勾股定理 一選擇題（共11小題）1如圖是由“趙爽弦圖”變化得到的，它由八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面積分別為S1、S2、S3若S1+S2+S3=60，則S2的值是（）A12B15C20D302以下列各組數(shù)為邊長，不能構(gòu)成直角三角形的是（）A3，4，5B9，12，15C，D0.3，0.4，0.53如圖，有四個三角形，各有一邊長為6，一邊長為8，若第三邊分別為6，8，10，12，則面積最大的三角形是ABCD4下列條件中，不能判斷ABC為直角三角形的是（）Aa=1.5 b=2 c=2.5Ba：b：c=5：12：13CA+B=CDA：B：C=3：

2、4：55如圖，一棵大樹在離地面3米處折斷，樹的頂端落在離樹干底部4米處，那么這棵樹折斷之前的高度是（）A8米B12米C5米D5或7米6如圖所示，AB=BC=CD=DE=1，ABBC，ACCD，ADDE，則AE=（）A1BCD27已知a，b，c為ABC的三邊長，且滿足a2c2b2c2=a4b4，判斷ABC的形狀（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形8如圖是由5個正方形和5個等腰直角三角形組成的圖形，已知號正方形的面積是1，那么號正方形的面積是（）A4B8C16D329直角三角形的兩邊長分別是6，8，則第三邊的長為（）A10B2C10或2D無法確定10如圖，在ABC中

3、，D、E分別是BC、AC的中點已知ACB=90°，BE=4，AD=7，則AB的長為（）A10B5C2D211長方形臺球桌ABCD上，一球從AB邊上某處P擊出，分別撞擊球桌的邊BC、DA各1次后，又回到出發(fā)點P處，每次球撞擊桌邊時，撞擊前后的路線與桌邊所成的角相等（例如圖=）若AB=3，BC=4，則此球所走路線的總長度（不計球的大?。椋ǎ〢不確定B12C11D10二填空題（共12小題）12勾股定理a2+b2=c2本身就是一個關(guān)于a，b，c的方程，滿足這個方程的正整數(shù)解（a，b，c）通常叫做勾股數(shù)組畢達(dá)哥拉斯學(xué)派提出了一個構(gòu)造勾股數(shù)組的公式，根據(jù)該公式可以構(gòu)造出如下勾股數(shù)組：（3，4，

4、5），（5，12，13），（7，24，25），分析上面勾股數(shù)組可以發(fā)現(xiàn)，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），分析上面規(guī)律，第5個勾股數(shù)組為 13如圖，在ABC中，AB=AC=6，BC=7，E是BC上的一個動點（不與點B，C重合），DEFABC，其中點A，B的對應(yīng)點分別是點D，E當(dāng)點E運動時DE邊始終經(jīng)過點A設(shè)EF與AC相交于點G，當(dāng)AEG是等腰三角形時，BE的長為 14如圖，OP=1，過P作PP1OP且PP1=1，根據(jù)勾股定理，得OP1=；再過P1作P1P2OP1且P1P2=1，得OP2=；又過P2作P2P3OP2且P2P3=1，得OP

5、3=2；依此繼續(xù)，得OP2019= ，OPn= （n為自然數(shù)，且n0）15如圖，已知點A（1，0）和點B（1，2），在y軸正半軸上確定點 P，使得ABP為直角三角形，則滿足條件的點P的坐標(biāo)為 16若一個三角形的三邊長分別為3，4，x，則使此三角形是直角三角形的x的值是 17直角三角形三邊長分別為5，12，x，則x2= 若a，b為兩個連續(xù)的正整數(shù)，且ab，則a+b= 18有一棵9米高的大樹，樹下有一個1米高的小孩，如果大樹在距地面4米處折斷（未完全折斷），則小孩至少離開大樹 米之外才是安全的19如圖，分別以直角三角形三邊向外作三個半圓，若S1=30，S2=40，則S3= 20如圖，直線l上有三個

6、正方形a，b，c，若a，c的面積分別為5和11，則b的面積為 21如圖是由4個邊長為1的正方形構(gòu)成的“田字格”只用沒有刻度的直尺在這個“田字格”中最多可以作出以格點為端點、長度為的線段 條22如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為10cm，正方形A2的邊長為6cm，正方形B的邊長為5cm，正方形C的邊長為5cm，則正方形D的面積是 cm223設(shè)x0，則三個正數(shù)2x，3x，x+5，構(gòu)成三角形三邊的條件是 ；構(gòu)成直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形的x的取值范圍分別是 、 、 三解答題（共10小題）24如圖，有一艘貨船和一艘客船同時從港口A出發(fā)，客船每小時

