不等式的證明

1、不等式的證明教學(xué)目標(biāo)熟悉不等式的基本性質(zhì)；探索并了解基本不等式的證明過程， 掌握兩個(gè)正數(shù) 的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理； 能熟練運(yùn)用比較法、 分析法、綜合法等來 證明不等式。知識(shí)要點(diǎn)1、復(fù)習(xí)不等式的基本性質(zhì)(1)>b= bca ； beau ab>b , bAC= anc ； c<b , bca= c<a>"b= a+cAb+c ； ab, CAd= a+cb + d >b , c>0= ac>bc ； ab , ccO= acebe ；Ab >0 , c>d ;>0= ac;>bd ；Ab :>0= an

2、 Ab"；>b >0=>Vb2.基本不等式a + h（1）定理：如果a,b是非負(fù)數(shù)，那么 b > JOb2（當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)取“=”）。 定理如何證明？說明：10這個(gè)定理適用的范圍：a,b忘r+；a + b'2 0我們稱為a,b的算術(shù)平均數(shù)，稱 Jab為a,b的幾何平均數(shù)。2即:兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).>2ab.（2 ）基本不等式的常用變形 a+b >2屈,ab （罟月彳+匕2以a +b為直徑作圓，在直徑ABa + b I（3）寸ab的幾何解釋：（如圖1）2上取一點(diǎn) C , 過C作弦DD 丄AB ,則 CD2 = C

3、A CB = ab，從而(圖 1) Dia +b,CD = Jab，而半徑>CD =#ab2基本不等式j(luò)ab <電上幾何意義是：“半徑不小于半弦”2（4）推廣：a+b+c 3#abc（a,b,c非負(fù)）.3ai+a2 +川+an 四aia2 川 £（n 迂 N*,ai,a2,|（|an非負(fù)）.（5） 如果拓展：a, b都是正數(shù),"2蘭屆蘭吐蘭1 +12 V 2a b例題選講：那么（當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）例1.已知a、b、m、n均為正實(shí)數(shù),求證:.m-tn s m. n . n. m+ b >a b +a b 。例 2( 1)已知 a>b:>0 ,

4、 ccdcO ,e < 0求證:a -ce>b -d1 1（2）已知 a aO， >1，求證：b a例3.設(shè)a,b為正數(shù)，試證明下列不等式。.b a /C、11J1 + a.(1) _+ _啟2,(2)a >2,(3)a + a 例4、變1：變2：ba '已知a,b,c為實(shí)數(shù)，求證： 已知a,b,c壬戌， 求證：a+b+cTab+Tbc vca.已知a,b,c亡R,a2 b2 e2 求證：一 + + >a +b +c.b c a>4,(a>2).a 22 2 2a + b +c Xab + be + ca .例5:已知a,b,c <戌，求

5、證：(a+b)(b+c)(a+c)>8abG已知 a,b,c R,a+b+c=1.求證：(1-a)(1-b)(1-c)>8abG變2：已知 a,b,c c R,a+b+c=1.十、H 111 c求證：_ + _>9.a b c變3：已知 a,b,c c R+,a+b+c=1.111求證：(-1)(-1)(-1) >8.abc例 6.(1)已知 a>0,b>0,a+b=1.z 1 "1、25求證：(a+ )(b+ ) > a b 425>-2 已知 a>O,b>O,a+b=1.1 2 1 2 求證：(a+ ) +(b+ ) a

6、b例7 .已知x、y都是正數(shù)，且X + y2，求證:一個(gè)小于2。證明：假設(shè)吐Y與匕都不小于2,即匕 > 2, m > 2XyXy.1 + y>2x , 1+x>2y , 2+x + y>2x + 2yx + y <2與已知矛盾。1 + y 1 + X與 3 中至少有一個(gè)小于2。X y* 例 8 .已知 2 蘭 X2rr2=(l+cos2a)sin2a+r (1-cos2922 +y2 蘭 4，求證：3 J2 蘭 X2 -xy + 2y2 蘭 6 + 2/2證明：設(shè)X = r cosa ,2y = r sina，貝y 2 < r <42.c2二 x

7、 -xy +2y2 2 2 2 2=r cos ar sinacosa+2r sin2=亍(3 -sin 2a - cos2a )=in（2« 中；）又 3 -72<3-72sin(2a + 王)<3 + 血43-72 <x2 -xy + 2y2 <6 + 2©2 2 2* 例 9.設(shè) a+b+c=1, a +b +c =1 且 a>b>c，求證:證明：a+b+c=1a+b=1c”a2 +b2 + 2ab =1 tc2 2c 而 a2 + b2 =1 - c2”ab =c2 -c/. a、b為方程x?-(1c)x + c2c= 0的兩實(shí)根

8、而a Ab >c，二方程有均大于c的兩不等實(shí)根設(shè) f(X)=x2 -(1 _c)x +c2 -cA >01cc <031 c則>0解得2f(c) >0*例 10.設(shè) f（X）=ax2 +bx +c，當(dāng) |x F 1 時(shí)，總有 I f（X）F 1，求證:1 f (2) F 7；證明：I f(0)Q，I f(1)Q, I f (1)戶 1a1)"1),。)'f(0)=c« f (1) = a +b +c = « f( 1) =a -b +c2b_ f(1)-f(-1)2c = f(0)f(2) =4a+2b +c=3f(1 )+f

9、(-1)-3f(0).If (2)冃3f(1)+f(1)3f(0) I 蘭 3| f(1)| + | f(1)|+3| f(0)|<7鞏固練習(xí):1.設(shè)a,b為非零實(shí)數(shù)，且a <b則下列命題成立的是(1) a2 cb2(2)2211bab < a b(3)22(4)ab a bab a一+>2，其中恒成立的是 a b3.設(shè)a>0 , bA0，則以下不等式中不恒成立的是_1 1A. (a+b)(+ )>4a b22.不等式x + 3 a3x ;B. a3 + b3 >2ab2C. a2 +b2 + 2 >2a +2bD. Ji a - b 岸 Va

10、- >Zb-ay1 y x10.已知x, y都是正數(shù)，求證:9、已知 xy :>0，求證：xy+- +- >4 xy x y(x + y)(x2 +y2)(x3 + y3)>8x3y3+ b2 >a+2b + c ；b -c2 a11 .設(shè)ab > 0，求證a -b12、若a +b +c =1，且a, b,c為非負(fù)實(shí)數(shù)，求證：石+ Jb + JC < J3.X2 +313求證： ,jx2 +214、設(shè) a,b,c R ,(1)求證：Ja2 +b2¥(a+b)；2(2)求證：Ja2 +b2 + Jb2 +c2 + Jc2 + a2 > d2(a + b + c).15 .要使 仮+ jy<kjx + y對(duì)所有正數(shù)x、y都成立，試問k的最小值 是多少？4. ja - Ja -1與J -2與J a -3的大小關(guān)系是5.若 xy>1 且