小學(xué)奧數(shù)-幾何五大模型(鳥頭模型)講課教案

1、資料收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除三角形等高模型與鳥頭模型模型二鳥頭模型兩個(gè)三角形中有一個(gè)角相等或互補(bǔ)，這兩個(gè)三角形叫做共角三角形共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角( 相等角或互補(bǔ)角) 兩夾邊的乘積之比如圖在 ABC 中， D , E 分別是 AB , AC 上的點(diǎn)如圖(或 D 在 BA的延長(zhǎng)線上， E 在 AC 上如圖 2) ，則 SABC : S ADE ( ABAC) :(ADAE )ADADEEBCBC圖圖【例 1】 如圖在 ABC 中， D ,E 分別是 AB , AC 上的點(diǎn)，且 AD : AB 2:5， AE:AC4:7 ， S ADE16 平方厘米，求 ABC 的面積AADDEE

2、BCBC【解析】 連接 BE ， S ADE : S ABEAD:AB2 :5(24): (54) ，S ABE : S ABCAE:AC4:7 (45):(75)，所以S ADE : S ABC(2 4) :(75) ，設(shè) S ADE8 份，則 S ABC35 份， S ADE16 平方厘米，所以1 份是2 平方厘米，35 份就是 70平方厘米， ABC 的面積是 70平方厘米 由此我們得到一個(gè)重要的定理，共角定理： 共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角( 相等角或互補(bǔ)角 ) 兩夾邊的乘積之比【鞏固】如圖，三角形ABC 中， AB 是 AD 的 5 倍， AC 是 AE 的 3 倍，如果三角形ADE

3、 的面積等于1，那word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除么三角形ABC 的面積是多少？AADEDEBCBC【解析】 連接 BE EC 3AE SV ABC3SV ABE又 AB5AD SV ADESVABE 5 SVABC 15 ， SV ABC 15SVADE 15 【鞏固】如圖，三角形 ABC 被分成了甲 ( 陰影部分 ) 、乙兩部分， BDDC 4， BE3， AE6 ，乙部分面積是甲部分面積的幾倍？AAE乙E乙甲甲CBCBDD【解析】 連接 AD BE 3，AE 6 AB 3BE ， SV ABD 3SVBDE又 BDDC 4， SV ABC2SV ABD ， SV A

4、BC6SVBDE ， S乙5S甲 【例 2】 如圖在 ABC 中， D 在 BA 的延長(zhǎng)線上，E在 AC上，且 AB:AD 5: 2，AE:EC3: 2 ， SADE12 平方厘米，求 ABC 的面積DDAAEEBCBC【解析】 連接 BE ， S ADE : S ABEAD: AB2 :5(23):(53)S ABE : S ABC AE : AC3: (32)(35): (32)5 ，所以 S ADE : S ABC(32): 5(32)6 : 25 ，設(shè) SADE6 份，則 S ABC25 份， S ADE 12 平方厘米，所以1份是 2平方厘米，25份就是50平方厘米， ABC 的面積

5、是 50 平方厘米由此我們得到一個(gè)重要的定理，共角定理：共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角( 相等角或互補(bǔ)角 ) 兩夾邊的乘積之比【例3】 如圖所示，在平行四邊形ABCD 中， E 為 AB 的中點(diǎn)，積為 8 平方厘米平行四邊形的面積是多少平方厘米？AF2CF，三角形AFE( 圖中陰影部分) 的面DCFAEB【解析】 連接 FB三角形 AFB 面積是三角形CFB 面積的 2 倍，而三角形 AFB 面積是三角形AEF 面積的 2倍，所以三角形ABC 面積是三角形AEF 面積的 3 倍；又因?yàn)槠叫兴倪呅蔚拿娣e是三角形ABC 面積word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除的 2 倍，所以平行四

6、邊形的面積是三角形AFE 面積的（32） 6 倍因此，平行四邊形的面積為8 6 48( 平方厘米 ) 【例 4】 已知 DEF 的面積為 7 平方厘米， BECE, AD2BD, CF3AF ，求 ABC 的面積AFDBCE【解析】 S BDE : S ABC(BDBE) : (BA BC) (11): (23)1: 6，S CEF : S ABC(CECF ) : (CB CA) (13):(24)3:8S ADF : S ABC( ADAF ): (AB AC)(21): (34)1: 6設(shè) S ABC24 份，則 S BDE 4 份， S ADF4 份， S CEF9份， SDEF 24