7、比貨船多走5海里，客船與貨船速度的比為4：3，貨船沿東偏南10°方向航行，2小時后貨船到達(dá)B處，客船到達(dá)C處，若此時兩船相距50海里（1）求兩船的速度分別是多少？（2）求客船航行的方向25從正面看一個底面直徑為10cm的圓柱體飲料杯子如圖所示，在它的正中間豎直插入一根吸管（吸管在杯口一端的位置固定不動），吸管露出杯子外1cm，當(dāng)吸管伸向杯壁底部時，吸管頂端剛好與杯口高度平齊求杯子的高度26先閱讀下列一段文字，在回答后面的問題已知在平面內(nèi)兩點P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其兩點間的距離公式P1P2=，同時，當(dāng)兩點所在的直線在坐標(biāo)軸或平行于坐標(biāo)軸或垂直于坐標(biāo)軸時，兩點間距離公式

8、可簡化為|x2x1|或|y2y1|（1）已知A（2，4）、B（3，8），試求A、B兩點間的距離；（2）已知A、B在平行于y軸的直線上，點A的縱坐標(biāo)為5，點B的縱坐標(biāo)為1，試求A、B兩點間的距離（3）已知一個三角形ABC其中兩個頂點坐標(biāo)為A（0，6）、B（8，0）在坐標(biāo)軸上是否存在點C，使三角形ABC中AB=AC或者AB=BC？若能請直接寫出所以符合條件的點C的坐標(biāo)；若不能，請說明理由27閱讀下面的材料，然后解答問題：我們新定義一種三角形，兩邊的平方和等于第三邊平方的2倍的三角形叫做奇異三角形理解：根據(jù)奇異三角形的定義，請你判斷：等邊三角形一定是奇異三角形嗎？ （填“是”或“不是”）若某三角形的

9、三邊長分別為1、2，則該三角形 （填“是”或“不是”）奇異三角形探究：在RtABC中，兩邊長分別是a、c，且a2=50，c2=100，則這個三角形是否是奇異三角形？請說明理由拓展：在RtABC中，C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且ba，若RtABC是奇異三角形，求a2：b2：c228如圖，在ABC中，ACB=90°，BC=15，AC=20，CD是高（1）求AB的長；（2）求ABC的面積；（3）求CD的長29閱讀下列材料，并回答問題 事實上，在任何一個直角三角形中，兩條直角邊的平方之和一定等于斜邊的平方，這個結(jié)論就是著名的勾股定理請利用這個結(jié)論，完成下面活動：（1）

10、一個直角三角形的兩條直角邊分別為6、8，那么這個直角三角形斜邊長為 （2）如圖1，ADBC 于D，AD=BD，AC=BE，AC=3，DC=1，求BD的長度（3）如圖2，點A在數(shù)軸上表示的數(shù)是 ，請用類似的方法在圖2數(shù)軸上畫出表示數(shù)的B點（保留作圖痕跡）30定義：如圖，點M、N把線段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點M、N是線段AB的勾股分割點（1）已知M、N把線段AB分割成AM、MN、NB，若AM=1.5，MN=2.5，BN=2，則點M、N是線段AB的勾股分割點嗎？請說明理由（2）已知點M、N是線段AB的勾股分割點，且AM為直角邊，若AB=24

11、，AM=6，求BN的長31如圖，將邊長為a與b、對角線長為c的長方形紙片ABCD，繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到長方形FGCE，連接AF通過用不同方法計算梯形ABEF的面積可驗證勾股定理，請你寫出驗證的過程32在ABC中，ABC=90°，D為平面內(nèi)一動點，AD=a，AC=b，其中a，b為常數(shù)，且ab將ABD沿射線BC方向平移，得到FCE，點A、B、D的對應(yīng)點分別為點F、C、E連接BE（1）如圖1，若D在ABC內(nèi)部，請在圖1中畫出FCE；（2）在（1）的條件下，若ADBE，求BE的長（用含a，b的式子表示）；（3）若BAC=，當(dāng)線段BE的長度最大時，則BAD的大小為 ；當(dāng)線段BE

12、的長度最小時，則BAD的大小為 （用含的式子表示）33如圖，四邊形ABCD中，ABC=135°，BCD=120°，AB=，BC=5，CD=6，求AD答案一選擇題（共11小題）1如圖是由“趙爽弦圖”變化得到的，它由八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面積分別為S1、S2、S3若S1+S2+S3=60，則S2的值是（）A12B15C20D30【分析】設(shè)每個小直角三角形的面積為m，則S1=4m+S2，S3=S24m，依據(jù)S1+S2+S3=60，可得4m+S2+S2+S24m=60，進(jìn)而得出S2的值【解答】解：設(shè)每個小直角三角形的面積

