拋物線的概念、性質(zhì)、幾何意義

1、1拋物線的概念、性質(zhì)、幾何意義【教學內(nèi)容】拋物線的概念、性質(zhì)、幾何意義及其直線與拋物線的位置關(guān)系、拋物線 的應用等?！窘虒W目標】1、掌握拋物線的定義，動點到定點的距離等于動點到定直線的距離，貝 U 動點的軌跡是拋物線。熟練掌握頂點在原點，對稱軸為坐標軸的拋物線的四 種標準形式：y2=2px、y2= 2px、x2=2py、x2= 2py (p0)及其它們的焦點 坐標、對稱軸方程。2、焦參數(shù) p (p0)的幾何意義為拋物線的焦點到其準線的距離。若已 知了拋物線頂點在頂點，焦點在 x 軸上，則可設(shè)拋物線的方程為 y2=2ax (a 工 0);若拋物線的頂點在原點，焦點在 y 軸上，則可設(shè)拋物線的方程

2、為 x2=2ay(a0)，再由另外一個條件就可以求出拋物線標準方程了。若頂點在原點， 焦點在坐標上，則就要分焦點在 x 軸上和焦點在 y 軸上兩種情況來設(shè)拋物線 的方程。3、拋物線標準方程中，判別焦點在哪個軸上的方法是看方程的一次項， 若一次項的變量為 x，則焦點在 x 軸上；若一次項的變量為 y，則焦點在 y 軸 上。另外，對于拋物線 y2=2ax(aM0),焦點坐標為(號,0)，準線方程為x二-號；對于拋物線 x2=2ay (a0)焦點坐標為(0，旦)，準線方程為y二-旦。這一2 2結(jié)論對 a 0 及 av0 均成立。4、在拋物線中，拋物線上的動點到焦點的距離我們常常轉(zhuǎn)化為動點到準 線的距

3、離來處理， 這一思想方法在拋物線中有著廣泛的應用。 我們在學習時 要引起重視?！局R講解】例 1、求經(jīng)過定點 A ( 3，2)的拋物線的坐標準方程。解：拋物線過第二象限內(nèi)的點 A ( 3, 2)，應考慮開口向上及向左兩種 情形。(1) 若開口向左，設(shè)拋物線方程為 y2= 2px，因為拋物線過點 A ( 3, 2),二 22= 2p( 3)即2p=：，則拋物線方程為 丫2= ；x。(2)若開口向上，設(shè)其方程為 x2=2py，因為拋物線過點 A ( 3，2)， (-3)2= 2p，2，即 2p=9，故得拋物線方程為 x2=9y。2 213y2-NOxM2綜上所述，拋物線的方程為y2=-4x或x2=

4、9y32說明：由于題設(shè)條件無法確定焦點和準線的位置，因C-3此無法確定拋物線的類型，可根據(jù)所給點的位置，考慮過這點的拋物線有幾 種類型來求解。例 2、如圖，動圓 M 與定直線 y=2 相切，且與定圓 C:x2(y 3)1 相外切，求動圓圓心 M 的軌跡方程。 解：設(shè)動圓圓心 M (x, y)動圓半徑為 r，過點M 作 MN 垂直于直線 y=2,N 為垂足，則有|MC r 1=|MN | 1，動點 M 到定點 C 的距離等于它到直線 y=2 的距離加上 1,二動點 M 到定點 C (0, 3)的距離等于它到定直線 y=3 的距離，由拋物線的定義可知，動點 M 的軌跡方程是以 C (0， 3)為焦

5、點，直線 y=3 為準線的拋物線方程，即 x2= 12y0例 3、已知拋物線 y2=2px(p0)的內(nèi)接三角形的一個頂點為原點，垂心與拋物線的焦點重合，求此三角形的外接圓的方程。解：設(shè) OAB 為拋物線 y2=2px 的內(nèi)接三角形，垂心在焦點 F 上， .OF 丄 AB， 即 AB 垂直于 x 軸， 垂足為 C，且由拋物線的對稱性可知，|AC|=|BC|，設(shè) AB 所在直線的 方程為x=a，A、B 兩點的坐標分別為(a，2 pa ) ( a，-2pa)-BF _L AO，- - kAo KBF_ 1.2 pa - . 2 pa. 5p1， a -ap2a2所求三角形外接圓過原點，圓方程中不含常