7、 44 9 7份，恰好是 7平方厘米，所以 S ABC24 平方厘米【例 5】 如圖，三角形ABC 的面積為3 平方厘米，其中AB:BE2:5 ， BC :CD3: 2 ，三角形 BDE 的面積是多少？ABEABECCDD【解析】 由于ABCDBE180 ，所以可以用共角定理，設(shè)AB 2份， BC3 份，則 BE5 份，BD32 5份，由共角定理S ABC : S BDE( ABBC) : (BEBD) (23):(55) 6: 25，設(shè)S ABC6 份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5 平方厘米，25 份就是 25 0.512.5平方厘米，三角形 BDE 的面積是12.5平方厘米【例 6】

8、 ( 2007 年”走美”五年級(jí)初賽試題) 如圖所示，正方形 ABCD 邊長(zhǎng)為 6 厘米， AE1 AC，CF1BC三角形 DEF 的面積為 _ 平方厘米33ADEBFC【解析】 由題意知 AE1AC、 CF1，可得CE23BCAC 根據(jù)”共角定理”可得，332:9 ；而 SABC 66 218；所以 S CEF 4 ；S CEF : S ABC(CFCE) : (CB AC )12 :(33)同理得， S CDE : S ACD2 :3 ; ， SCDE18 3 2 12，SCDF 6故 S DEFS CEFS DECS DFC4 126 10( 平方厘米 ) 【例 7】 如圖，已知三角形A

9、BC 面積為 1，延長(zhǎng) AB 至 D ，使 BDAB；延長(zhǎng) BC至E，使CE2BC ；延長(zhǎng)CA至 F ，使 AF3AC ，求三角形 DEF 的面積word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除FFACEACBBDD【解析】 ( 法 1) 本題是性質(zhì)的反復(fù)使用連接 AE、 CD SV ABC1， SVABC 1，SV DBC1 SV DBC1 同理可得其它，最后三角形DEF 的面積 18( 法 2 ) 用共角定理在VABC 和 VCFE 中，ACB 與FCE 互補(bǔ)， SV ABCACBC111 SV FCEFCCE428又 SV ABC1 ，所以 SVFCE8 同理可得SVADF6 ，

10、SVBDE3 所以 SV DEFSVABCSV FCESVADFSVBDE 18 6 318 【例 8】 如圖，平行四邊形ABCD ， BEAB， CF2CB ， GD 3DC ， HA面積是 2 ， 求平行四邊形ABCD 與四邊形EFGH 的面積比HE4AD ，平行四邊形ABCD 的HABEAGDCGDFFBCE【解析】 連接 AC 、 BD根據(jù)共角定理在 ABC 和BFE 中，ABC 與FBE 互補(bǔ)， S ABCABBC111 S FBEBEBF133又 S ABC 1 ，所以S FBE3 同理可得 S GCF8， SDHG15， S AEH8所以 SEFGHS AEHS CFGS DHG

11、S BEFSABCD8 815+3+236 所以SABCD21SEFGH36 18【例 9】 如圖，四邊形EFGH的面積是66平方米，EA，CBBF，DCCG，HD，求四邊形ABCDABDA的面積HHDCGDCGABFABFEEword 可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除【解析】 連接 BD 由共角定理得S BCD : S CGF(CD CB ) : (CGCF ) 1: 2 ，即 SCGF2S CDB同理 S ABD : S AHE1: 2，即 S AHE 2 S ABD所以 S AHESCGF2( SCBDS ADB )2S四邊形 ABCD連接 AC ，同理可以得到S DHGS

12、BEF2S四邊形 ABCDS四邊形 EFGH S AHES CGF S HDGS BEFS四邊形 ABCD5S四邊形 ABCD所以 S四邊形 ABCD 66513.2 平方米【例 10】如圖，將四邊形ABCD 的四條邊 AB 、 CB 、 CD 、 AD 分別延長(zhǎng)兩倍至點(diǎn)E、F、G、H，若四邊形 ABCD 的面積為 5，則四邊形 EFGH 的面積是FFEB AEB ACGCGDDHH【解析】 連接由于于是AC、BDBE2AB， BF2BC，于是S BEF 4S ABC ，同理 S HDG 4S ADC S BEFSHDG 4S ABC4S ADC4 SABCD 再由于 AE3AB， AH3AD