13、為m，則S1=4m+S2，S3=S24m，因為S1+S2+S3=60，所以4m+S2+S2+S24m=60，即3S2=60，解得S2=20故選：C【點評】此題主要考查了勾股定理和正方形、全等三角形的性質(zhì)的運用，證明勾股定理時，用幾個全等的直角三角形拼成一個規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個小圖形的面積和化簡整理得到勾股定理2以下列各組數(shù)為邊長，不能構(gòu)成直角三角形的是（）A3，4，5B9，12，15C，D0.3，0.4，0.5【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，一個三角形的三邊滿足兩個較小邊的平方和等于較大邊的平方，這個三角形就是直角三角形【解答】解：A、因為32+42=52，故能構(gòu)成直角三角形

14、，此選項錯誤；B、因為92+122=152，能構(gòu)成直角三角形，此選項錯誤；C、因為（）2+（）2（）2，不能構(gòu)成直角三角形，此選項正確；D、因為0.32+0.42=0.52，能構(gòu)成直角三角形，此選項錯誤故選：C【點評】本題考查勾股定理的逆定理，關(guān)鍵知道兩個較小邊的平方和等于較大邊的平方，這個三角形就是直角三角形3如圖，有四個三角形，各有一邊長為6，一邊長為8，若第三邊分別為6，8，10，12，則面積最大的三角形是ABCD【分析】過C作CDAB于D，依據(jù)AB=6，AC=8，可得CD8，進(jìn)而得到當(dāng)CD與AC重合時，CD最長為8，此時，BAC=90°，ABC的面積最大【解答】解：如圖，過C

15、作CDAB于D，AB=6，AC=8，CD8，當(dāng)CD與AC重合時，CD最長為8，此時，BAC=90°，ABC的面積最大，BC=10，四個三角形中面積最大的三角形的三邊長分別為6，8，10，故選：C【點評】本題主要考查了三角形的面積以及勾股定理的逆定理，關(guān)鍵在于正確的表示出斜邊、直角邊的長度，熟練運用勾股定理的逆定理進(jìn)行分析4下列條件中，不能判斷ABC為直角三角形的是（）Aa=1.5 b=2 c=2.5Ba：b：c=5：12：13CA+B=CDA：B：C=3：4：5【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理以及三角形的內(nèi)角和為180度，即可判斷出三角形的形狀【解答】解：A、因為1.52+22=2.52

16、符合勾股定理的逆定理，故ABC為直角三角形；B、因為a：b：c=5：12：13，所以可設(shè)a=5x，b=12x，c=13x，則（5x）2+（12x）2=（13x）2，故ABC為直角三角形；C、因為A+B=C，A+B+C=180°，則C=90°，故ABC為直角三角形；D、因為A：B：C=3：4：5，所以設(shè)A=3x，則B=4x，C=5x，故3x+4x+5x=180°，解得x=15°，3x=15×3=45°，4x=15×4=60°，5x=15×5=75°，故此三角形是銳角三角形故選：D【點評】此題考查了

17、解直角三角形的判定，根據(jù)勾股定理的逆定理、三角形的內(nèi)角和定理結(jié)合解方程是解題的關(guān)鍵5如圖，一棵大樹在離地面3米處折斷，樹的頂端落在離樹干底部4米處，那么這棵樹折斷之前的高度是（）A8米B12米C5米D5或7米【分析】由題意得，在直角三角形中，知道了兩直角邊，運用勾股定理即可求出斜邊，從而得出這棵樹折斷之前的高度【解答】解：一棵垂直于地面的大樹在離地面3米處折斷，樹的頂端落在離樹桿底部4米處，折斷的部分長為 =5，折斷前高度為5+3=8（米）故選：A【點評】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生對勾股定理在實際生活中的運用能力6如圖所示，AB=BC=CD=DE=1，ABBC，ACCD，ADDE，

18、則AE=（）A1BCD2【分析】根據(jù)勾股定理進(jìn)行逐一計算即可【解答】解：AB=BC=CD=DE=1，ABBC，ACCD，ADDE，AC=；AD=；AE=2故選：D【點評】本題考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方7已知a，b，c為ABC的三邊長，且滿足a2c2b2c2=a4b4，判斷ABC的形狀（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形【分析】首先把等式的左右兩邊分解因式，再考慮等式成立的條件，從而判斷ABC的形狀【解答】解：由a2c2b2c2=a4b4，得a4+b2c2a2c2b4=（a4b4）+（b2c2a2c2）=（a

