九年級數(shù)學(xué)銳角三角函數(shù)學(xué)生講義

1、銳角三角函數(shù)與解直角三角形【考綱要求】1 .理解銳角三角函數(shù)的定義、性質(zhì)及應(yīng)用，特殊角三角函數(shù)值的求法，運(yùn)用銳角三角函數(shù)解決與直角三角形有關(guān)的實(shí)際問題 .題型有選擇題、填空題、解答題，多以中、低檔題出現(xiàn)；2 .命題的熱點(diǎn)為根據(jù)題中給出的信息構(gòu)建圖形，建立數(shù)學(xué)模型，然后用解直角三角形的知識解決問題.【知識網(wǎng)絡(luò)】勾股定理國相似形結(jié)合銳角三角形I與圓結(jié)合f測量問題解直角三角形坡度向施解直角三角形與四邊形結(jié)合解直角三角形航海問題方案設(shè)計(jì)問題【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、銳角三角函數(shù)的概念如圖所示，在 RtAABC中，/ C= 90° , / A所對的邊 BC記為a,叫做/ A的對邊，也叫做/ B 的鄰

2、邊，/B所對的邊 AC記為b,叫做/ B的對邊，也是/ A的鄰邊，直角C所對的邊AB記為c, 叫做斜邊.CbaA的對邊 sinA ,即A的正弦，記彳sinA ；銳角A的對邊與斜邊的比叫做/c斜邊b的鄰邊A A cos,即A的鄰邊與斜邊的比叫做/A的余弦，記作 cosA銳角；_ c斜邊aA的對邊 tanA ,即tanAA的正切，記作銳角.A的對邊與鄰邊的比叫 做/bA的鄰邊b的對邊 BaB的對邊b B的鄰邊 B Bcos sinB tan 同理；. , , a斜邊的鄰邊c Bc斜邊要點(diǎn)詮釋：正弦、余弦、正切函數(shù)是在直角三角形中定義的，反映了直角三角形邊與角的關(guān)系，是兩條線段的比值.角的度數(shù)確定時(shí)

3、，其比值不變，角的度數(shù)變化時(shí)，比值也隨之變化.1sin A cos A,tanA分別是一個(gè)完整的數(shù)學(xué)符號，是一個(gè)整體，不能寫成 （2）sinA , cosA, tan - A ，不 能理解成sin與/A, cos與/A, tan與/A的乘積.書寫時(shí)習(xí)慣上省略/A的角的記號，但對三個(gè)大寫字母表示成的角（如/ AEF）,其正切應(yīng)寫成“ tan / AEF",不能寫成“ tanAEF”；（而達(dá)> （com/y（tan工），弘不為Ices" ItH、.、常寫成另外，（3）任何一個(gè) 銳角都有相應(yīng)的銳角三角函數(shù)值，不因這個(gè)角不在某個(gè)三角形中而不存在.（4）由銳角三角函數(shù)的定義知：

4、QvmHvll,tanA >0° </ A<90°之間變化時(shí)，0. 當(dāng)角度在考點(diǎn)二、特殊角的三角函數(shù)值利用三角函數(shù)的定義，可求出0。、30。、45。、60。、90。角的各三角函數(shù)值，歸納如下：30°45°60°90°1 V3不存在要點(diǎn)詮釋：（1）通過該表可以方便地知道 0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函數(shù)值，它的另一個(gè)日二色應(yīng)"口 一 2 用就是：如果知道了一個(gè)銳角的三角函數(shù)值，就可以求出這個(gè)銳角的度數(shù)，例如：若，則銳角._由也立（2）仔細(xì)研究

5、表中數(shù)值的規(guī)律會(huì)發(fā)現(xiàn)： 90sinos0n c0 si而1的值依次為0,、營出61rl的司立4丁 cos90的值的順序正好相反，、的值依次 tan60° lcos3iM cos600I tan30° co?45°l 增大， 其變化規(guī)律可以總結(jié)為：當(dāng)角度在0° </ A< 90°之間變化時(shí)，正弦、正切值隨銳角度數(shù)的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。┯嘞抑惦S銳角度數(shù)的增大 （或減小）而減?。ɑ蛟龃螅?考點(diǎn)三、銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系如圖所示，在 RtAABC中，/ C=90° .2sin A = cos(90* - ZA) - co

6、s B cos A = sin(90* - Zj4) - sin B,；(1)互余關(guān)系：二1 1t .n 平方關(guān)系：；tan 5 血達(dá)tarnO9 - 2 二1 ；倒數(shù)關(guān)系：或 tan A =nnAcos J商數(shù)關(guān)系：.（4）要點(diǎn)詮釋:銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系式可由銳角三角函數(shù)的意義推導(dǎo)得出，常應(yīng)用在三角函數(shù)的計(jì)算中, 計(jì)算時(shí)巧用這些關(guān)系式可使運(yùn)算簡便.考點(diǎn)四、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素（直角除外）求未知元素的過程，叫做解直角三角形在直角三角形中，除直角外，一共有 5個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角.設(shè)在RtAABC中，/ C=90° , / A、/ B、/ C所對的邊分別為 a

