均值不等式的總結(jié)與應(yīng)用

1、1c1c2.21.若a，b R,則a2 +b222ab（2）若a，b R,則ab<a b（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取=）均值不等式總結(jié)及應(yīng)用2*2. （1）若 a，b= R ,則 a_上之 Jib （2）若 a，b= R ,則 a+b>2Vab （當(dāng)且僅當(dāng) a =b時(shí)取=）2*.2若a,b= R ,則ab <l，ab ：（當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)取=2 . 2_ 一 13.若x>0,則x+ >2 （當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取= x1.，,一 若x <0 ,則x + E 2 （當(dāng)且僅當(dāng)x = 1時(shí)取=） x111右x#0,則x+之2即x+1之2或x+1 E-2 （當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)

2、取=） xxx4.若ab>0,則a+b22 （當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)取=） b a(當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)取=若 ab#0,則 a+b 22即 W+b 殳 2或 a+bM-2 b a b a b a5.若a，”R,則(吟2222<ab-（當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)取=） 2說明：(1)當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定植時(shí)，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定植時(shí)，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大” .(2)求最值的條件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實(shí)際問題方面有廣泛的應(yīng)用應(yīng)用一：求最值例1:求下列函數(shù)的值域i(2) y

3、=x+- x2+5解：(1)y = 3x(2)當(dāng) x>0 時(shí),，值域?yàn)?lt;6 , +00）1當(dāng) x<0 時(shí)，y = x+ - x，值域?yàn)椋ㄒ?0, 2L2, +oo）【解題技巧】技巧一：湊項(xiàng)5例 已知x <-,求函數(shù)y=4x-2 +1的最大值。44x5解：因4x-5<0,所以首先要“調(diào)整”符號(hào)，又（4x-2）口71石不是常數(shù)，所以對(duì) 4x-2要進(jìn)行拆、湊項(xiàng)，"：x <5,2 5 -4x >0， y y =4x -2 +1 = - '.5 -4x+1- +3 工-2 + 3= 14 4x -5.5 - 4x一，1當(dāng)且僅當(dāng)54x=,即x=1

4、時(shí)，上式等號(hào)成立，故當(dāng) x=1時(shí)，ymax=1。5 -4x評(píng)注：本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值。技巧二：湊系數(shù)例1.當(dāng)U MM V4時(shí)，求y =x(82x)的最大值。解析：由工<4知，6-2界>口，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個(gè)式子積的形式，但其和不是定值。注意到2x+(8-2刈=8為定值，故只需將y=x(8-2x)湊上個(gè)系數(shù)即可。j = xC8-2x) = l2x- (8-2初4干+：-2勺=8當(dāng)2工=8-，即x=2時(shí)取等號(hào) 當(dāng)x = 2時(shí)，y =x(82x)的最大值為8o評(píng)注：本題無法直接運(yùn)用均值不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定

5、值，從而可利用均值不等式求最大值。變式：設(shè)0 <x <3 ,求函數(shù)y =4x(3-2x) 的最大值。23 ,解： 0 <x <2 3-2x >0 . y =4x(3 -2x) =2 2x(3 -2x) <22x+3-2x 2 _ 92 一 2當(dāng)且僅當(dāng)2x=3-2x,gPx=343 3),一，0,-時(shí)等號(hào)成立。< 2)技巧三:分離2x 7x10/例3.求y =(x > -1)的值域。x 1解析一：本題看似無法運(yùn)用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有(x+1)的項(xiàng)，再將其分離。/+7彳 + 10 (工 + 1尸+55 + 1)+4 ,“4£y

6、 =3-rq- = (x + l)+- + 5耳+ 1A + 1X + 1當(dāng) x>_,即時(shí)，y22 J(x+1)M-+5 = 9 (當(dāng)且僅當(dāng) x=1 時(shí)取“=”號(hào)J， x 1技巧四：換元解析二：本題看似無法運(yùn)用均值不等式，可先換元，令t=x + 1 ,化簡原式在分離求最值。(t _1)2 7(t 一1)+10 t2 5t 4 , 4 廣y =t 5ttt當(dāng) x > 1 ,即 t=M + 1 >。時(shí)，y 至 21tM4 +5 =9 (當(dāng) t=2 即 x=1 時(shí)取"=”號(hào)。) 評(píng)注：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開再利用不等A式求最