19、2+b2）（a2b2）c2（a2b2）=（a2b2）（a2+b2c2）=（a+b）（ab）（a2+b2c2）=0，a+b0，ab=0或a2+b2c2=0，即a=b或a2+b2=c2，則ABC為等腰三角形或直角三角形故選：D【點評】本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用、分類討論判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可8如圖是由5個正方形和5個等腰直角三角形組成的圖形，已知號正方形的面積是1，那么號正方形的面積是（）A4B8C16D32【分析】等腰直角三角形中，直角邊長和斜邊長的比值為1：，正方形面積為邊長的平方；所以要求號正方形的面積，求出號正方形的邊長即可

20、【解答】解：要求號正方形的面積，求號正方形的邊長即可，題目中給出號正方形的面積為1，即號正方形的邊長為1，根據(jù)勾股定理4號正方形的邊長為=，以此類推，可以求得號正方形邊長為4，所以號正方形面積為4×4=16故選：C【點評】本題考查的是在等腰直角三角形中勾股定理的運用，已知直角邊求斜邊邊長，解本題的關(guān)鍵是正確的運用勾股定理9直角三角形的兩邊長分別是6，8，則第三邊的長為（）A10B2C10或2D無法確定【分析】本題已知直角三角形的兩邊長，但未明確這兩條邊是直角邊還是斜邊，因此兩條邊中的較長邊既可以是直角邊，也可以是斜邊，所以求第三邊的長必須分類討論，即較長是斜邊或直角邊的兩種情況，然后

21、利用勾股定理求解【解答】解：長為8的邊可能為直角邊，也可能為斜邊當(dāng)8為直角邊時，根據(jù)勾股定理，第三邊的長=10；當(dāng)8為斜邊時，根據(jù)勾股定理，第三邊的長=2故選：C【點評】此題易忽視的地方：長為8的邊可能為直角邊，也可能為斜邊10如圖，在ABC中，D、E分別是BC、AC的中點已知ACB=90°，BE=4，AD=7，則AB的長為（）A10B5C2D2【分析】設(shè)EC=x，DC=y，則直角BCE中，x2+4y2=BE2=16，在直角ADC中，4x2+y2=AD2=49，解方程組可求得x、y，在直角ABC中，AB=【解答】解：設(shè)EC=x，DC=y，ACB=90°，在直角BCE中，CE

22、2+BC2=x2+4y2=BE2=16在直角ADC中，AC2+CD2=4x2+y2=AD2=49，解得x=，y=1在直角ABC中，AB=2，故選：C【點評】本題考查了勾股定理的靈活運用，考查了中點的定義，本題中根據(jù)直角BCE和直角ADC求DCBC的長度是解題的關(guān)鍵11長方形臺球桌ABCD上，一球從AB邊上某處P擊出，分別撞擊球桌的邊BC、DA各1次后，又回到出發(fā)點P處，每次球撞擊桌邊時，撞擊前后的路線與桌邊所成的角相等（例如圖=）若AB=3，BC=4，則此球所走路線的總長度（不計球的大小）為（）A不確定B12C11D10【分析】要求球走過的總長度，就要求PQ+QR，根據(jù)計算得PQ+QR=BD=

23、AC根據(jù)此關(guān)系式可以解題【解答】解：令PQAC，則QRBD，撞擊前后的路線與桌邊所成的角相等圖中所有三角形均相似；+=1，即PQ+QR=AC=BD，同理PS+SR=AC=BD，PQ+QR+RS+SP=AC+BD=2ACAC=5，PQ+QR+RS+SP=AC+BD=2AC=10故選：D【點評】本題考查了直角三角形中勾股定理的運用，考查了相似三角形對應(yīng)邊比例相等的性質(zhì)，本題中令PQAC是解題的關(guān)鍵二填空題（共12小題）12勾股定理a2+b2=c2本身就是一個關(guān)于a，b，c的方程，滿足這個方程的正整數(shù)解（a，b，c）通常叫做勾股數(shù)組畢達(dá)哥拉斯學(xué)派提出了一個構(gòu)造勾股數(shù)組的公式，根據(jù)該公式可以構(gòu)造出如下

24、勾股數(shù)組：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），分析上面勾股數(shù)組可以發(fā)現(xiàn)，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），分析上面規(guī)律，第5個勾股數(shù)組為（11，60，61）【分析】由勾股數(shù)組：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）中，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），可得第5組勾股數(shù)中間的數(shù)為：5×（11+1）=60，進(jìn)而得出（11，60，61）【解答】解：由勾股數(shù)組：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）中，4=1×（