7、、b、c,則有: 222三邊之間的關(guān)系：a+b=c（勾股定理）.銳角之間的關(guān)系：/ A+/B=90° .cqs A = tan A = sm 1二一邊角之間的關(guān)系：cbcn &. n b I b atan 3 = sin c = - ccjs 史=一acC,公 2,h為斜邊上的高.要點(diǎn)詮釋：(1)直角三角形中有一個(gè)元素為定值(直角為90。)，是已知的值.(2)這里講的直角三角形的邊角關(guān)系指的是等式，沒有包括其他關(guān)系(如不等關(guān)系).(3)對這些式子的理解和記憶要結(jié)合圖形，可以更加清楚、直觀地理解 和解法考點(diǎn)五、解直角三角形的常見類型及解法三角形美型atsn _已知條件解法步驟b

8、求/ A,由ABC/兩直角邊(a, B=90° -Z A, b)兩白二sin A =邊。由，A求/ a)c (斜邊，一直角邊,B=90 / ° / A, 3b = /bc =,B=90° /A/ 銳角、鄰邊 ss上 b)一 .|b=如/a,(以二6一tanH ，一直角邊 一 和一銳角b=90 ° a/邊 銳角、對邊卡anHaC -的力 一 a)，(如/ A ,角，B=90° -Z A/ A)如c,/斜邊、銳角(6=gcsH 1a二44說/1 ,要點(diǎn)詮釋：.在遇到解直角三角形的實(shí)際問題時(shí)，最好是先畫出一個(gè)直角三角形的草圖，按題意標(biāo)明哪些1. 元素

9、是已知的，哪些元素是未知的，然后按先確定銳角、再確定它的對邊和鄰邊的順序進(jìn)行計(jì)算“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知條件中至少有一個(gè)條2 .若題中無特殊說明，.件為邊考點(diǎn)六、解直角三角形的應(yīng)用解直角三角形的知識應(yīng)用很廣泛，關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，善于將某些實(shí)際問題中的數(shù).量關(guān)系化歸為直角三角形中的邊角關(guān)系是解決實(shí)際應(yīng)用問題的關(guān)鍵 解這類問題的一般過程是：弄清題中名詞、術(shù)語的意義，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根據(jù)題意畫 出幾何圖形，建立數(shù)學(xué)模型把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形將已知條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、 (2)角或它們之間的關(guān)系，(3)(或通過作垂線構(gòu)造直角三角形

10、得出實(shí)際問題的解(4) 拓展:的問題之間的關(guān)系解有關(guān)的直角三角角)根據(jù)直角三角形元素(邊、.形.得出數(shù)學(xué)問題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義， 用直角三角形知識解決實(shí)際問題時(shí)，經(jīng)常會(huì)用到以下概念：坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母表示 比叫做坡度，用字母表示，則 )i = = tan 口1:如圖，坡度通常寫成=的形式i,和水平距離的7 .仰角、俯角：視線與水平線所成的角中，視線中水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角，如圖4(3)方位角：從某點(diǎn)的指北方向線按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角叫做方位角，如圖中，目 標(biāo)方向PA PB, PC的方位角分別為是 40° , 135

11、76; , 245° .(4)方向角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如圖中的目標(biāo)方向線 OA OB OG OD的方向角分別表示北偏東 30° ,南偏東45° ,南偏西80° , 北偏西60° .特別如：東南方向指的是南偏東45° ,東北方向指的是北偏東45° ,西南方向指的是南偏西45。，西北方向指的是北偏西45。.要點(diǎn)詮釋：1 .解直角三角形實(shí)際是用三角知識，通過數(shù)值計(jì)算，去求出圖形中的某些邊的長或角的大小,最好畫出它的示意圖.2 .非直接解直角三角形的問題，要觀察圖形特點(diǎn)，恰

12、當(dāng)引輔助線，使其轉(zhuǎn)化為直角三角形或 矩形來解.例如：3 .解直角三角形的應(yīng)用題時(shí)，首先弄清題意(關(guān)鍵弄清其中名詞術(shù)語的意義 )，然后正確畫出示意圖，進(jìn)而根據(jù)條件選擇合適的方法求解【典型例題】類型一、銳角三角函數(shù)的概念與性質(zhì)51 . (1)如圖所示，在 ABC中，若/ C= 90° , / B=50° , AB= 10,則BC的長為10 D . sin50 ° 10 cos50° C . 10 A .10 tan50° B sin503,求° , sinAcosA+tanB 的值.=(2)如圖所示，在 ABC中，/ C= 90_ 5(3