7、值。即化為 y=mg(x)+ + B(A>0,B>0) , g(x)恒正或恒負(fù)的形式，然后運(yùn)用均值不 g(x)等式來求最值。的單調(diào)性。技巧五：在應(yīng)用最值定理求最值時(shí)，若遇等號(hào)取不到的情況，結(jié)合函數(shù),x2 5 ,例:求函數(shù)y=x_L的值域。x2 4解：令 A=t。鉤，則 y=-r774+=t+l(t“) y .x24. x2 4 t11因t >0,t=1 ,但t =-解得t =±1不在區(qū)間l2,y ),故等號(hào)不成立，考慮單調(diào)性。 tt15因?yàn)閥=t+ ；在區(qū)間1,y)單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間 12,")為單調(diào)遞增函數(shù)，故 y >-o所以，所求函數(shù)的值域

8、為15,L121)練習(xí).求下列函數(shù)的最小值，并求取得最小值時(shí)，x的值.x 3x 11sin x,x (0，二)y =,(x >0) (2)y = 2x +,x >3 (3)y=2sinx +xx - 32.已知0 <x<1 ,求函數(shù) y = .x(1-x)的最大值.;3.0 <x <：,求函數(shù) y = Jx(23x)的最大值.條件求最值1.若實(shí)數(shù)滿足a+b = 2,則3a +3b的最小值是 .分析：“和”到“積”是一個(gè)縮小的過程，而用a 3b定值，因此考慮利用均值定理求最小值,解：3a 和3b 都是正數(shù)，3a +3、2y3a 3b = 2J3*=6當(dāng)3a =

9、3b時(shí)等號(hào)成立，由a+b = 2及3a =3b得a = b = 1即當(dāng)a = b = 1時(shí)，3a +3b的最小值是6.11變式：若log 4 x + log 4 y = 2 ,求一* 一的最小值.并求x,y的值x y技巧六：整體代換多次連用最值定理求最值時(shí)，要注意取等號(hào)的條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò)。2：已知x0，yA0,且1+9=1,求x+y的最小值。 x y二遙 x y -2；2912錯(cuò)解：x>0,y>0 ,且 1+2=i , x y(X+Y Jnin =12。錯(cuò)因：解法中兩次連用均值不等式，在x + y之2歷等號(hào)成立條件是x = y，在1+922 ;等號(hào)成x y ' x

10、y立條件是1 = 9即y =9x,取等號(hào)的條件的不一致，產(chǎn)生錯(cuò)誤。因此，在利用均值不等式處理問題x y時(shí)，列出等號(hào)成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。正解: >0, y >0,1 + =1 , /, x + y =(x + y ) + |= +9x +10 >6 +10 =16 x yx y ) x yV 9x1 94V=12當(dāng)且僅當(dāng)上=時(shí)，上式等號(hào)成立，又 一+=1,可得x 4, y 12時(shí)，(x+y)min=16。xyx y變式：(1)若x，y亡R且2x *y =1,求二十的最小值x y(2)已知a,b, x, yR且旦+b =1 ,求x + y的

11、最小值x y技巧七已知x, y為正實(shí)數(shù)，且x2 + V- =1,求xj 1 + y 2的最大值.分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式a 2 + b 2ab<2 o=2技巧八:同時(shí)還應(yīng)化簡、1+y2中y2前面的系數(shù)為y 2x2 十 一21+一 21 + y 2 = 2J2 x已知a, b為正實(shí)數(shù)，2b + ab+a = 30,求函數(shù)y=一的最小值. ab分析：這是一個(gè)二元函數(shù)的最值問題，通常有兩個(gè)途徑，一是通過消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題，再用單調(diào)性或基本不等式求解，對(duì)本題來說，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對(duì)本題來說，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求