25、3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），可得第4組勾股數(shù)中間的數(shù)為4×（9+1）=40，即勾股數(shù)為（9，40，41）；第5組勾股數(shù)中間的數(shù)為：5×（11+1）=60，即（11，60，61），故答案為：（11，60，61）【點評】本題主要考查了勾股定理的逆定理，關(guān)鍵是找出數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，掌握勾股定理逆定理13如圖，在ABC中，AB=AC=6，BC=7，E是BC上的一個動點（不與點B，C重合），DEFABC，其中點A，B的對應(yīng)點分別是點D，E當(dāng)點E運動時DE邊始終經(jīng)過點A設(shè)EF與AC相交于點G，當(dāng)AEG是等腰三角形時，BE的長為1或【分析】首先

26、由AEF=B=C，且AGEC，可得AEAG，然后分別從AE=EG與AG=EG去分析，注意利用全等三角形與相似三角形的性質(zhì)求解即可求得答案【解答】解：AEF=B=C，且AGEC，AGEAEF，AEAG；當(dāng)AE=EG時，則ABEECG，CE=AB=6，BE=BCEC=76=1，當(dāng)AG=EG時，則GAE=GEA，GAE+BAE=GEA+CEG，即CAB=CEA，又C=C，CAECBA，CE=，BE=7=；BE=1或故答案為：1或【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵14如圖，OP=1，過P作PP1OP且PP1=1，根據(jù)勾股定理

27、，得OP1=；再過P1作P1P2OP1且P1P2=1，得OP2=；又過P2作P2P3OP2且P2P3=1，得OP3=2；依此繼續(xù)，得OP2019=，OPn=（n為自然數(shù)，且n0）【分析】根據(jù)題意找出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答【解答】解：由題意得，OP1=；OP2=；OP3=，則OP2019=，OPn=，故答案為：；【點評】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c215如圖，已知點A（1，0）和點B（1，2），在y軸正半軸上確定點 P，使得ABP為直角三角形，則滿足條件的點P的坐標(biāo)為（0，3）或（0，1+）【分析】分兩種情況進(jìn)行討論，過B作BPAB，

28、交y軸于P，過B作BDCP于D，則ABP=90°，BD=1，依據(jù)BCP是等腰直角三角形，即可得到點P的坐標(biāo)；當(dāng)APB=90°時，ABP是直角三角形，依據(jù)C為AB的中點，AB=2，即可得到點P的坐標(biāo)【解答】解：如圖，過B作BPAB，交y軸于P，過B作BDCP于D，則ABP=90°，BD=1，點A（1，0）和點B（1，2），直線AB的表達(dá)式為y=x+1，令x=0，則y=1，C（0，1），即OC=1=OA，AOC是等腰直角三角形，ACO=45°=BCP，BCP是等腰直角三角形，CP=2BD=2，OP=1+2=3，P（0，3）；如圖，當(dāng)APB=90°時

29、，ABP是直角三角形，點A（1，0），點B（1，2），點C（0，1），C為AB的中點，AB=2，CP=AB=，OP=1+，P（0，1+），綜上所述，點P的坐標(biāo)為（0，3）或（0，1+）故答案為：（0，3）或（0，1+）【點評】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)和直角三角形的判定要把所有的情況都考慮進(jìn)去，不要漏掉某種情況16若一個三角形的三邊長分別為3，4，x，則使此三角形是直角三角形的x的值是5或【分析】本題已知直角三角形的兩邊長，但未明確這兩條邊是直角邊還是斜邊，因此兩條邊中的較長邊4既可以是直角邊，也可以是斜邊，所以求第三邊的長必須分類討論，即4是斜邊或直角邊的兩種情況，然后利用勾股定理求解【

30、解答】解：設(shè)第三邊為x（1）若4是直角邊，則第三邊x是斜邊，由勾股定理，得32+42=x2，所以x=5；（2）若4是斜邊，則第三邊x為直角邊，由勾股定理，得32+x2=42，所以x=；所以第三邊的長為5或【點評】本題考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，當(dāng)已知條件中沒有明確哪是斜邊時，要注意討論，一些學(xué)生往往忽略這一點，造成丟解17直角三角形三邊長分別為5，12，x，則x2=169或119若a，b為兩個連續(xù)的正整數(shù)，且ab，則a+b=9【分析】分12為直角邊和12為斜邊兩種情況，根據(jù)勾股定理計算；根據(jù)無理數(shù)的估算方法、算術(shù)平方根的概念解答【解答】解：當(dāng)12為直角邊時，x2=52+122=169

