北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期末備考?jí)狠S題專項(xiàng)習(xí)題：圖形的相似(含答案)

1、期末備考?jí)狠S題專項(xiàng)習(xí)題：圖形的相似DE 丄 CE .1 如圖，在四邊形 ABCD中，/ DAB =Z CBA = 90°，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),(1) 求證： AEDBCE;(2) 假設(shè)AD = 3, BC= 12,求線段 DC的長(zhǎng).(1)證明：T EC 丄 DE ,/ DEC = 90°,/ DAB = Z CBA = 90°,/ ADE+ / AED = 90。，/ AED+ / CEB= 90/ ADE = Z CEB ,AEDBCE .(2) AEDBCE ,ADEBAE:,/ AE = EB , AE2= AD?BC = 36, AE= EB = 6, DE

2、2= AD2+AE2= 32+62= 45 , EC2= BE2+BC2= 62+12：2= 180, CD =;J = 15.2. 如圖，在 ABC中，點(diǎn) D是邊AB上的一點(diǎn)，/ ADC = Z ACB .(1) 證明： ADC s ACB;(2) 假設(shè) AD = 2, BD = 6，求邊 AC 的長(zhǎng).(1) 證明：I/ A =Z A，/ ADC = Z ACB, ADCACB.(2) 解： ADCACB,翌=璧 AC2= AD?AB = 2X 8 = 16,/ AC> 0,. AC= 4.3. 如圖，在？ABCD中，F(xiàn)是AD上一點(diǎn)，且 AF = 3DF , BF與CD的延長(zhǎng)線交點(diǎn) E

3、.(1) 求證： ABF CEB;(2) 假設(shè)厶DEF的面積為1,求？ABCD的面積.解：(1)證明：四邊形 ABCD是平行四邊形,A=/ C AB/ CD,ABF = / E, ABFCEB ;(2 )在?ABCD 中，AD / BC, DEFs CEB ,又 ABFs CEB, ABFs DEF ,/ AF = 3DF , DEF 的面積為 1 ,- Sabf = 9,/ AD = BC= 4DF ,- SCBE = 16 , ?ABCD 的面積=9+15 = 24.4. 如圖，在正方形 ABCD中，E為邊AD上的點(diǎn)，點(diǎn) F在邊CD上，且CF = 3FD，/ BEF=90°(1)

4、 求證： ABEDEF ;(2) 假設(shè)AB = 4,延長(zhǎng)EF交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn) G,求BG的長(zhǎng)(1) 證明：四邊形 ABCD為正方形，./A=Z D = 90°, AB = BC= CD = AD , AD / BC,/ BEF = 90°,ABE+Z EBA =/ DEF + Z EBA = 90°,/ ABE =Z DEF , ABEDEF ;(2) 解：T AB = BC= CD = AD = 4, CF = 3FD , DF = 1, CF = 3,/ ABEDEF ,AE AB “ 4-DE 4=即='',1- rc ,解得：DE = 2

5、 ,TAD / BC, EDFGCF , DE _ DF 即 £ _ 1CG CF CG 3 - CG = 6 , BG = BC+CG = 4+6 = 10.5. ：如圖，在三角形 ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊 AB、AC上,且/ ABE = /ACD , BE、CD交于點(diǎn)G.(1)求證： ABE ACD ；(2)如果BE平分/ ABC，求證：DE = CE.B(1)證明：/ ABE = Z ACD，/ A=Z A ,ABEACD ；(2)證明：I/ ABE = Z ACD，/ BGD = Z CGE , BGD CGE ,國(guó)=綏茴-，些=魚=-，又DGE =/ BGC , DGE

6、BGC ,/ GBC=/ GDE ,/ BE 平分/ ABC ,T/ ABE =/ ACD ,/ GDE = Z ACD , DE = CE.An q6如圖，在四邊形 ABCD中，AB丄AD,=對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O, AC = 10 ,AB 4/ ABD = Z ACB，點(diǎn)E在CB延長(zhǎng)線上，且 AE= AC .(1)求證： AEBBCO；/ E=Z ACE,/ ABD = Z ACB ,/ E=Z ABD,/ EAB = 180。-/ E -Z ABE,/ OBC= 180。-/ ABE -/ ABD ,/ EAB =/ OBC ,AEBBCO ；(2)過A作AF丄BC于F，過O作OG丄B