13、 ，于是S AEH 9S ABD ，同理 S CFG9S CBD 于是 S AEHS CFG9S ABD9S CBD9SABCD 那么 SEFGHS BEFS HDGS AEHS CFGSABCD4SABCD9SABCDSABCD12SABCD60 【例 11】如圖，在 ABC 中，延長(zhǎng) AB 至 D ，使 BDAB ，延長(zhǎng) BC至 E，使1BC，F(xiàn)是AC的CE2中點(diǎn)，若 ABC 的面積是 2 ，則 DEF 的面積是多少？AFBCED【解析】 在 ABC 和CFE 中，ACB 與FCE 互補(bǔ)，S ABCACBC224S FCEFCCE111又 SVABC2，所以 SV FCE0.5 同理可得

14、S ADF2 ， SBDE3 所以 S DEFS ABCS CEFS DEBS ADF20.5323.5【例 12】如圖， S ABC1， BC5BD ， AC4EC ， DGGSSE， AF FG 求 SFGS VAFEGSBCD【解析】 本題題目本身很簡(jiǎn)單，但它把本講的兩個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)融合到一起，既可以看作是”當(dāng)兩個(gè)三角形有 word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除一個(gè)角相等或互補(bǔ)時(shí)，這兩個(gè)三角形的面積比等于夾這個(gè)角的兩邊長(zhǎng)度的乘積比”的反復(fù)運(yùn)用，也可以看作是找點(diǎn)，最妙的是其中包含了找點(diǎn)的3種情況 最后求得 SFGS 的面積為 S FGS432111 5432210【例 13】

15、如圖所示，正方形ABCD邊長(zhǎng)為 8 厘米， E 是 AD 的中點(diǎn)， F 是 CE 的中點(diǎn)， G 是 BF 的中點(diǎn)，三角形 ABG的面積是多少平方厘米？AEAEDDFFGGBCBC【解析】 連接 AF 、 EG 12因?yàn)?S BCF S CDE8 16 ，根據(jù)”當(dāng)兩個(gè)三角形有一個(gè)角相等或互補(bǔ)時(shí)，這兩個(gè)三角形的面積48 ， SVEFG8 ，再根據(jù)”當(dāng)兩個(gè)三角形有一個(gè)角相等比等于夾這個(gè)角的兩邊長(zhǎng)度的乘積比”SVAEF或互補(bǔ)時(shí)， 這兩個(gè)三角形的面積比等于夾這個(gè)角的兩邊長(zhǎng)度的乘積比”，得到 SVBFC 16 ， SABFE32 ，SVABF24 ，所以 SVABG12 平方厘米【例 14】四個(gè)面積為 1

16、 的正六邊形如圖擺放，求陰影三角形的面積FH AEBGCD【解析】 如圖，將原圖擴(kuò)展成一個(gè)大正三角形假設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為為 a ，則DEFAGF 與，則 CEHAGF 與CEH 都是正三角形的邊長(zhǎng)都是4a ，所以大正三角形DEF的邊長(zhǎng)為4217 ，那么它的面積為單位小正三角形面積的49 倍而一個(gè)正六邊形是由6 個(gè)單位小正三角形組成的，所以一個(gè)單位小正三角形的面積為1，三角形DEF的面積為49 66由于 FA4a， FB 3a，所以AFB 與三角形 DEF 的面積之比為4312 7749同理可知BDC 、 AEC 與三角形 DEF 的面積之比都為12 ，所以ABC 的面積占三角形DEF 面積49的 112313 ，所以ABC 的面積的面積為491313 49496496【鞏固】已知圖中每個(gè)正六邊形的面積都是1，則圖中虛線圍成的五邊形ABCDE 的面積是EADBC【解析】從圖中可以看出，邊形的面積； 虛線虛線 AB 和虛線BC 和虛線 DECD 外的圖形都等于兩個(gè)正六邊形的一半，也就是都等于一個(gè)正六外的圖形都等于一個(gè)正六邊形的一半，那么它們合起來(lái)等于一個(gè)正word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除六邊形的面積；虛線AE 外的圖形是兩