31、，當(dāng)12為斜邊時，x2=12252=119；162025，45，a=4，b=5，a+b=9，故答案為：169或119；9【點評】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c218有一棵9米高的大樹，樹下有一個1米高的小孩，如果大樹在距地面4米處折斷（未完全折斷），則小孩至少離開大樹4米之外才是安全的【分析】根據(jù)題意構(gòu)建直角三角形ABC，利用勾股定理解答【解答】解：如圖，BC即為大樹折斷處4m減去小孩的高1m，則BC=41=3m，AB=94=5m，在RtABC中，AC=4【點評】此題考查直角三角形的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用，要根據(jù)題意畫出圖形即可解答

32、19如圖，分別以直角三角形三邊向外作三個半圓，若S1=30，S2=40，則S3=70【分析】根據(jù)勾股定理以及圓面積公式，可以證明：S1+S2=S3故S3=70【解答】解：設(shè)直角三角形三邊分別為a、b、c，如圖所示：則S1=（）2=，S2=（）2=，S3=（）2=因為a2+b2=c2，所以+=即S1+S2=S3所以S3=70【點評】注意發(fā)現(xiàn)此圖中的結(jié)論：S1+S2=S320如圖，直線l上有三個正方形a，b，c，若a，c的面積分別為5和11，則b的面積為16【分析】根據(jù)已知及全等三角形的判定可得到ABCCDE，從而得到b的面積=a的面積+c的面積【解答】解：ACB+ECD=90°，DEC

33、+ECD=90°ACB=DECABC=CDE，AC=CE，在ABC和CDE中，ABCCDE（AAS），BC=DE（如上圖），根據(jù)勾股定理的幾何意義，b的面積=a的面積+c的面積b的面積=a的面積+c的面積=5+11=16【點評】本題考查了對勾股定理幾何意義的理解能力，根據(jù)三角形全等找出相等的量是解答此題的關(guān)鍵21如圖是由4個邊長為1的正方形構(gòu)成的“田字格”只用沒有刻度的直尺在這個“田字格”中最多可以作出以格點為端點、長度為的線段8條【分析】如圖，由于每個小正方形的邊長為1，那么根據(jù)勾股定理容易得到長度為的線段，然后可以找出所有這樣的線段【解答】解：如圖，所有長度為的線段全部畫出，共有

34、8條【點評】此題是一個探究試題，首先探究如何找到長度為的線段，然后利用這個規(guī)律找出所有這樣的線段22如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為10cm，正方形A2的邊長為6cm，正方形B的邊長為5cm，正方形C的邊長為5cm，則正方形D的面積是14cm2【分析】根據(jù)勾股定理的幾何意義可直接解答【解答】解：根據(jù)正方形的面積公式結(jié)合勾股定理，得正方形A2，B，C，D的面積和等于最大的正方形的面積，所以正方形D的面積=100362525=14cm2【點評】此題注意根據(jù)正方形的面積公式以及勾股定理得到圖中正方形的面積之間的關(guān)系：以直角三角形的兩條直角邊為邊長的兩

35、個正方形的面積和等于以斜邊為邊長的面積23設(shè)x0，則三個正數(shù)2x，3x，x+5，構(gòu)成三角形三邊的條件是；構(gòu)成直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形的x的取值范圍分別是x=或x=、x、x或x【分析】根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，根據(jù)三邊表達(dá)式列不等式求解；直角三角形兩直角邊平方和等于第三邊平方，銳角三角形兩邊平方和大于第三邊平方，鈍角三角形兩邊平方和小于鈍角所對應(yīng)的邊的平方【解答】解：構(gòu)成三角形則要滿足2x+3xx+5，即4x5，則x，即可；當(dāng)三角形為直角三角形時，若x+53x，即x（2x）2+（3x）2=（x+5）2解得x=，若3xx+5，即x（2x）2+（x+5）2=（3x）2解得x=當(dāng)構(gòu)成銳角

36、三角形時，即（2x）2+（3x）2（x+5）212x210x250解得x（2x）2+（x+5）2（3x）24x2+10x+250x綜上，構(gòu)成銳角三角形的x的取值范圍是：x；當(dāng)構(gòu)成鈍角三角形時，若x+53x，即x（2x）2+（3x）2（x+5）2解得x，若3xx+5，即x（2x）2+（x+5）2（3x）2解得x綜上，構(gòu)成鈍角三角形的x的取值范圍是：x或x；故答案為 x，x=或x=，x；x或x，【點評】本題考查了三角形成構(gòu)成條件，考查了直角三角形中勾股定理的運用，本題中確定以x+5為第三邊是解本題的關(guān)鍵三解答題（共10小題）24如圖，有一艘貨船和一艘客船同時從港口A出發(fā)，客船每小時比貨船多走5海里