13、)如圖所示的半圓中，AD是直徑，且 AD= 3, AC= 2,則sinB的值等于【思路點(diǎn)撥】(1)在直角三角形中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，可以用某個(gè)銳角的三角函數(shù)值和一條邊表示其他邊.(2)直角三角形中，某個(gè)內(nèi)角的三角函數(shù)值即為該三角形中兩邊之比.知道某個(gè)銳角的三角函數(shù)值就知道了該角的大小，可以用比例系數(shù)k表示各邊.(3) 要求sinB的值，可以將/ B轉(zhuǎn)化到一個(gè)直角三角形中.【總結(jié)升華】已知一個(gè)角的某個(gè)三角函數(shù)值，求同角或余角的其他三角函數(shù)值時(shí)，常用的方法是：利用定義,根據(jù)三角函數(shù)值，用比例系數(shù)表示三角形的邊長；22 (2)題求cosA時(shí)，還可以直接利用同角三角函數(shù)之間的關(guān)系式己嘗試完成.s

14、in A+cos A = 1,讀者可自舉一反三：【變式】RtAABC中，/ C=90° ,acosA bsinBasinA bsinBa、b、c分別是/ A / R /C的對邊，那么 c等于()(B)(A)abab(D)(C)tan60° tan45° sin45° sin30° ；化簡求值:sin60°cos30° cos45°1 2sinAcosA.中，/在(2)ABCC ° ,化簡=90【總結(jié)升華】2由第(2)題可得到今后常用的一個(gè)關(guān)系式：1 士 2sin a cos a =(sin a 士 cos

15、 a ).12 (t sin cos1).,則例如，若設(shè) sin a +cos a = t_ 2舉一反三:sinAsinBcosAsinB類型二、特殊角的三角函數(shù)值2.解答下列各題:)tan( sin2sin cos 的值】若，求(2a, B為銳角)，【變式一, 32BC 的長；AC , = 8,求 AB和 AACB(1)3.如圖所示，在 ABC中，/= 105° , /= 30? BC的長，如何求° , ° , / 中，/(2) 在A ABCABC= 135A= 30AC= 8AB和 12 Asin,如何求滿足A26AB=,銳角 BC的長及 ABC的面積？ 17

16、ACABC(3)在中，=, _ 13?第(1)題的條件是“兩角一夾邊” .由已知條件和三角形內(nèi)角和定理，可知/B= 45° ;過點(diǎn)C作CDLAB于D,則RtAACD可解三角形，可求出 CD的長，從而 RtACDB可解，由此得解；第 (2)題的條件是“兩角一對邊"；第(3)題的條件是“兩邊一夾角”，均可用類似的方法解決.類型三、解直角三角形及應(yīng)用4 DCBcos2：3SS :,于，上一點(diǎn)，且是.如圖所示，4DABCDACC , _ CDBAAACD57的長.18AC+CD-,求 tanA 的值和專題總結(jié)及應(yīng)用一、知識性專題：銳角三角函數(shù)的定義專題1銳角三角函數(shù)定義的考查多以選

17、擇題、填空題為主.【專題解讀】,2=1, AB = 123 所示，在 RtAABC 中，/ ACB =90° , BC 例 1 如圖 28 圖 28 - 123則下列結(jié)論正確的是31= B. tan AA. sin A = _ 22_3r= tan D. BC. cosB=323)(。，中，/ C=90cosA=，則 tan A 等于 2 例在 ABC_ 54433D. B . C.A. 3545特殊角的三角函數(shù)值2 專題 要熟記特殊角的三角函數(shù)值.【專題解讀】0«(-° - 1).例 4 計(jì)算 |3| + 2cos 4531 2007J1) + + (計(jì)算例 5

18、° . cos 609 _ 20,一 + . ° ° -+ |計(jì)算 6 例 |-(cos 60tan 30)823110.專題3銳角三角函數(shù)與相關(guān)知識的綜合運(yùn)用【專題解讀】銳角三角函數(shù)常與其他知識綜合起來運(yùn)用,-tan 60° n一3.14)| |1計(jì)算區(qū)J 7 - ( _ V 223考查綜合運(yùn)用知識解決問題的能例8 如圖28 124所示，在 ABC中，AD是BC邊上的高， E為AC4. B = AD = 12,sin邊的中點(diǎn)，BC=14, _ 5(1)求線段DC的長；(2)求 tan/ EDC 的值.28 - 125例9如圖(1)求證28 125所示，