6、數(shù)項，又因為圓心在 AB 的 中垂線上，即圓心在 x 軸上，故可設(shè)所求圓的方程為 x2+ y2+ Dx=0，點A(乎，5p)在圓上，代入得：D9P，所以AOB的外接圓的方程為：9 px2解：因為圓心到定點 A (2, 0)的距離等于它到直線 x= 2 的距離，由 拋物線的定義可知，圓心必在拋物線 y2=8x 上，又已知圓心在直線 4x 5y 一12=0 x2y2=0例4、求與直線丨：x = -2相切,12=0 上的圓的方程。且過點 A (2, 0),圓心在直線 4x 5y4上，解方程組4x-5：-12 051得x = 或x = 182、y - -2 y = 12設(shè)圓的半徑為 r,115當x=,

7、 y = -2時，r = - 2 =222當x =18, y =12時，r=182=20,所以，所求圓的方程為12(x )(y 2)或(Xd8) (y-d2) = 400。24例 5、拋物線以 y 軸為準線，且過點 M (a, b) (a0), 證明：不論 M 點在坐標平面內(nèi)的位置如何變化，拋物線頂點 的軌跡的離心率是定值。解：設(shè)拋物線的焦點 F 的坐標為(X0, y),根據(jù)拋物線 的定義可知，點 M (a, b)到點 F (X。，y。)的距離等于點 M 到 y 軸的距離，則(x0-a)2 (y0-b)2=a2又設(shè)拋物線焦點 A 的坐標為(x , y),vA 為線段 OF 的中點，則 X0=2

8、x, y0=2y, 代入得(2x - a)2 (2y - b)2=a2,即拋物線的頂點的軌跡方2=1,VaM0,.拋物線頂點的軌跡是橢圓，其中長說明：若已知了圓錐曲線的準線方程、離心率及圓錐曲線上的一點的坐 標，要求與準線對應的焦點或頂點的軌跡方程時，我們通常是先假設(shè)出與準 線對應的焦點的坐標，然后由圓錐曲線的第二定義求出該焦點的軌跡方程。 若還要求對應1yOAF (x0y “程為：(x2(y；b)a半軸長為|a|,短號，則半焦距甘煜宀詐1，所以它的離心率|a|為定值。6頂點的軌跡時，我們?nèi)钥梢园秧旤c看成是圓錐曲線上的點，再 由第二定義可以找出頂點的坐標與焦點的坐標間的關(guān)系，然后再把焦點的坐

9、標代入焦點軌跡方程即可，如橢圓中：求經(jīng)過點 M (1, 2), 以 y 軸為準線，離心率等于1的橢圓的左頂點的軌跡方程。2該題就可以用上述方法，先求出左焦點軌跡方程，找出左頂點坐標及左焦點2坐標間的關(guān)系，最后求出左頂點的軌跡方程為：9（x - 3）24（y一2）2=1。例 6、拋物線 y3=8x 的焦點為 F，A（4, 3）為一定點，在拋物線上找 一點M，使|MA| + |MF|為最小，求 M 點的坐標。解：如圖所示，A（4， 3）在拋物線 y3=8x 的內(nèi)部，過點 A 作準線的 垂線，E 為垂足，交拋物線于 M 點，則 M 點即為所求，其坐標為（1， 3），3現(xiàn)在證明|MA|+|MF|為最小

10、， 在拋物線 y3=8x 上取一點 M仁作 M E， 丄準線 于 E， ,根據(jù)拋物線定義， |MF|=|ME|, |M， F|=|M E |， |MA| + |MF|=|AE|，|M/ A| + |M/ F|=|M/A|+ |M/ E7|而|AE|V|M/ F|+ |M / E7|二 |MA| + |MF| 最少。注意：在與拋物線有關(guān)的計算或證明中，我們要不失時機地運用其定義， 這樣可以使計算或證明來得簡捷方便。例 7、過拋物線 y3=4px （p0）的頂點 O 引互相垂直的兩弦 OA、OB，k3-4pk3k因此 AB 的方程為y + 4px =- = （x -4pk3）直線 OM 的方程為1

11、 - kk3-1金yxk由于 M （x，y）為 AB 與 OM 的交點，故方程組、即為動點 M 的參數(shù)方 程，k 為參數(shù)?，F(xiàn)由消去 k，由x得，y3+4pky = x(x 4pk3)，x3十 y3= Ypky + 4pk3xi y4A J/Q./試求原點 O 在 AB 上的射影 M 的軌跡。1解：設(shè) OA 的方程為 y=kx，則 OB 的方程為 y = - x，k將它們分別代入 y3=4px 中，解方程組可以求得 A （4p，k竺）、（4pk3，-4pk），于是 AB 的斜率k4p4pxkAB4pk3，又 OM 丄 AB，則kOM1 - kk3-18O/P xB、9x1x2.y26_ =y1y