37、，客船與貨船速度的比為4：3，貨船沿東偏南10°方向航行，2小時后貨船到達(dá)B處，客船到達(dá)C處，若此時兩船相距50海里（1）求兩船的速度分別是多少？（2）求客船航行的方向【分析】（1）設(shè)兩船的速度分別是4x海里/小時和3x海里/小時，依據(jù)客船每小時比貨船多走5海里，列方程求解即可；（2）依據(jù)AB2+AC2=BC2，可得ABC是直角三角形，且BAC=90°，再根據(jù)貨船沿東偏南10°方向航行，即可得到客船航行的方向為北偏東10°方向【解答】解：（1）設(shè)兩船的速度分別是4x海里/小時和3x海里/小時，依題意得4x3x=5解得x=5，4x=20，3x=15，兩船的

38、速度分別是20海里/小時和15海里/小時；（2）由題可得，AB=15×2=30，AC=20×2=40，BC=50，AB2+AC2=BC2，ABC是直角三角形，且BAC=90°，又貨船沿東偏南10°方向航行，客船航行的方向為北偏東10°方向【點評】此題主要考查了方向角以及勾股定理的應(yīng)用，正確得出AB的長是解題關(guān)鍵25從正面看一個底面直徑為10cm的圓柱體飲料杯子如圖所示，在它的正中間豎直插入一根吸管（吸管在杯口一端的位置固定不動），吸管露出杯子外1cm，當(dāng)吸管伸向杯壁底部時，吸管頂端剛好與杯口高度平齊求杯子的高度【分析】設(shè)杯子的高度為xcm，則吸

39、管的長度為（x+1）cm，根據(jù)勾股定理可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論【解答】解：設(shè)杯子的高度為xcm，則吸管的長度為（x+1）cm，根據(jù)題意得：（x+1）2=52+x2，解得：x=12答：杯子的高度為12cm【點評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用以及解一元一次方程，在應(yīng)用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結(jié)合是解決實際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖26先閱讀下列一段文字，在回答后面的問題已知在平面內(nèi)兩點P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其兩點間的距離公式P1P2=，同時，當(dāng)兩點所在的直線在坐標(biāo)軸或平行于坐標(biāo)軸或垂直于坐標(biāo)軸時，兩點間距

40、離公式可簡化為|x2x1|或|y2y1|（1）已知A（2，4）、B（3，8），試求A、B兩點間的距離；（2）已知A、B在平行于y軸的直線上，點A的縱坐標(biāo)為5，點B的縱坐標(biāo)為1，試求A、B兩點間的距離（3）已知一個三角形ABC其中兩個頂點坐標(biāo)為A（0，6）、B（8，0）在坐標(biāo)軸上是否存在點C，使三角形ABC中AB=AC或者AB=BC？若能請直接寫出所以符合條件的點C的坐標(biāo)；若不能，請說明理由【分析】（1）根據(jù)兩點的距離公式計算即可；（2）對于平行于坐標(biāo)軸的兩點距離公式可利用|y2y1|代入計算；（3）分別以A、B為圓心，以10為半徑畫圓與坐標(biāo)軸的交點就是C點【解答】解：（1）A（2，4）、B（3

41、，8），AB=13（4分）答：A、B兩點間的距離是13（2）ABy軸，AB=5（1）=6，答：A、B兩點間的距離是6（8分）（3）如圖所示：AB=AC時，符合條件的點C的坐標(biāo)為（8，0）、（0，4）、（0，16）；AB=BC時，符合條件的點C的坐標(biāo)為：（0，6）、（2，0）、（18，0）（12分）綜上所述，符合條件的點C的坐標(biāo)為：（2，0）、（8，0）（18，0）、（0，4）、（0，16）、（0，6）【點評】本題考查了等腰三角形的判定、平面上兩點的距離公式的理解與應(yīng)用，認(rèn)真閱讀材料，理解兩點間的距離公式，注意當(dāng)兩點所在的直線在坐標(biāo)軸或平行于坐標(biāo)軸或垂直于坐標(biāo)軸時，兩點間距離公式可簡化為|x2x

42、1|或|y2y1|27閱讀下面的材料，然后解答問題：我們新定義一種三角形，兩邊的平方和等于第三邊平方的2倍的三角形叫做奇異三角形理解：根據(jù)奇異三角形的定義，請你判斷：等邊三角形一定是奇異三角形嗎？是（填“是”或“不是”）若某三角形的三邊長分別為1、2，則該三角形是（填“是”或“不是”）奇異三角形探究：在RtABC中，兩邊長分別是a、c，且a2=50，c2=100，則這個三角形是否是奇異三角形？請說明理由拓展：在RtABC中，C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且ba，若RtABC是奇異三角形，求a2：b2：c2【分析】理解：根據(jù)題中所給的奇異三角形的定義、等邊三角形的性質(zhì)判斷；