12、出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過解不等式的途徑進(jìn)行。30 2ba =b+ 130 2b -2 b2+30b ab =b =b+1b+1由 a>0 得，0V b v 15令 t=b+1, 1<t<16, abJ31 一（t+ 16 ） +34H% M =8 ab 481y> 一當(dāng)且僅當(dāng)18t=4,即b = 3, a= 6時(shí)，等號(hào)成立。法二：由已知得： 30 -ab = a+2b,. a + 2bV2 ab30-ab令 u = ab則 u2+2 u 300, 5亞 <uo<2: ab <3/2 , ab得8, 0弓點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式 ab >

13、4ab)(a，b三R方的應(yīng)用、不等式的解法及運(yùn)算能力；如何由已2知不等式ab=a+2b+30(a，be R方出發(fā)求得ab的范圍，關(guān)鍵是尋找到 a + b與ab之間的關(guān)系，由此想到不等式 ab之廟 (a，be R力，這樣將已知條件轉(zhuǎn)換為含 ab的不等式，進(jìn)而解得 ab的 2范圍.變式：1.已知a>0, b>0, ab (a + b)=1,求a+b的最小值。2.若直角三角形周長為 1,求它的面積最大值。技巧九：取平方5、已知x, y為正實(shí)數(shù)，3x+2y=10,求函數(shù) W=<3K +<2¥的最值.a+b a 2 + b 2解法一：若利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)

14、系， v ,本題很簡單22yx +/2y 2 7 (/3 ) 2+ ( V2y ) 2 =業(yè) 3x+2y =2/5解法二：條件與結(jié)論均為和的形式，設(shè)法直接用基本不等式，應(yīng)通過平方化函數(shù)式為積的形式，再 向“和為定值”條件靠攏。)2 =10+(3x+2y)W>0, W2 = 3x+2y+2/3x <2 =10 + 23x <2 <10+ o/Zx )2 N2y=20變式：求函數(shù) y = J2x _1 +J5 2x(1 <x <1)的最大值。 22解析：注意到2x -1與5 - 2x的和為定值。y2 = ( .2x -1 ,5-2x)2 =4 2 . (2x 二

15、 1)(5 二 2x)三4 (2x-1) (5 - 2x) = 8又y>0,所以0<廠2行3故 ymax=20。當(dāng)且僅當(dāng)2x 1 = 5 2x ,即x = 3時(shí)取等號(hào)。2評(píng)注：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用均值不等式創(chuàng)造了條件。,同時(shí)還要注意一些變形技巧,總之，我們利用均值不等式求最值時(shí)，一定要注意“一正二定三相等” 積極創(chuàng)造條件利用均值不等式。應(yīng)用二：利用均值不等式證明不等式a b c2221.已知a, ,1為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證： a十b+c > ab+bc十ca1-1 1-1 -1 .8 a b c1)正數(shù) a, b, c 滿足 a+b+c=1,求證：

16、(1 a)(1 b)(1 c)全abc例 6：已知 a、b、c R +,且 a+b + c=1。求證:分析：不等式右邊數(shù)字8,使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用均值不等式可得三個(gè)“2”連乘，又1 _1=b_c _2-bc ,可由此變形入手。a a a a11 -a b c 2, bc 1. 2, ac 12, ab斛：*a、b、c匚 R , a+b+c = 1。，一 一1 =2。向理1 至,1 至。a a a a b b c c上述三個(gè)不等式兩邊均為正，分別相乘，得1112. be, 2ac 2ab1gm金口, 1 I. 1 I. 1 曰_|=8。當(dāng)且僅當(dāng) a b _ c 時(shí)取等3°a b c a b c3應(yīng)用三：均值不等式與恒成立問題例：已知x A0,y0且1十2 =1,求使不等式x + y*m恒成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍。 x y解：令 x + y=k,xA0,y>0,1+9=1,，山+9x291=1.上+如中 x ykx kyk kx ky1031二1一一 >2 -。二 k ±