12、2122k上-22-02)/ PQ 丄 AB . kk，Q，2611 1 - ” k2k 22-1，二7k -12k -4 =0，2k=2或k二7（舍去） ， 所以 k=2o例 9、已知直線I : x - ny =0 (n N )，圓 M : (x 1)2(y 1)2=1，拋物線 T: y=（x 1）2,又 L 與 M 交于點 A、B;L 與 T 交于點 C、D，求 lim|AB|2 20:|CD I2解:(x 1)2(y 1)2=11 11 * yJ C” DAOB由知，k二k,設(shè) k2仁 yt , k=xt ,代入得： y xx2y2- -4pxyt 4px（1 yt），所以x2y2=4p

13、x，即（x-2p）2y2=4p2,其軌跡為以（2p, 0）為圓心，2p 為半徑的圓。2 _例&過點（一 1， 6）的直線 I 與拋物線 y=4x 相交于 A、B 兩點，（1）求直線 I 斜率 k 范圍，（2）若 p （9，0），又厶 ABP 為等腰三角形，其中2|PA|=|PB |，求 k 的值。解：（1）顯然，I 與 x 軸不垂直，令丨：y 6二k（x 1）， （ k 工 0）則I ZXX二上6_1 ky24y -24 4k =0, （* ） =16+ 16k（6 k） 0 即 k2 6kk1v0， 而方程 k2 6k 仁 0 的兩 k 為 k = 3_.10 .k (3- .10,

14、 0)(0, 3,10)oy“、B （X2，y2），AB 中點 Q （x。，y），由方程（*）得:y1y2(2)設(shè) A(X1,n-10 n2y22ny y22y 1 = 0 即(1 n2)y22(n 1)y 1=0,設(shè) A(x1,y1),B(X2,y2)y仆-2(n2,1 + n1y1y221 +n|AB (1 n2) 4(n(1+n ),又|AB|l（1丄）（力-y2）2，其中 k 為直線k44（n 1）l 的斜率，所以1 n21 n224_ 8n4 一 1 n2，同理可得：2ICDI21)(n1)I CD In例 10、過定點 p(0,lim：2|AB|lim|CD| nc 48n nT2

15、：(4n1)(n21)2_22 _=4x 于 A、 B 兩點， 求以 OA、OB為鄰邊的平行四邊形的另一頂點 Q 的軌跡方程。2）的直線交拋物線 y解：顯然，直線 AB 的斜率一定存在，設(shè)AB : y 2 =kx, 即y=kx 2,代入 y2=4x 得：k2x2 4(k+ 1)x + 4=0 (* )設(shè) A (X1, y。、B (X2, y2)則 M Q (X1+ X2, y1+ y2)。在方程(*)屮y、2、A/Y7 QMVey/ *OBx1x24(k - 1)y1y2=k(x1X244(k - 1)kk24-4 一，令 Q (X,ky )則11x=4416x4y二由得k二一代入得 一T =

16、4(一1), 4x =4y ykyy y10 -k （-，0） （0,：）,2-8）一（0, *），即另一頂點 Q 軌跡方程為（y 2）4（x 1），其中2例 11、如圖，設(shè)有一動直線 l，過定點 A （2, 0、且與拋物線 y=x + 2 相 交于不同兩點 B 和 C,點 B、C 在 x 軸上的射影分別是 B，和 C，, P 是線段2即:(y 2)2=4(x 1),又在方程(*)中 i =16(k22k 1) -16k20 , k-丄21 e(3 -2)50,k4.二（_：12BC 上的點，且適合關(guān)系式黔豁，求 POA 重心Q的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形？分析：Q 點的位置取決于 P 點，P 是動線段 BC 的一個分點， P 點的位置隨動線段 BC 位置的變化而變化， 而 BC 的位置取決于動直線 I 的斜率，因此可設(shè)動直線 I 的方程為y=k(x 2)即可。解：設(shè)P(x；y)、Q(x, v) B(xnyj、C(x2, y?)設(shè)動直線I : y=k(x2)，解方程組y =k(x2)y=x2，2 消去 y，整個得 x2 kx + 2k+2=0，A=k28k80，Ak 4 2、6 或 k：4-2 6，y22k 412仝4=2(x =2)，二k(x-2)=4x 4又y =k(x-2)，/.k -4k -412k4y