43、根據(jù)奇異三角形的定義判斷；探究：分c為斜邊、b為斜邊兩種情況，根據(jù)勾股定理、奇異三角形的定義判斷；拓展：根據(jù)根據(jù)勾股定理、奇異三角形的定義計算即可【解答】解：設(shè)等邊三角形的邊長為a，a2+a2=2a2，等邊三角形一定是奇異三角形，故答案為：是；12+（）2=2×22，該三角形是奇異三角形，故答案為：是；探究：當(dāng)c為斜邊時，b2=c2a2=50，RtABC不是奇異三角形；當(dāng)b為斜邊時，b2=c2+a2=150，50+150=2×100，RtABC是奇異三角形；a2+b2=2c2RtABC是奇異三角形拓展：RtABC中，C=90°，a2+b2=c2，cba，2c2b2

44、+a2，2a2b2+c2，RtABC是奇異三角形，2b2=a2+c2，2b2=a2+a2+b2，b2=2a2，a2+b2=c2，c2=3a2，a2：b2：c2=1：2：3【點評】本題考查了奇異三角形的定義、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理，在解答（2）時要注意分類討論28如圖，在ABC中，ACB=90°，BC=15，AC=20，CD是高（1）求AB的長；（2）求ABC的面積；（3）求CD的長【分析】（1）根據(jù)勾股定理計算；（2）根據(jù)三角形的面積公式計算即可；（3）根據(jù)三角形的面積公式計算【解答】解：（1）由勾股定理得，AB=25；（2）ABC的面積=&#

45、215;BC×AC=150；（3）由三角形的面積公式可得，×AB×CD=150則CD=12【點評】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c229閱讀下列材料，并回答問題 事實上，在任何一個直角三角形中，兩條直角邊的平方之和一定等于斜邊的平方，這個結(jié)論就是著名的勾股定理請利用這個結(jié)論，完成下面活動：（1）一個直角三角形的兩條直角邊分別為6、8，那么這個直角三角形斜邊長為10（2）如圖1，ADBC 于D，AD=BD，AC=BE，AC=3，DC=1，求BD的長度（3）如圖2，點A在數(shù)軸上表示的數(shù)是，請用類似的方法在圖

46、2數(shù)軸上畫出表示數(shù)的B點（保留作圖痕跡）【分析】（1）根據(jù)勾股定理計算；（2）根據(jù)勾股定理求出AD，根據(jù)題意求出BD；（3）根據(jù)勾股定理計算即可【解答】解：（1）直角三角形的兩條直角邊分別為6、8，則這個直角三角形斜邊長=10，故答案為：10；（2）在RtADC中，AD=2，BD=AD=2；（3）點A在數(shù)軸上表示的數(shù)是：=，由勾股定理得，OC=，以O(shè)為圓心、OC為半徑作弧交x軸于B，則點B即為所求，故答案為：【點評】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，掌握任何一個直角三角形中，兩條直角邊的平方之和一定等于斜邊的平方是解題的關(guān)鍵30定義：如圖，點M、N把線段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、N

47、B為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點M、N是線段AB的勾股分割點（1）已知M、N把線段AB分割成AM、MN、NB，若AM=1.5，MN=2.5，BN=2，則點M、N是線段AB的勾股分割點嗎？請說明理由（2）已知點M、N是線段AB的勾股分割點，且AM為直角邊，若AB=24，AM=6，求BN的長【分析】（1）根據(jù)勾股定理逆定理，即可判斷點M、N是線段AB的勾股分割點（2）設(shè)BN=x，則MN=12AMBN=7x，分三種情形當(dāng)AM為最大線段時，依題意AM2=MN2+BN2，當(dāng)MN為最大線段時，依題意MN2=AM2+NB2，當(dāng)BN為最大線段時，依題意BN2=AM2+MN2，分別列出方程即可解決問題【解答】解：（1）是理由：AM2+BN2=1.52+22=6.25，MN2=2.52=6.25，AM2+NB2=MN2，AM、MN、NB為邊的三角形是一個直角三角形，點M、N是線段AB的勾股分割點（2）設(shè)BN=x，則MN=24AMBN=18x，當(dāng)MN為最大線段時，依題意MN2=AM2+NB2，即（18x）2=x2+36，解得x=8；當(dāng)BN為最大線段時，依題意BN2=AM2+MN2即x2=36+（18x）2，解得x=10，綜上所