7、C于G,/ AE / BD , Z E=Z DBC,/ EAB = / ABD ,/ ABD = / ACB , Z EAB =/ ACE ,/ OBC=Z EAB, Z OBC=Z OCB,/ tan/ ABD = tan/ACB = L =：,AB CF 4/ AC= 10, AF = 6, CF = 8,/ AE= AC,EC= 2CF = 16,/ EAB =/ ACE，/ E = / E, AEBsCEA ,.BC= EC-BE = 16-.CE= BC=",2 8/ AF 丄 BC, OG 丄 BC, OG / AF ,3),點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn) C出發(fā)在射線CO

8、上運(yùn)動(dòng)，連接BP，作BE丄PB交 x軸于點(diǎn)E，連接PE交AB于點(diǎn)F，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.(1 )當(dāng)t = 4時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(2)在運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在以P、0、E為頂點(diǎn)的三角形與 ABE相似假設(shè)存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由."q_a?解：(1)當(dāng) t= 4 時(shí)，PC = 4,過點(diǎn)E作CB的垂線，垂足為H，如圖1所示：A (2, 0), C (0, 3), OA= 2, OC = 3,四邊形OABC是矩形， . AB= OC = 3, BC= OA= 2,/ BPC+ / PBC = 90°,/ PBC+ / EBH = 90°,/ BPC=/

9、 EBH ,/ EHB = / BCP = 90°, PBCs BEH ,塑=1H 即 BH=3:=:,:=:,解得：BH = 6 ,AE= BH = 6 , OE= OA+AE = 2+6= 8 ,點(diǎn)E的坐標(biāo)是(8 , 0);(2)存在，理由如下：/ ABE+/ ABP = 90° ,/ PBC+ / ABP = 90° ,/ BAE =Z BCP = 90°, AE_t當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)O上方時(shí)，如圖2所示:假設(shè) ='時(shí)， POEs EAB ,AE AB2/ OP= 3-t, OE= 2+ t,23解得：-,t2舍去， OP= 3I：； J33

10、9; P的坐標(biāo)為0, P ,3當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)O下方時(shí)，如圖3所示:假設(shè) ='假設(shè)L，t-3 2謬 t那么厶 OPEs ABE,=一解得：ti = 3+芒 j、二，t2= 3-7打二舍去，OP= t - 3= 3+-，：:： j、.2 - 3 = 二p的坐標(biāo)為0,-,那么厶 OEPs ABE,整理得:這種情況不成立,8如圖，AB = 16cm, AC = 12cm，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別以每秒2cm和1cm的速度同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC邊一直移到點(diǎn) C為止，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BA邊一直移到點(diǎn)A為止，(點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C后，點(diǎn)Q繼續(xù)運(yùn)動(dòng))(1) 請(qǐng)直接用含-t的代數(shù)式表示AP的長(zhǎng)和AQ的長(zhǎng)，并

11、寫出定義域.(2) 當(dāng)t等于何值時(shí)， APQ與厶ABC相似？解：(1)由題意得：y1= 2t (0wtw6), y2= 16- t(0<t< 16);(2)當(dāng) 0w tw 6 時(shí), 假設(shè) QP / BC ,那么有 AQPs ABC, AQ_ AP* * ,AB AC/ AB= 16cm, AC = 12cm, AP = 2tcm, AQ =( 16 - t) cm,* 16-t 2t = ,16 12解得：t=,11 I/ A=Z A,假設(shè)/ AQP=Z C,那么有 AQPACB塑=童* i ' ',解得：t = 6.4 (不符合題意，舍去)；當(dāng)6 w tw 16時(shí)

12、，點(diǎn)P與C重合，/ A=/ A ,只有當(dāng)/ AQC = / ACB 時(shí)，有厶 AQCACB ,也=翌* 邁-1 _ 12* 1 _ ,解得：t = 7 ,綜上所述：在 0 w tw 6 中，當(dāng) t時(shí)， AQPs ABC ,在 6w tw 16 中，當(dāng) t= 7 時(shí)， AQCACB.9如圖，在厶ABC中，AD丄BC ,垂足為D , BE丄AC ,垂足為E , AD與BE相交于點(diǎn)F ,連接ED .(1)求證： AEFBDF ；(2 )假設(shè) AE = 4 , BD = 8 , EF+DF = 9,求 DE 的長(zhǎng).(1)證明：T AD 丄BC, BE丄AC,/ BDF = Z AEF = 90