19、在4AC = BD ;ABC 中,AD是BC邊上的高，tan Bcos/ DAC.12, BC= 12,求 C 若 sin =AD的長.(2-13例 10 如圖 28 126 所示，在 ABC 中，/ B = 45° , / C = 30° , BC = 3030,求AB的長.+ 3專題4用銳角三角函數(shù)解決實(shí)際問題【專題解讀】 加強(qiáng)數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的聯(lián)系， 提高數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識，培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力是 當(dāng)今數(shù)學(xué)改革的方向，圍繞本章內(nèi)容，縱觀近幾年各地的中考試題， 與解直角三角形有關(guān)的應(yīng)用 問題逐步成為命題的熱點(diǎn)，其主要類型有輪船定位問題、堤壩工程問題、 建筑測量問題、高度測 量問

20、題等，解決各類應(yīng)用問題時(shí)要注意把握各類圖形的特征及解法.例13 如圖28-131所示，我市某中學(xué)數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組的同學(xué)利用所學(xué)知識*4 5" KW XDE A ' B圖 28 - 131去測量沱江流經(jīng)我市某段的河寬.在距A處60米遠(yuǎn)的B處測得/小凡同學(xué)在點(diǎn) A處觀測到對岸 C點(diǎn)，測得/ CAD=45° ,又CBA =300 ,請你根據(jù)這些數(shù)據(jù)算出河寬是多少？（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）A點(diǎn)處發(fā)現(xiàn)例14如圖28 132所示，某邊防巡邏隊(duì)在一個(gè)海濱浴場岸邊的海中的B點(diǎn)有人求救，便立即派三名救生員前去營救.1號救生員從 A點(diǎn)直接跳入海中；2號救生員沿岸邊（岸邊可以看成是直線）

21、向前跑到C點(diǎn)再跳入海中；3號救生員沿岸邊向前跑 300米 到離B點(diǎn)最近的D點(diǎn)，再跳入海中，救生員在岸上跑的速度都是6米/秒，在水中游泳的速度都是2米/秒.若/ BAD =45° , / BCD =60° ,1 j ,弋參考數(shù)據(jù)（點(diǎn)出發(fā)，三名救生員 同時(shí)從A請說明誰先到達(dá)營救地點(diǎn)B . 1.432弋1.7）10例15 如圖 向的M處，在點(diǎn)28 - 133所示，某貨船以24海里/時(shí)的速度將一批重要物資從A處運(yùn)往正東方A處測得某島C在它的北偏東 60°方向上，該貨船航行30分鐘后到達(dá) B處,此時(shí)再測得該島在它的北偏東30。方向上；已知在 C島周圍9海里的區(qū)域內(nèi)有暗礁，若

22、貨船繼續(xù)向正東方向航行，該貨船有無觸礁危險(xiǎn)？試說明理由.D 圖 28 - 134例16 如圖28 134所示，某幢大樓頂部有一塊廣告牌CD,甲、乙兩人分別在相距 8米的A, B兩處測得D點(diǎn)和C點(diǎn)的仰角分別為 45°和60° ,且A, B, 7，1.73=BE15米，求這塊廣告牌的高度.，結(jié)果保留三點(diǎn)在一條直線上，若3整數(shù)）例17 如圖28- 135所示，某水庫大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬 AD =2.5m,B E F C圖 28 - 135壩高4 m,背水坡的坡度是 1:1,迎水坡的坡度是 1: 1.5,求壩底寬BC.11例18如圖28 136所示，山頂建有一座鐵塔，塔高 C

23、D = 30m,某人在點(diǎn)D圖 28 - 136CD的水平距離AB .(參考心 0.391 , cos 23° 弋 0.921 ,A處測得塔底 C的仰角為20。，塔頂D的仰角為23。，求此人距數(shù)據(jù)：sin 20° 弋 0.342, cos 20° 弋 0.940, tan 20° 弋 0.364 , sin 23 °tan 23° 弋 0.424)二、規(guī)律方法專題專題5公式法【專題解讀】本章的公式很多，熟練掌握公式是解決問題的關(guān)鍵.2 sinl ° 時(shí)，求的值. a < 90 例 19 當(dāng) 0° < cos三、思想方法專題專題6 類比思想【專題解讀】 求方程中未知數(shù)的過程叫做解方程，求直角三角形中未知元素的過程叫做解 直角三角形，因此對解直角三角形的概念的理解可類比解方程的概念.我們可以像解方程（組）一樣求直角三角形中的未知元素._ 5, b,已知 a=caB90 = ° , / A, /, / C 的對邊分別為， b, CABC Rt 例 20 在中，/215 =,解這個(gè)直角三角形.212專題7數(shù)形結(jié)合思想【專題解讀】由“數(shù)”思“形”，由“形”想“數(shù)”，兩者巧妙結(jié)合，起到互通、互譯的作用，是解決幾何問題常用的方法之一.例21 如圖28 137所示，已