13、6;,/ AFE = Z BFD , AEFs bdf .(2 )解: AEF s BDF ,/ DF + EF = 9,EF = 3 , DF = 6 ,.bf = 訂； |； = 10 , AF =甘廿：；匸= ，.= 5 ,AD = 5+6= 11 , AB= =茁丁r = :'AF一BFAFKF=EF=',HF=,/ AFB = Z EFD ,DF AFBEFD ,夏=巫仁=：，.DE = 6850 , DE =：.510如圖，在平行四邊形 ABCD中，E是BC上一點(diǎn)，AE與BD相交于點(diǎn)F .(1 ) ADF與厶EBF相似嗎？請(qǐng)說明理由；(2)如果E是BC的中點(diǎn)，那么

14、AF與EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？解：1結(jié)論： ADF EBF .理由：四邊形 ABCD是平行四邊形, AD / BE, ADFEBF .(2)結(jié)論：AF = 2EF .理由：四邊形 ABCD是平行四邊形， AD = BC, AD / BE/ BE= EC, AD = 2BE,塑=塑=2， AF = 2EF.11如圖，在？ABCD中，G是DC的延長(zhǎng)線上點(diǎn)，AG分別交BD和BC于點(diǎn)E、F 假設(shè)AB=12， AE = 8， CG = 3. -(1)求證： GDA ABF ;(2 )求EF的長(zhǎng).(1) 證明：四邊形 ABCD是平行四邊形， AB / CD，AD / BC，/AGD = Z FAB，

15、/ DAG = Z BFA，GDAABF ；(2) 解：四邊形 ABCD是平行四邊形，CD = AB= 12，AB / CD， DG = CD + CG = 12+3= 15，/ AGD = Z EAB，/ DEG = / BEA，DEGBEA，.DG GE氣=-，即：一 =/ ,12 8解得：GE = 10, AG= AE+GE= 8+10 = 18,/ GDAs ABF , AG = DG=即：= 1AF 12解得AF = _ ,EF = AF - AE=- 8 =-5512. 如圖，在 ABC中，點(diǎn) D、E分別在邊 AB、AC上，BE、CD交于點(diǎn) O, OC= 3OD ,OB=3OE.(

16、1) 如果AE = 6,求AC的長(zhǎng)；(2) 如果 ADE的面積為1，求 BDE的面積.解：(1)v OC= 3OD , OB= 3OE,.0D 0E 1=：， DE / BC,0D 1=：,DE 1:=:,DE-BCaeac ADE ABC,/ AE= 6, AC= 18.ADDEBC AD : DB = 1: 2,SBDE = 2SADE = 2.13. 如圖，AD是厶ABC中/ BAC的平分線，過 A作AE丄AD交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E, M為DE的中點(diǎn).(1) 求證：me2= mc?mb；2(2) 如果 BA2= BD?BE，求證：'-(1)證明：T AE 丄 AD,/ DAE =

17、 90 ° ,DM = ME ,AM = MD = ME,/ MAD =Z MAD ,/ MAC+ / DAC = Z B+ / BAD , / BAD = Z CAD , / MAC = Z B,/ AMC = Z AMB , AMCBMA ,麵=應(yīng)兀廠， AM2= MC?MB , ME = MA, ME2= MC?MB.(2)證明：MAC BMA,MAHBABBK- =ACABAC-M加 AB?/ ab2= bd?be,二=二，/ B = Z B,BE AB BADs BEA,/ BAD = Z E,/AMB = Z E+ / MAE = 2/ E,Z BAC = 2/ BAD

18、, / BAC=Z AMB ,vZ B=Z B, BACs BMA, AB_ BC，2 ab2= bc?bm ,.AC?空匾_ BC喬BH2 飯.14：如圖，在等腰厶 ABC中，AB = AC, D是BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，點(diǎn) E是AC的中點(diǎn)，EF / AB, EG / BD, FG 與 AC 交于點(diǎn) Q.(1)求證： FEG ACD ；QC_ CF；(2)求證:EG / BD , EF / AB, EG / CD ,EG= CD；EF / AB,EF1 AB/ AB= AC EG=CD, EF = AC2 2.CD 7 ='"/ AB= AC/ B=Z ACB/ EF / AB

19、, EG / CD/ FEC =Z BAC,Z GEC + Z DCA = 180°/ FEG = Z FEC + Z GEC=180°- 2 Z ACB+180 ° -Z ACD=360°-Z ACB -(Z ACB+Z ACD)=360 °- 180 °-Z ACB=Z ACD:, FEGs ACD ；(2)證明： FEG sACD Z FGE = Z ADC/ EG / BD Z FGE = Z QFC Z ADC = Z QFC又/ B = Z ACB QFCADB.QC _ CF =:/ AB= AC.QC _ CF氣=：15.從三角形一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角形中一